Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des triangles semblables pour résoudre des problèmes.
Nous pouvons commencer par comprendre la signification de semblable.
Définition : Triangles semblables
Deux triangles sont semblables si les angles correspondants sont superposables et les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
Plus familièrement, on pourrait dire que des triangles semblables ont la même forme, mais ils peuvent avoir une taille différente. Par ailleurs, les triangles de même forme et de même taille sont dits superposables.
Voici un exemple de deux triangles semblables.
Les paires d’angles de sommets et , et et et sont de même mesure. Les longueurs des côtés correspondants, et , et et et , sont proportionelles. Dans cet exemple, on peut préciser que le rapport de à est .
Nous allons maintenant étudier la géométrie des triangles semblables. Prenons le triangle .
Une homothétie de rapport produit le triangle suivant.
Dans une homothétie, toutes les longueurs des côtés sont multipliées par le rapport, et toutes les mesures des angles sont conservées. Si le rapport est supérieur à 1, alors la figure est agrandie. Et si le rapport est inférieur à 1, alors la figure est réduite.
On peut dire que le triangle est semblable au triangle , et on écrit ceci comme suit
Lorsque l'on écrit la relation de similitude entre les triangles, l’ordre des lettres est important, car il indique les angles et les côtés qui se correspondent dans les triangles.
Si deux triangles ont des angles correspondants égaux, alors les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles. Et si les triangles ont leurs côtés correspondants de longueurs proportionnelles, alors les angles correspondants sont égaux. Afin de prouver que deux triangles sont semblables, plutôt que de prouver que tous les angles correspondants sont égaux et que tous les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles, il y a un certain nombre de critères de similitude que l'on peut utiliser.
Le premier critère que l'on peut utiliser est le critère de similitude à l’aide de deux angles
Définition : Critère de similitude à l’aide de deux angles
Si deux paires d’angles correspondants dans deux triangles sont deux à deux superposables, alors les triangles sont semblables.
On peut commencer par les deux triangles suivants.
Ici, on nous donne que et . On peut montrer qu’avec seulement deux paires d’angles deux à deux égaux, la troisième paire d’angles, et , doit aussi être égale.
On rappelle que la somme des angles internes d’un triangle est égale à . Par conséquent, pour calculer la mesure de l’angle , on peut calculer
Dans , on peut calculer la mesure de avec
Puisque que l'on sait que et , on peut dire que
Par conséquent,
Ainsi, lorsque deux paires d’angles correspondants dans deux triangles sont superposables deux à deux, la troisième paire d’angles correspondants est également superposables et les triangles sont semblables.
Le deuxième critère de similitude fait intervenir les côtés des triangles .
Définition : Critère de similitude à l’aide des côtés
Si les trois paires de côtés correspondants de deux triangles ont leurs longueurs deux à deux proportionnelles, alors les deux triangles sont semblables.
On peut appliquer ce critère de la manière suivante. Prenons les triangles et .
Si l’on peut démontrer que les longueurs des côtés de ces triangles vérifient la relation de proportionnalité suivante alors
Par exemple, on peut considérer les triangles ci-dessous, et .
On peut écrire que car
Le rapport des côtés correspondants est le même pour chaque paire et vaut . Par conséquent,
Notons qu’il serait également correct d’écrire
On doit simplement s'assurer de garder toutes les longueurs des côtés d'un même triangle soit aux numérateurs, soit aux dénominateurs.
Comme les longueurs des côtés du triangles sont proportionnelles deux à deux, les triangles sont semblables.
Nous allons maintenant voir le critère de similitude final.
Définition : Critère de similitude à l’aide d’un angle compris entre deux côtés
Si les longueurs de deux des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux longueurs de deux des côtés d’un autre triangle et que les angles compris entre ces deux côtés sont deux à deux superposables, alors les deux triangles sont semblables.
Illustrons ce critère avec la figure suivante.
