Fiche explicative de la leçon: Aire d’un polygone régulier

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer l'aire d'un polygone régulier étant donnée une longueur de côté à l'aide d'une formule.

Nous rappelons qu’un polygone régulier est une forme constituée de segments où toutes les longueurs des côtés sont égales et les angles internes sont également égaux. Pour trouver une formule permettant de calculer l’aire d’un polygone régulier, on remarque d’abord que l’on peut diviser tout polygone régulier à côtés en triangles superposables en reliant les sommets au centre. Par exemple, dans la figure suivante, nous relions le centre d’un pentagone régulier de côté à chacun de ses sommets.

Pour montrer que chacun de ces triangles est superposable, nous notons que les segments reliant le centre à chaque sommet coupent l’angle interne du pentagone en deux angles de même mesure, et que le centre est équidistant de tous les sommets du polygone régulier. Ainsi, les propriétés sur les triangles égaux permettent d’affirmer que les triangles sont superposables.

Ensuite, comme chaque triangle a deux angles de même mesure, ce sont des triangles isocèles, et étant donné que nous avons des triangles superposables, les angles au centre dans chacun des cinq triangles formés (au centre du pentagone) doivent tous être égaux. Enfin, nous savons que chaque triangle a un côté correspondant de longueur du fait que tous les triangles soient superposables.

L’aire de ce pentagone régulier est 5 fois l’aire de l’un des triangles. Pour déterminer l’aire de l’un des triangles, on rappelle que l’aire d’un triangle de base et hauteur est donnée par

On peut utiliser le côté avec la longueur comme base, ce qui signifie que nous devons ensuite déterminer la hauteur du triangle pour déterminer son aire.

Pour déterminer la valeur de , cherchons la mesure de l’angle au centre. Les angles au centre sont tous des angles correspondants dans les triangles superposables, et sont donc de même mesure. De plus, la somme de leur mesure vaut . Ainsi, dans l’exemple du pentagone régulier, l’angle au centre mesure .

Puisqu’il s’agit d’un triangle isocèle, la bissectrice de l’angle au centre coupe la base en son milieu, ce qui donne un angle de et une base de longueur , comme indiqué sur la figure.

On peut déterminer la valeur de en appliquant la trigonométrie dans le triangle rectangle suivant.

Nous savons que sera égal au quotient de la longueur du côté opposé par la longueur du côté adjacent, donnant

Cela signifie que nos 5 triangles isocèles sont comme suit.

L’aire de ce triangle est donnée par

En multipliant cela par 5 et en utilisant l’égalité , on peut calculer l’aire du pentagone régulier comme suit :

Cette méthode peut être généralisée à un polygone régulier à côtés de longueur . Nous serons toujours en mesure de diviser le polygone régulier en triangles rectangles sous cette forme. Il y aurait triangles isocèles, et l’angle au centre mesurerait . On peut l’utiliser pour déterminer la hauteur des triangles isocèles, , à partir du triangle rectangle suivant.

En appliquant la trigonométrie, nous avons l’aire des triangles isocèles est ensuite donnée par

Enfin, le polygone régulier est constitué de de ces triangles isocèles superposables, de sorte que son aire est donnée par

Nous pouvons résumer ce résultat comme suit.

Théorème : Aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés

L’aire d’un polygone régulier à côtés de longueur est donnée par

Par exemple, si , nous avons un triangle équilatéral, son aire est alors

On peut aussi trouver l’aire d’un polygone régulier lorsque les angles sont mesurés en radians ; dans ce cas, on a vaut , ce qui donne.

Théorème : Aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés

L’aire d’un polygone régulier à côtés de longueur est donnée par

Voyons un exemple d’application de cette formule pour déterminer l’aire d’un hexagone régulier.

Exemple 1: Déterminer l’aire d’un hexagone régulier

Déterminez l’aire d’un hexagone régulier de côté mesurant 35 cm, donnez la réponse au centième près.

Réponse

Il existe un certain nombre de méthodes différentes pour résoudre ce problème. Par exemple, un hexagone régulier peut être construit à partir de 6 triangles équilatéraux comme indiqué sur la figure.

On pourrait alors trouver l’aire de l’un de ces triangles équilatéraux, soit . Puisqu’il y a 6 de ces triangles, l’aire de l’hexagone est qui, au centième près, vaut 3‎ ‎182,64 cm².

On peut aussi trouver cette aire en utilisant la formule de l’aire d’un polygone régulier. On rappelle que l’aire d’un polygone régulier à côtés de longueur est donnée par

Un hexagone a 6 côtés, alors on pose et . Cela nous donne

Nous savons que , ce qui nous donne soit 3‎ ‎182,64 cm², au centième près.

Ainsi, l’aire d’un hexagone régulier de côté 35 cm est 3‎ ‎182,64 cm² au centième près.

Dans notre prochain exemple, nous devons déterminer l’aire d’un polygone régulier à 14 côtés. Nous pourrions résoudre ce problème avec des triangles ; cependant, cela ne serait pas très judicieux. Au lieu de cela, nous appliquerons simplement la formule pour déterminer l’aire d’un polygone à côtés.

Exemple 2: Déterminer l’aire d’un polygone régulier à 14 côtés

Déterminez l’aire d’un polygone régulier à 14 côtés sachant que la longueur du côté est 21 cm. Donnez la réponse au centième près.

