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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des triangles semblables pour résoudre des problèmes. Commençons par rappeler la définition de deux triangles semblables.
On dit que deux triangles sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés correspondants sont proportionnels. En d’autres termes, tous les angles correspondants sont égaux, c’est-à-dire de même mesure, et les côtés sont proportionnels. Si les côtés correspondants sont de plus de même longueur, alors les triangles sont superposables.
Des triangles semblables ont donc la même forme mais une taille différente. Les côtés correspondants sont proportionnels mais les angles correspondants sont égaux. Il existe plusieurs façons de prouver que deux triangles sont semblables. Nous allons maintenant les présenter.
La première méthode consiste à utiliser la règle AA qui consiste à montrer que le triangle a deux paires d’angles égaux. Les triangles dessinés ici sont semblables car ils ont deux paires d’angles égaux. Mais pourquoi n’avons-nous pas besoin de montrer qu’ils ont trois paires d’angles égaux ? Eh bien, c’est parce que la somme des mesures des angles dans un triangle est égale à 180 degrés. Si nous avons montré qu’il y deux paires d’angles égaux, alors les troisièmes angles de chaque triangle sont forcément égaux. Nous pourrions bien sûr montrer qu’il y a trois paires d’angles égaux mais cela n’est pas nécessaire. Il suffit de trouver deux paires d’angles qui vérifient cela.
La deuxième méthode pour prouver que deux triangles sont semblables consiste à utiliser la règle CCC. Si nous pouvons montrer que les trois côtés correspondants sont proportionnels, cela prouve que les triangles sont semblables. Nous devons être prudents ici. Lorsque nous utilisons la règle CCC pour prouver que des triangles sont superposables, nous devons montrer que les côtés correspondants sont égaux. Lorsque nous prouvons la similitude, la règle CCC signifie cependant que nous devons montrer que les côtés sont proportionnels.
Pour les triangles illustrés, nous pouvons voir qu’ils sont semblables car les longueurs du petit triangle sont proportionnelles respectivement à celles du grand triangle. En fait, chaque longueur du petit triangle est égale à la moitié de celle du grand triangle.
Pour parler de triangles semblables, nous utilisons souvent le terme de facteur d’échelle. Il s’agit du rapport des longueurs correspondantes de figures semblables. Le facteur d’échelle représente toujours un multiplicateur. Par exemple, on peut dire de façon informelle que pour passer du plus grand triangle au plus petit triangle, on divise les longueurs par deux. Cependant, pour dire cela d’une manière plus juste d’un point de vue mathématique, on doit dire que le facteur d’échelle est égal à un sur deux.
La dernière façon dont nous pouvons prouver que deux triangles sont semblables est en utilisant la règle CAC. Nous devons alors démontrer que deux paires de côtés sont proportionnels et que les deux angles entre ces deux côtés sont égaux. Notez que lorsque nous utilisons la règle CAC pour prouver que des triangles sont superposables, les côtés et les angles doivent tous être égaux. Comme nous l’avons vu dans la méthode précédente, les côtés ici doivent uniquement être proportionnels pour prouver une similitude.
Pour les triangles illustrés, si nous pouvons montrer que deux pairs de côtés correspondants sont proportionnels et que les deux angles entre ces côtés sont égaux, nous montrons alors que ces deux triangles sont semblables. Nous allons maintenant voir un exemple de question où nous devons déterminer le facteur d’échelle.
Sur le schéma ci-dessous, sachant que les deux triangles sont semblables, quel est le facteur d’échelle qui permet de passer du grand triangle au petit triangle ?
On peut rappeler que le mot semblable signifie qu’ils ont la même forme mais une taille différente. Plus précisément, nous pouvons dire que leurs angles correspondants sont égaux et que leurs côtés correspondants sont proportionnels. Afin de trouver le facteur d’échelle qui permet de passer du grand triangle au petit triangle, nous devons déterminer le coefficient de proportionnalité des côtés. Ce rapport sera égal au facteur d’échelle.
