Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐷𝐸 égale 74 mètres, 𝐸𝐵 égale 32 mètres et 𝐸𝐴 égale 48 mètres, déterminez la longueur de 𝐶𝐴.
Tout d’abord, ajoutons à la figure les informations qui nous ont été données dans la question. Nous avons deux triangles rectangles dans lesquels on nous a donné différentes longueurs. Et on nous demande de trouver la longueur de 𝐶𝐴 qui est en fait la somme des longueurs des deux hypoténuses des triangles, 𝐶𝐸 et 𝐸𝐴.
Donc pour répondre à la question, nous allons d’abord déterminer la longueur de 𝐶𝐸. Alors réfléchissons à la façon de le faire. On nous a donné deux triangles, tous deux des triangles rectangles. Et comme nous l’avons dit, on nous a donné des longueurs dans chacun d’entre eux.
Cela suggère que nous pourrions traiter ce problème en utilisant des triangles semblables. Nous ne pouvons pas simplement supposer que les deux triangles sont semblables. Nous devons d’abord le montrer. Pour que deux triangles soient semblables, ils doivent avoir leurs trois angles égaux. Les deux triangles ont un angle droit. Donc nous pouvons déjà dire que l’angle 𝐶𝐷𝐸 est égal à l’angle 𝐴𝐵𝐸.
Regardons maintenant la paire d’angles marqués en vert. Ces deux angles sont opposés par le sommet, car ils sont formés par deux droites sécantes. Par conséquent, ces deux angles sont égaux. Nous savons donc que l’angle 𝐷𝐸𝐶 est égal à l’angle 𝐵𝐸𝐴. Il s’ensuit automatiquement que les angles restants de ces deux triangles sont aussi égaux car la somme des angles d’un triangle est toujours de 180 degrés.
Ainsi, si les deux autres angles de chaque triangle sont égaux deux à deux, les angles restants doivent aussi être égaux. Pour cette raison, il suffit en fait de montrer que deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles de l’autre triangle pour conclure que les deux triangles sont semblables. Nous pouvons donc conclure que le triangle 𝐶𝐷𝐸 est semblable au triangle 𝐴𝐵𝐸.
Maintenant, en quoi cela nous aide-t-il à répondre à la question ? Eh bien, rappelez-vous que si deux triangles sont semblables, ils ont des longueurs proportionnelles. Cela signifie que si nous divisons un côté du grand triangle le côté correspondant du petit triangle, nous obtenons toujours le même rapport. Remplaçons les valeurs par les côtés que nous connaissons.
Nous avons 74 divisé par 32 pour 𝐷𝐸 et 𝐵𝐸, le côté horizontal des deux triangles. Et puis nous avons 𝐶𝐸 divisé par 48 pour les deux hypoténuses. Cela donne une équation que nous pouvons résoudre pour trouver 𝐶𝐸. Nous devons multiplier les deux côtés de l’équation par 48. Donc 𝐶𝐸 égale 48 multiplié par 74 sur 32, soit 111.
Maintenant, nous n’avons pas encore terminé la question parce que, rappelez-vous, on ne nous a pas demandé de calculer 𝐶𝐸, on nous a demandé de calculer 𝐶𝐴, qui est cette longueur ici, la somme de 𝐶𝐸 et de 𝐸𝐴. Mais nous connaissons ces deux longueurs. Il suffit donc de les additionner.
Nous avons 𝐶𝐴 égale 111 plus 48, ce qui donne 159 mètres. N’oubliez pas que nous avons utilisé des triangles semblables dans cette question. Mais nous ne pouvions pas simplement supposer que les deux triangles étaient semblables. Nous avons d’abord dû le prouver en expliquant pourquoi leurs angles étaient égaux.
