Vidéo de la leçon: Aires de polygones réguliers Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment calculer l’aire d’un polygone régulier. Rappelons qu’un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur. Mais aussi tous les angles internes sont égaux. Il existe une formule pour calculer l’aire d’un polygone régulier. Et nous allons commencer par voir d’où elle vient.

Nous allons donc d’abord calculer cette formule pour un pentagone. Et puis nous la généraliserons plus tard aux polygones avec n’importe quel nombre de côtés. Nous avons donc ici une figure d’un pentagone régulier. Et la longueur d’un côté de ce pentagone est 𝑥. Alors la première étape pour élaborer cette formule d’aire est de relier tous les sommets au centre du pentagone. Donc dessiner des lignes comme cela. Cela divise le pentagone en cinq triangles. Et en fait, ce sont des triangles superposables. Cela signifie qu’ils ont tous exactement la même taille. Donc si nous voulons déterminer l’aire totale de ce pentagone, nous pouvons en fait simplement nous concentrer sur l’un de ces triangles et réfléchir à la façon de trouver son aire. Et puis nous pourrons multiplier le résultat par cinq pour trouver l’aire totale du pentagone. Alors concentrons-nous d’abord sur l’un de ces triangles. Et nous le dessinons à nouveau à côté afin de le visualiser plus facilement.

Alors, voici un de ces triangles. Il s’agit d’un triangle isocèle, car les lignes reliant chaque sommet au centre du pentagone ont toutes la même longueur. Nous avons donc cinq triangles isocèles superposables à considérer. Nous savons que la longueur de la base de ce triangle est 𝑥, la longueur du côté du pentagone. Et pour le moment, nous n’avons aucune autre information. Donc nous cherchons à extraire une autre information sur ce triangle. Et en fait il y en a bien une. Nous pouvons calculer la mesure de cet angle ici. Maintenant, dans le contexte du pentagone d’origine, cet angle serait cet angle ici. Et nous voyons que nous avons cinq de ces angles regroupés autour d’un point.

Comme tous ces triangles sont superposables, ces angles au centre doivent être les mêmes. Donc si nous voulons calculer la mesure d’un seul d’entre eux, nous devons diviser 360, qui est la somme des angles autour d’un point, par cinq. Donc cet angle en haut de mon triangle, que nous nommons 𝜃, est égal à 360 divisé par cinq. Bien entendu, cela est égal à 72 degrés. Mais nous allons garder 360 sur cinq pour nos calculs. Cela afin de généraliser plus facilement à un polygone avec n’importe quel nombre de côtés à un stade ultérieur.

Maintenant, nous voulons trouver l’aire de ce triangle. Eh bien, on rappelle que l’aire d’un triangle est la base multipliée par la hauteur, divisé par deux. Donc dans le cas de ce triangle, il s’agit de 𝑥 multiplié par cette distance, puis divisé par deux. Maintenant, notons la hauteur de ce triangle également sur la figure du pentagone. Cette hauteur a un nom très spécifique dans le contexte des polygones. Elle s’appelle l’apothème. Et cela se réfère à toute droite reliant le centre du polygone au milieu de chacun des côtés. Alors puisque son nom est l’apothème, utilisons une lettre minuscule 𝑎 pour la désigner dans ce triangle ici.

Nous voulons donc savoir quelle est la longueur de cet apothème, pour la multiplier par la base puis diviser par deux. Soit, dans le contexte des lettres que nous avons ici, 𝑥 multiplié par 𝑎 sur deux. Il est ici utile de considérer une sous-partie encore plus petite de la figure. Nous allons donc dessiner la moitié de ce triangle. Nous avons donc ce triangle rectangle ici. Maintenant, plaçons certaines informations ; cette hauteur est 𝑎 pour apothème. La base était auparavant 𝑥, mais nous n’en avons plus que la moitié. Donc cette base ici est 𝑥 sur deux. Et l’angle, eh bien, l’angle complet était 𝜃, qui rappelons-le, mesurait 360 sur cinq. Ici encore nous n’en avons plus que la moitié. Donc cet angle ici est 𝜃 sur deux. Et plus précisément, si l’on divise 360 sur cinq par deux, cela vaut 180 sur cinq. Encore une fois, cela a bien sûr une valeur spécifique, 36 degrés. Mais nous allons le garder comme cela afin de généraliser plus facilement plus tard.

Maintenant, nous recherchons la longueur de l’apothème, sachant que nous connaissons la longueur du côté de ce polygone. Pour cela, nous devons utiliser un peu de trigonométrie. Annotons donc les côtés de ce triangle rectangle en fonction de cet angle, 𝜃 sur deux. Donc ce côté ici, 𝑥 sur deux, est le côté opposé. Et 𝑎, l’apothème, est le côté adjacent parce qu’il est entre l’angle droit et l’angle connu. Donc en repensant à la trigonométrie et à SOHCAHTOA, le rapport trigonométrique qui implique l’opposé et l’adjacent est la tangente. Donc nous allons ici utiliser la tan. Et nous pouvons écrire ce que la relation de tan nous dit pour ce triangle. Alors tan de cet angle est l’opposé divisé par l’adjacent, soit 𝑥 sur deux divisé par 𝑎. Une autre façon d’écrire cela pour le côté droit serait 𝑥 sur deux 𝑎. Donc nous pouvons l’écrire comme cela.

