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On donne les dimensions d’un rectangle : 15 et 10 le périmètre d’un second : 40. Sachant que les deux rectangles sont semblables, déterminez la longueur et l'aire du second rectangle.
Pour commencer, dessinons le premier rectangle qui a pour dimensions 15 et 10 unités. On nous a dit qu'il est semblable à un deuxième rectangle, ce qui signifie que chaque rectangle est un agrandissement ou une réduction de l'autre. En d'autres termes, chaque longueur du premier rectangle sera multipliée par le même facteur d'échelle pour calculer la longueur correspondante du second rectangle. Soient 𝑥 et 𝑦 les dimensions du deuxième rectangle, deux équations peuvent être posées : 15 multiplié par notre facteur d'échelle est égal à 𝑥 et 10 multiplié par le même facteur d'échelle est égal à 𝑦.
On nous dit également dans la question que le périmètre du deuxième rectangle est égal à 40. Puisque le périmètre est la longueur du contour de notre rectangle, le périmètre du premier rectangle est égal à 50. En effet, 10 plus 15 plus 10 plus 15 égale à 50. Vu que le périmètre est une longueur, le fait de multiplier 50 par le même facteur d'échelle donnera une réponse de 40. On peut écrire ceci sous forme d'équation, puis diviser les deux côtés par 50. Ainsi, le facteur d'échelle est égal à 40 sur 50. Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par 10 pour obtenir quatre cinquièmes. Ainsi, le deuxième rectangle aura des dimensions équivalentes à quatre cinquièmes de celles du premier rectangle.
En substituant cela à nos deux équations initiales, on trouve que 15 fois quatre cinquièmes est égal à 𝑥, et que 10 fois quatre cinquièmes est égal à 𝑦. 𝑥 est donc égale à 12 unités et 𝑦 est égale à huit unités. Par conséquent, la longueur du deuxième rectangle est 12. Par ailleurs, on nous demande de calculer l'aire de ce rectangle. Or nous savons que l'aire de n'importe quel rectangle est égale à sa longueur fois sa largeur. L'aire est donc égale à 12 fois huit. Cela correspond à 96 unités carrées. Alors, si un rectangle de dimensions 15 sur 10 est semblable à un autre rectangle de périmètre 40, alors la longueur et l'aire de ce second rectangle sont respectivement de 12 et 96.