Ici, on a deux paires de longueurs de côtés correspondants proportionnelles, car
Ces deux proportions sont égales à . Et dans les deux triangles, les angles formés par ces côtés sont deux à deux superposables. Ainsi,
Pour remplir le critère de similitude à l’aide d’un angle compris entre deux côtés, on a juste besoin que deux paires de côtés soient proportionnelles, la paire d’angles doit correspondre aux angles compris entre ces côtés dans chaque triangle. Notons que cette règle est différente du critère d’égalité à l’aide d’un angle compris entre deux côtés, où l'on doit démontrer que les côtés correspondants sont égaux pour que les triangles soient superposables.
Nous allons maintenant voir quelques exemples sur la façon d'appliquer ces critères de similitude pour prouver que deux triangles sont semblables.
Exemple 1: Prouver que deux triangles sont semblables
La figure montre un triangle , où le segment est parallèle à .
- Quel angle est équivalent à ? Pourquoi ?
- L'angle , car les angles sont correspondants ;
- L'angle , car les angles sont alternes-internes ;
- L'angle , car les angles sont alternes-internes ;
- L'angle , car les angles sont correspondants ;
- L'angle , car les angles sont correspondants.
- Quel angle est équivalent à ? Pourquoi ?
- L'angle , car les angles sont correspondants ;
- L'angle , car les angles sont correspondants ;
- L'angle , car les angles sont alternes-internes ;
- L'angle , car les angles sont alternes-internes ;
- L'angle , car les angles sont correspondants.
- Ainsi, les triangles et sont-ils semblables ? Si oui, d’après quel critère ?
- Oui, ils sont semblables d'après le critère de similitude à l’aide des côtés ;
- Oui, ils sont semblables d'après le critère de similitude à l’aide d’un angle compris entre deux côtés ;
- Oui, ils sont semblables d'après le critère de similitude à l’aide de deux angles ;
- Non, ils ne sont pas semblables.
Réponse
Partie 1
Sur la figure, on observe qu’il y a deux segments parallèles, et . La droite coupe ces segments ; par conséquent, l’angle qui est égal à est
Partie 2
Pour déterminer l’angle équivalent à , on utilise les propriétés des angles formés par les droites parallèles et la sécante . Ainsi, l’angle qui est équivalent à est
Partie 3
On a démontré qu’il y a deux paires d’angles correspondants qui sont égaux dans les triangles et :
Le critère de similitude à l’aide de deux angles stipule que si deux paires d’angles correspondants dans deux triangles sont superposables, alors les triangles sont semblables. Par conséquent, on peut montrer que les triangles et sont semblables avec le critère de similitude à l’aide de deux angles .
Nous allons maintenant voir un autre exemple.
Exemple 2: Prouver que deux triangles sont semblables
La figure montre deux triangles et , où le segment est parallèle à .
- Quel angle est équivalent à ? Pourquoi ?
- L'angle , car les angles sont correspondants ;
- L'angle , car les angles sont alternes-internes ;
- L'angle , car les angles sont correspondants ;
- L'angle , car les angles sont alternes-internes ;
- L'angle , car les angles sont opposés verticalement.
- Quel angle est équivalent à ? Pourquoi ?
- L'angle , car les angles sont alternes-internes ;
- L'angle , car les angles sont correspondants ;
- L'angle , car les angles sont correspondants ;
- L'angle , car les angles sont alternes-internes ;
- L'angle , car les angles sont opposés par le sommet.
- Ainsi, les triangles et sont-ils semblables ? Si oui, d’après quel critère ?
- Oui, ils sont semblables d'après le critère de similitude à l’aide des côtés.
- Oui, ils sont semblables d'après le critère de similitude à l’aide d’un angle compris entre deux côtés.
- Oui, ils sont semblables d'après le critère de similitude à l’aide de deux angles .
- Non, ils ne sont pas semblables.