Nous pouvons commencer par étudier les longueurs des côtés oranges et utiliser la formule selon laquelle le facteur d’échelle est égal à la nouvelle longueur sur la longueur d’origine. Comme la nouvelle longueur dans le petit triangle est six et que la longueur d’origine est 12 dans le grand triangle, on obtient un facteur d’échelle de six sur 12, ce qui se simplifie en un demi. Par conséquent, chacune des longueurs du petit triangle sera égale à la moitié de la longueur correspondante du grand triangle.
Nous pouvons vérifier notre réponse avec les longueurs des deux autres côtés. Si on prend la longueur 11 et qu’on la multiplie par le facteur d’échelle un sur deux, on obtient 11 sur deux, ce qui se simplifie en cinq demi ou 5,5. La longueur correspondante sur le petit triangle est bien de 5,5. Nous avons ainsi confirmé notre réponse : le facteur d’échelle du grand triangle au petit triangle est de un demi.
Nous devons toujours nous assurer que le facteur d’échelle est un multiplicateur. On aurait par exemple pu diviser les longueurs du grand triangle par deux pour obtenir le petit triangle. Mais le facteur d’échelle ne peut pas être «diviser par deux». Il doit être «multiplier par un demi».
Nous allons maintenant étudier quelques questions où nous devons calculer des longueurs inconnues dans des triangles semblables.
Sachant que 𝐴𝐵 égale 13 centimètres, 𝐵𝐶 égale huit centimètres, 𝐴𝐶 égale 11,36 centimètres et 𝐴𝐷 égale 10 centimètres, déterminez la longueur de 𝐴𝐸 arrondie au centième près.
Sur ce schéma, il y a un grand triangle 𝐴𝐵𝐶 et un petit triangle 𝐴𝐷𝐸. Afin de déterminer la longueur inconnue, il pourrait être judicieux de déterminer si ces triangles sont semblables. Des triangles semblables ont des angles correspondants égaux et des côtés correspondants proportionnels.
Indiquons les longueurs que nous connaissons sur notre schéma. 𝐴𝐵 mesure 13 centimètres, 𝐴𝐶, 11,36 centimètres et 𝐴𝐷, 10 centimètres. Afin de prouver que deux triangles sont semblables, nous pouvons utiliser la règle AA, où nous montrons qu’il y a deux paires d’angles sont égaux. La règle CCC, où nous montrons que les trois côtés sont proportionnels. Ou la règle CAC, où nous montrons que deux paires de côtés sont proportionnels et que les angles entre eux sont égaux.
Sur le schéma, il ne semble pas que nous ayons suffisamment d’informations sur les côtés pour utiliser la règle CCC, penchons-nous donc sur les angles. Si nous commençons par cet angle 𝐸𝐴𝐷 dans le petit triangle, il est commun et égal à l’angle 𝐶𝐴𝐵 du grand triangle. Nous pouvons donc dire que ces deux angles sont égaux. L’angle en vert, l’angle 𝐷𝐸𝐴 dans le petit triangle, est égal à l’angle 𝐵𝐶𝐴 dans le grand triangle car ce sont des angles correspondants de deux droites parallèles coupées par une sécante.
De la même manière, l’angle 𝐴𝐷𝐸 est correspondant à l’angle 𝐴𝐵𝐶 dans le grand triangle. Nous avons donc deux angles de plus qui sont égaux. Nous avons maintenant trouvé que les triangles ont trois paires d’angles correspondants égaux. Deux paires auraient été suffisantes pour prouver que ces deux triangles sont semblables. Maintenant que nous savons que les deux triangles sont semblables, calculons la longueur inconnue 𝐴𝐸.