Réponse

On rappelle que l’aire d’un polygone à côtés de longueur est donnée par

Dans notre cas, il s’agit d’un polygone régulier à 14 côtés de longueur 21 cm, vaut 14 et vaut 21 cm. En substituant ces valeurs dans la formule, on obtient

Rappelons que , ce qui nous donne qui, au centième près, vaut 6‎ ‎762,52 cm².

Ainsi, l’aire d’un polygone régulier à 14 côtés de longueur 21 cm est 6‎ ‎762,52 cm² au centième près.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons le périmètre d’un polygone régulier pour déterminer son aire.

Exemple 3: Déterminer l’aire d’un pentagone régulier connaissant son périmètre

Le périmètre d’un pentagone régulier est 85 cm. Déterminez son aire en donnant la réponse au centimètre carré près.

Réponse

On rappelle que l’aire d’un polygone à côtés de longueur est donnée par

On peut trouver la valeur de en rappelant que le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. Puisqu’il s’agit d’un pentagone régulier, il y a cinq côtés de même longueur, ; par conséquent, le périmètre est ce qui nous donne l’équation

En substituant et dans la formule pour l’aire d’un polygone régulier, on obtient arrondie au centimètre carré près, 497 cm².

Ainsi, l’aire d’un pentagone régulier dont le périmètre est 85 cm, au centimètre carré près, est 497 cm².

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons l’aire d’un hexagone régulier pour déterminer la longueur de ses côtés.

Exemple 4: Déterminer la longueur du côté d’un hexagone régulier connaissant son aire

Un parterre de fleurs a la forme d’un hexagone régulier dont l’aire est de . Déterminez la longueur du côté de l’hexagone en donnant la réponse au mètre près.

Réponse

On rappelle que l’aire d’un polygone à côtés de longueur est donnée par

Un hexagone a 6 côtés, on pose donc ; l’aire doit être égale à ce qui nous donne

On peut alors résoudre l’équation d’inconnue :

Ensuite, on simplifie par 3 et on utilise le fait que pour obtenir soit

En passant à la racine carrée des deux membres, et en notant que doit être positif et mesuré en mètres, nous avons

Ainsi, un hexagone régulier d’aire a des côtés de longueur 6 m.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons l’aire d’un polygone régulier pour déterminer son périmètre.

Exemple 5: Déterminer le périmètre d’un décagone régulier connaissant son aire

L’aire d’un décagone régulier est 155,8 cm². Quel est le périmètre du décagone arrondi au dixième ?

Réponse

On rappelle que l’aire d’un polygone à côtés de longueur est donnée par

Un décagone a 10 côtés, donc on peut poser , cette expression doit être égale à l’aire, 155,8 cm², soit

On peut alors résoudre cette équation d’inconnue , la longueur du côté du décagone régulier. En réécrivant comme , on a

Ensuite, nous résolvons l’équation pour déterminer :

Enfin, le périmètre est la somme des longueurs des côtés du polygone. Comme il s’agit d’un décagone régulier, il y a 10 côtés ayant tous la même longueur. On conserve les valeurs exactes pour obtenir une réponse exacte du périmètre avant d’arrondir. Ainsi, le périmètre est , soit qui, au dixième près, donne 45,0 cm.

Ainsi, le périmètre d’un décagone régulier d’aire 155,8 cm², au dixième près, est 45,0 cm.

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons la formule de l’aire pour les polygones réguliers afin de déterminer l’aire d’une région représentée sur une figure.

Exemple 6: Déterminer l’aire d’une région colorée définie par plusieurs polygones réguliers

Calculez l’aire totale des régions colorées dans les polygones réguliers ci-dessous, en donnant la réponse au dixième près.

Réponse

Pour déterminer l’aire des régions colorées de la figure, on note d’abord que tous les polygones sont des polygones réguliers de côté 39. Nous pouvons déterminer l’aire de chaque région séparément. Commençons par la région extérieure.

La région extérieure est l’aire entre l’hexagone régulier et le pentagone régulier, de sorte que nous pouvons calculer cette aire en déterminant la différence entre les aires de ces deux figures. Pour ce faire, nous rappelons que l’aire d’un polygone à côtés de longueur est donnée par

On peut calculer l’aire de l’hexagone comme suit :

Ensuite, on utilise le fait que pour écrire

De même, nous pouvons calculer l’aire du pentagone comme suit :

Ensuite, l’aire de la région extérieure est la différence entre ces deux aires :

On peut calculer l’aire de la région colorée intérieure de la même manière.

C’est l’aire entre un carré et un triangle équilatéral de côtés 39, de sorte que la région intérieure soit la différence entre leurs aires.

On trouve l’aire du carré

On détermine ensuite l’aire du triangle équilatéral :

La différence entre ces valeurs nous donne l’aire colorée intérieure :

Enfin, nous devons déterminer la somme des régions colorées intérieure et extérieure. On va utiliser les valeurs exactes puis on va arrondir à la fin : qui, au dixième près, est 2‎ ‎197,2 unités d’aire.

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

L’aire d’un polygone régulier à côtés de longueur dont les angles sont mesurés en degrés est donnée par
L’aire d’un polygone régulier à côtés de longueur dont les angles sont mesurés en radians est donnée par
La formule de l’aire peut être utilisée pour déterminer l’aire de figures composées construites avec un ou plusieurs polygones réguliers.