Réponse
Partie 1
La figure indique que les segments de droite et sont parallèles. Si l’on considère alors, en utilisant les propriétés des angles définis par deux droites parallèles coupées par une même sécante, on peut identifier que l’angle équivalent est
Partie 2
En utilisant les mêmes propriétés, avec la sécante , l’angle équivalent à est
Partie 3
On a montré que
On rappelle que le critère de similitude à l’aide de deux angles stipule que si deux paires d’angles correspondants sont égales dans deux triangles, alors les triangles sont semblables. Ainsi, on a le résultat que les triangles et sont semblables d'après le critère de similitude à l’aide de deux angles .
On peut généraliser les méthodes utilisées dans les deux questions précédentes dans le corollaire de similitude de triangles suivant.
Définition : Corollaire de similitude de triangles
Si les longueurs de deux côtés dans un triangle sont proportionnelles aux longueurs de deux côtés dans un autre triangle et que les angles formés par ceux-ci sont superposables, alors les deux triangles sont semblables.
Dans chacune des figures ci-dessus, on peut affirmer que si et coupe et en et respectivement, alors .
Dans l’exemple suivant, nous allons calculer le rapport entre deux triangles semblables.
Exemple 3: Déterminer le rapport de similitude
Sur la figure, et . Puisque les triangles et sont semblables, quel est leur rapport ?
Réponse
Commençons par noter les longueurs données sur la figure.
D'après l'énoncé, est semblable à . On rappelle que des triangles semblables ont des paires d’angles superposables et des côtés correspondants de longueurs proportionnelles.
On utilise l’ordre des lettres pour identifier que les côtés et sont correspondants. Ainsi, on peut écrire la proportion de leurs longueurs de à par
On peut donner la réponse sous forme de fraction ou de nombre décimal ; ainsi, le rapport du triangle au triangle vaut 1, 6.
Notez qu’un rapport dans le sens inverse, de à , serait écrit comme la proportion
Nous allons maintenant voir un exemple où l'on doit d’abord prouver que deux triangles sont semblables, puis utiliser ces propriétés pour identifier les longueurs manquantes.
Exemple 4: Calcul d’inconnues à l’aide d’une similitude et recherche du périmètre d’un triangle
La figure montre un triangle .
- Déterminez la valeur de .
- Déterminez la valeur de .
- Déterminez le périmètre de .
Réponse
Dans le grand triangle , on voit qu’il y a un triangle plus petit que l’on peut représenter avec les points et pour définir .
Afin de déterminer les longueurs manquantes, on détermine d’abord si et sont semblables. Des triangles semblables ont des angles correspondants qui sont superposables et des côtés correspondants de longueurs proportionnelles.
On note que la figure indique que et sont parallèles. Cela signifie que l'on peut identifier deux paires d’angles correspondants en utilisant les sécantes et .
On peut écrire que et que
Le critère de similitude à l’aide de deux angles stipule que si deux paires d’angles correspondants dans deux triangles sont superposables, alors les triangles sont semblables. Alternativement, on peut aussi avoir montrer que l’angle est commun aux deux triangles, alors . Deux paires quelconques parmi ces trois paires d’angles suffisent à prouver que
La proportion des côtés correspondants peut être écrite comme
On peut maintenant utiliser cette relation de proportionnalité pour trouver les longueurs manquantes, et .
Partie 1
La longueur fait partie de , et le côté qui correspond dans le triangle est le côté .
Lorsque l'on travaille avec des triangles semblables, habituellement on a, ou on peut calculer, les longueurs de deux côtés correspondants. Cela nous permet de déterminer la proportion, ou le rapport, entre les triangles donnés. Ici, on nous donne les longueurs de et . Par conséquent, on peut écrire que
La longueur de peut être écrite en fonction de comme . On substitue dans les valeurs les longueurs ce qui donne
Multiplier les deux côtés par 6 et simplifier donne
Ainsi, nous avons trouvé que la valeur de vaut 4,5.