Et puis nous cherchons à réorganiser cela pour déterminer l’apothème. Eh bien, 𝑎 est actuellement au dénominateur de cette fraction sur le côté droit. Donc nous multiplions les deux côtés par 𝑎 pour avoir 𝑎 fois tan 180 sur cinq égale 𝑥 sur deux. Et la dernière étape pour isoler 𝑎 consiste à diviser les deux côtés de cette équation par cette tangente, ce qui donne cette expression pour l’apothème. L’apothème 𝑎 est égal à 𝑥 sur deux tan 180 sur cinq. Alors cette tan est au dénominateur. Donc à ce stade, nous rappelons qu’il existe un autre rapport trigonométrique appelé cot, égal à un sur tan. Nous pouvons donc remplacer un sur tan par cot. Et nous obtenons alors cette expression pour l’apothème. L’apothème 𝑎 est égal à 𝑥 sur deux multiplié par cot 180 sur cinq. Cela nous donne donc une formule pour déterminer l’apothème de ce polygone à partir de la longueur du côté.

Maintenant, revenons au calcul de l’aire de ce pentagone. Nous avons dit auparavant que pour chacun de ces triangles l’aire était égale à la base fois la hauteur, divisé par deux. Alors maintenant, nous devons juste remplacer la base et la hauteur. La base de ce triangle est donc 𝑥. Et la hauteur, qui est l’apothème, est 𝑥 sur deux fois cot 180 sur cinq. Donc nous remplaçons cette partie. Et puis rappelons que nous devons encore diviser par deux. Nous incluons une autre division par deux. Alors cela se simplifie un peu. Nous avons 𝑥 fois 𝑥 au numérateur. Cela devient donc 𝑥 au carré. Et au dénominateur, il y a deux facteurs deux. Donc cela donne quatre, ce qui nous donne pour chacun de ces triangles une aire de 𝑥 au carré sur quatre fois cot 180 sur cinq.

Mais on rappelle qu’il y a cinq triangles. Donc si nous recherchons l’aire totale de ce pentagone, alors nous devons multiplier par cinq. Donc cela nous donne cette formule. L’aire totale du pentagone est de cinq 𝑥 au carré sur quatre multiplié par cot de 180 sur cinq. Où 𝑥, rappelons-le, représente la longueur du côté de ce pentagone. Donc si nous savons que 𝑥, par exemple, est de quatre centimètres, il suffit de substituer cette valeur dans cette formule afin de trouver l’aire.

Maintenant, reprenons cette formule que nous venons d’établir. Elle est spécifique à un pentagone. Et nous aimerions avoir une formule qui fonctionne pour n’importe quel polygone. Nous devons alors ajuster quelque peu cette formule. Si nous regardons la formule, il y a deux endroits où le nombre cinq apparaît. Et ce nombre cinq provient du pentagone, qui avait cinq côtés. Si nous voulons que cela fonctionne pour n’importe quel polygone, tout ce que nous devons faire est de remplacer ces cinq par la lettre 𝑛. Où 𝑛 représente le nombre de côtés du polygone. Nous avons donc ici notre formule générale. L’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés de longueur de côté 𝑥 est donnée par 𝑛, nombre de côtés, multiplié par 𝑥 au carré sur quatre fois cot de 180 sur 𝑛.

Maintenant, il convient de mentionner que cela suppose que nous travaillons en degrés plutôt que tout autre type de mesure. Lorsque nous travaillons en radians pour l’angle, alors ce 180 est remplacé par 𝜋 car 180 degrés est équivalent à 𝜋 radians. Donc nous pouvons également voir des versions de cette formule écrites avec l’angle en fonction de 𝜋 au lieu de 180 degrés. Voyons maintenant comment appliquer cela à une question.

La question nous demande de calculer l’aire d’un hexagone régulier de sept mètres de côté.

Pour rappel, voici la formule dont nous avons besoin. L’aire est égale à 𝑛𝑥 au carré sur quatre multiplié par cot 180 sur 𝑛. Alors 𝑛 est le nombre de côtés. Eh bien, pour un hexagone régulier, cela va être six. Et 𝑥, rappelons-le, représente la longueur du côté. Donc dans cette question, cela vaut sept. Donc tout ce que nous devons faire est de substituer les valeurs de 𝑛 et 𝑥 dans cette formule. Nous avons donc que l’aire de cet hexagone est égale à six multiplié par sept au carré sur quatre multiplié par cot de 180 sur six, ce qui nous donne 294 sur quatre multiplié par cot de 30. À ce stade, nous pouvons utiliser une calculatrice pour évaluer la réponse. Rappelons que nous travaillons en degrés ici. Donc la calculatrice doit être en mode degré. Évaluer cela donne 127,31 mètres carrés. Et cela est arrondi au centième près.

Supposons maintenant que nous ne nous souvenions pas de cette formule. Ou peut-être que nous souhaitons repartir de la base. Nous pouvons simplement retrouver la formule comme nous l’avons fait auparavant. Alors voici l’hexagone avec des côtés de longueur sept. Chacun de ces angles au centre est de soixante degrés, car ils sont divisés par 360 sur six. Et nous pouvons dessiner l’un de ces six triangles superposables. Le voilà. Et nous le divisons en deux. Maintenant, cette longueur ici serait de trois mètres et demi, car c’est la moitié de sept. Cet angle est la moitié de ces soixante degrés. Soit trente degrés. Et nous pouvons utiliser la trigonométrie comme auparavant pour déterminer la longueur de l’apothème. Donc nous avons tan de 30 égale 3,5 sur 𝑎.

Réorganiser cette formule pour 𝑎 nous donne 𝑎 égale 3,5 sur tan 30 ou 3,5 cot 30. Et nous avons alors tout ce dont nous avons besoin pour déterminer la surface de cet hexagone. Ainsi, l’aire de chaque triangle vaut la base fois la hauteur sur deux, donc sept fois 3,5 cot 30 sur deux. Mais on rappelle que pour l’hexagone total, il faut multiplier cela par six car nous avons six de ces triangles. Et bien sûr, cela nous donne la même valeur de 127,31 mètres carrés. Donc soit nous apprenons cette formule par cœur, nous la mémorisons. Soit nous nous souvenons du processus et de sa compréhension afin de pouvoir la retrouver de la même manière.

Bien, voyons maintenant une dernière question.

L’aire d’un décagone régulier est de 155,8 centimètres carrés. Quel est le périmètre du décagone ?

Tout d’abord, rappelons qu’un décagone a dix côtés. Nous examinons donc un polygone où 𝑛 est égal à 10. Alors en regardant la question, on ne donne nulle part la longueur du côté. Mais nous voulons déterminer le périmètre. Donc il s’agit de procéder en sens inverse à partir de l’aire, en déduisant la longueur du côté. Et puis en utilisant cela pour calculer le périmètre du décagone. Nous allons donc avoir besoin de notre formule d’aire. Reprenons-la des exercices précédents. La voilà. L’aire est 𝑛𝑥 au carré sur quatre multiplié par cot 180 sur 𝑛. Alors nous savons que 𝑛 est égal à 10 car nous travaillons avec un décagone. Et nous savons aussi que cette aire est égale à 155,8 centimètres carrés. Nous pouvons donc exprimer une équation. La voilà. 10 𝑥 au carré sur quatre fois cot 180 sur 10 égale 155,8.

Alors maintenant, nous avons une équation que nous pouvons résoudre afin de déterminer la valeur de 𝑥. Rappelons que 𝑥 représente la longueur du côté. Et une fois que nous avons cela, nous pouvons facilement déterminer le périmètre. Simplifions donc un peu cette équation. 10 sur quatre se simplifie en cinq sur deux. Et aussi cot de 180 sur dix. Eh bien, cela vaut cot de dix-huit. Nous avons donc cette équation ici. Maintenant, nous voulons isoler 𝑥 au carré. Nous avons donc obtenu ce facteur de deux au dénominateur. Nous avons également un facteur de tan 18 au dénominateur, car, rappelons-le, cot vaut un sur tan. Donc nous multiplions les deux côtés de l’équation par deux tan 18. Et cela donne cinq 𝑥 au carré égale deux tan 18 multiplié par 155,8. Ensuite, nous divisons les deux côtés de l’équation par cinq, ce qui nous donne cela.

Et nous évaluons cela sur une calculatrice. Rappelons que nous travaillons en degrés ici. Donc cela donne 𝑥 au carré égale 20,24899 et ainsi de suite. Ensuite, nous devons calculer la racine carrée pour déterminer ce que vaut 𝑥. Nous utilisons donc une calculatrice pour évaluer la racine carrée de 20,248. Et cela donne 𝑥 égale 4,499888. Et cette valeur peut raisonnablement être arrondie à 𝑥 égale 4,5. Nous avons donc calculé la longueur d’un côté de ce décagone.

Mais nous n’avons pas fini de répondre à la question parce qu’elle nous demande de calculer le périmètre. Alors pour le périmètre, nous devons simplement additionner tous les côtés. Eh bien, il y en a dix. Et ils sont tous de la même longueur. Par conséquent, le périmètre va être 10𝑥. Donc dix fois cette valeur, que nous venons de déterminer comme étant 4,5. Le périmètre de ce décagone est donc de 45 centimètres.

Nous avons donc vu la formule pour calculer l’aire d’un polygone régulier. Rappelons que nous devons soit l’apprendre par cœur, soit simplement être confiants dans la logique et la méthode qui la sous-tendent. Nous avons vu comment l’appliquer à la question. Et puis nous avons également vu la méthode de travail en sens inverse, en partant de l’aire pour calculer la longueur du côté ou le périmètre du polygone.