Partie 2
La longueur inconnue fait partie du segment . Le côté correspondant dans est . On peut utiliser la relation de proportionnalité :
On peut représenter la longueur comme . En substituant les valeurs des longueurs et en simplifiant, on a
Par conséquent, la valeur de vaut 3,75.
Partie 3
Le périmètre est la longueur du contour extérieur d’une figure. Ainsi, pour calculer le périmètre de , on a ce qui suit :
En substituant les longueurs de la figure, on a
On a calculé et ; par conséquent, on peut simplifier ce qui donne
On a alors le résultat que le périmètre de vaut 26, 25.
Dans la question suivante, nous allons utiliser la similitude des triangles pour écrire et résoudre des équations algébriques afin de trouver une longueur inconnue.
Exemple 5: Écrire et résoudre une équation en utilisant la similitude pour trouver une inconnue
Les triangles et sont semblables. Trouvez à l’entier près.
Réponse
À l'intérieur du grand triangle , sur la figure, on voit un triangle plus petit . On ne peut pas calculer immédiatement les longueurs de et ; cependant, on peut utiliser l'information donnée selon laquelle ces deux triangles sont semblables.
Dans des triangles semblables, les longueurs des côtés sont deux à deux proportionnnelles. Ainsi, on peut écrire l’égalité de rapports suivante
On peut alors substituer les longueurs données à partir de la figure, en prenant soin de noter que . Cela nous donne
En simplifiant, on a
Par conséquent, on a le résultat que la valeur de vaut 5.
Nous allons maintenant voir un exemple sur la façon d'utiliser la similitude de triangles pour trouver des mesures dans une situation réelle. Il est toujours utile de représenter d’abord les informations données dans un schéma.
Exemple 6: Utiliser la similitude de deux triangles pour déterminer des mesures indirectes
Un homme de 1,97 mètre se tient debout à 3,49 m d’un lampadaire et son ombre fait 2,73 m de long. Quelle est la hauteur du lampadaire ? Arrondissez la réponse au dixième près.
Réponse
Il peut être utile de commencer par représenter les informations qui nous ont été données.
On peut ensuite modéliser la situation en utilisant des triangles et une droite reliant le sommet du lampadaire au sommet de l’ombre.
Il est utile de nommer les points. Ici, on peut définir , , , et . On peut supposer que l’homme et le lampadaire forment avec le sol horizontal un angle de et que le lampadaire et l’homme se tiennent verticalement et sont donc parallèles entre eux.
Il faut calculer la hauteur du lampadaire, correspondant à la longueur de . Si on avait la longueur de , on pourrait appliquer le théorème de Pythagore. Cependant, la meilleure approche est peut-être de voir si le triangle créé avec la lumière et l’ombre, , est semblable au triangle plus petit créé par l’homme et l’ombre, .
On rappelle que des triangles semblables ont des angles correspondants qui sont superposables et des côtés correspondants de longueurs proportionnelles. L’une des façons de prouver que deux triangles sont semblables est de démontrer qu’il y a deux paires d’angles correspondants qui sont superposables, c’est-à-dire d’après le critère de similitude à l’aide de deux angles.
On peut écrire que
Comme on a trouvé deux angles correspondants qui sont superposables, alors on a prouvé que .
Afin de déterminer la longueur de , on peut utiliser le côté correspondant de , le côté . On sait que la proportion entre ces côtés est la même que la proportion entre les côtés correspondants, et , dont les longueurs sont données.
Par conséquent,
On substitue alors les valeurs des longueurs, notant que . Cela nous donne
La hauteur du lampadaire a été définie par et on arrondit cette valeur au dixième près pour donner la réponse pour la hauteur du lampadaire, qui vaut 4,5 m.
On peut également noter un cas particulier de similitude de triangles qui fait appel à la hauteur d’un triangle rectangle.
Considérons la figure suivante.
Le plus grand triangle, , qui est rectangle, est divisé en deux triangles plus petits. Notons que est la hauteur de ce triangle, car il s’agit de la droite passant par le sommet, perpendiculaire au côté opposé.
Notons que comme la somme des angles sur une droite vaut , on peut aussi dire que .
Considérons les angles de ces triangles, en commençant par . On peut représenter les 3 triangles séparément, avec l’angle droit dans la même position.
Puisque est un angle commun entre et et qu'ils ont tous deux un angle de , alors d’après le critère de similitude à l’aide de deux angles,
Ensuite, on observe que l’angle en est commun aux deux triangles et .
Étant donné que ces triangles ont également un angle de , alors d’après le critère de similitude à l’aide de deux angles,
Lorsque deux triangles semblables sont chacun semblables à un troisième triangle, alors les trois triangles sont semblables entre eux. Par conséquent,
Ainsi, on peut définir le deuxième corollaire de similitude de triangles suivant.
Définition : Corollaire de similitude de triangles
Dans tout triangle rectangle, la hauteur relative à l’hypoténuse sépare le triangle en deux triangles qui sont semblables entre eux et semblables au triangle d’origine. 
Nous allons maintenant voir comment appliquer ce corollaire dans l’exemple suivant.
Exemple 7: Utiliser la similitude des triangles formés par la hauteur d’un triangle rectangle
La figure donnée montre un triangle rectangle , où est perpendiculaire à .
- En utilisant la similitude, exprimez en fonction de et .
- En utilisant la similitude, exprimez en fonction de et .
- Exprimez la somme de et en fonction de .
Réponse
Sur la figure, on observe que est une hauteur du triangle rectangle . On rappelle que dans tout triangle rectangle, la hauteur issue de l’hypoténuse sépare le triangle en deux triangles semblables entre eux et semblables au triangle d’origine.
Par conséquent, on peut écrire que
Partie 1
On peut tracer les 3 triangles séparément dans la même orientation avec les angles correspondants alignés.
Comme on a besoin d’une relation entre les côtés des longueurs , et , on utilise et pour former une relation de similitude.
On rappelle que lorsque les triangles sont semblables, les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles. Donc, on a que
On simplifie ensuite cette équation pour donner
Ainsi, on a exprimé en fonction de et .
Partie 2
On utilise et pour former la prochaine relation de similitude, pour les côtés de longueurs , et .
Par conséquent, on a
Et ainsi, on a exprimé en fonction de et .
Partie 3
On peut écrire la somme de et en substituant les valeurs et que l'on a calculées dans les parties 1 et 2. Cela nous donne
En utilisant la figure, on peut voir que ; par conséquent,
En fait, on peut vérifier ce résultat en utilisant le théorème de Pythagore. D'après ce dernier, pour tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. En utilisant une similitude, on a démontré ce théorème. On peut exprimer la somme de et en fonction de par
Résumons maintenant les points clés.
Points clés
- Deux triangles sont semblables si les angles correspondants sont superposables et les longueurs des côtés sont proportionnelles.
- On peut prouver que deux triangles sont semblables en utilisant l’un des critères de similitude suivants :
- Critère de similitude à l’aide de deux angles : Si deux paires d’angles correspondants dans deux triangles sont superposables, alors les triangles sont semblables.
- Critère de similitude à l’aide des côtés : Si les trois paires de côtés correspondants dans deux triangles ont des longueurs proportionnelles, alors les deux triangles sont semblables.
- Critère de similitude à l’aide d’un angle compris entre deux côtés : Si deux côtés d’un triangle ont des longueurs proportionnelles aux longueurs des côtés d’un autre triangle et que les angles inclus dans les deux sont superposables, alors les deux triangles sont semblables.
- Dans tout triangle rectangle, la hauteur relative de l’hypoténuse sépare le triangle en deux triangles qui sont semblables entre eux et semblables au triangle d’origine.
- On peut modéliser des situations réelles faisant intervenir des triangles semblables à l’aide d’un schéma et en utilisant la proportionnalité des côtés et l’égalité des angles correspondants pour trouver des mesures inconnues.