Pour cela, nous devons déterminer le facteur d’échelle entre 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐸. Il est souvent utile de dessiner les triangles séparément afin de nous aider à déterminer le facteur d’échelle. Pour calculer le facteur d’échelle du grand triangle au petit triangle, nous pouvons utiliser la formule selon laquelle le facteur d’échelle est égal à la nouvelle longueur sur la longueur d’origine. Nous connaissons les longueurs de deux côtés correspondants, 10 centimètres pour AD et 13 centimètres pour 𝐴𝐵.
Si on calcule le facteur d’échelle du grand au petit triangle, alors la nouvelle longueur est 10 centimètres et la longueur d’origine est 13 centimètres. Le facteur d’échelle est donc égal à 10 sur 13. Afin de calculer la longueur de 𝐴𝐸, on prend son côté correspondant 𝐴𝐶 de 11,36 et on le multiplie par le facteur d’échelle de 10 sur 13. Comme la réponse doit être au centième près, nous pouvons utiliser une calculatrice pour calculer cette valeur.
𝐴𝐸 est donc égal à 8,73846 etc centimètres. Pour l’arrondir au centième près, on regarde le chiffre des millièmes et on vérifie s’il est supérieur ou égal à cinq. Comme c’est le cas, nous arrondissons notre réponse au centième supérieur, soit 8,74 centimètres. Nous avons donc trouvé cette valeur de 𝐴𝐸 en prouvant que les triangles étaient semblables et en calculant le facteur d’échelle.
Étudions une autre question.
Les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime sont semblables. Déterminez la mesure de l’angle 𝑥. Déterminez la valeur de 𝑦. Déterminez la valeur de 𝑧.
La question indique que les deux triangles sont semblables, ce qui signifie que leurs angles correspondants sont égaux et que leurs côtés correspondants sont proportionnels. Si nous étudions cet angle en 𝐴 prime désigné par 𝑥, nous devons déterminer quel angle dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 lui correspond. Cela n’est pas toujours clair sur les schémas, mais nous pouvons utiliser l’ordre des lettres pour nous aider.
L’angle en 𝐴 prime correspond à l’angle en 𝐴. Nous pouvons l’écrire de manière plus formelle par l’angle 𝐶 prime 𝐴 prime 𝐵 prime correspond à l’angle 𝐶𝐴𝐵, ici en rose. Ces deux angles sont donc égaux et de mesure 74,5 degrés. Notre réponse à la première partie de cette question est donc que la mesure 𝑥 est de 74,5 degrés. Il peut être tentant de penser que comme le triangle est plus grand, l’angle doit également être plus grand. Mais rappelez-vous que la somme des mesures des angles dans un triangle est toujours égale à 180 degrés.
La deuxième partie de cette question demande de calculer la longueur de 𝑦. Nous devons d’abord calculer le coefficient de proportionnalité ou le facteur d’échelle pour passer du petit triangle au grand triangle. Nous pouvons utiliser pour cela deux côtés correspondants donnés. La longueur 𝐴 prime 𝐵 prime est cinq et la longueur 𝐴𝐵 est deux. Pour calculer le facteur d’échelle du petit triangle au grand triangle, on prend la nouvelle longueur de cinq et on la divise par la longueur d’origine de deux. Par conséquent, si nous souhaitons trouver une longueur du grand triangle, nous devons prendre la longueur correspondante du petit triangle et la multiplier par cinq sur deux.
La longueur 𝑦 ou 𝐵 prime 𝐶 prime du grand triangle que nous souhaitons calculer correspond au segment 𝐵𝐶 de longueur trois sur le petit triangle. Nous pouvons donc calculer 𝑦 en multipliant la longueur trois par le facteur d’échelle cinq sur deux. Trois fois cinq égale 15, et 15 sur deux donne 7,5. Notre réponse à la deuxième partie de cette question est donc 𝑦 égale 7,5.
Nous aurions pu utiliser une autre méthode pour calculer la valeur de . Comme nous savons que les triangles sont semblables, les longueurs sont toutes dans la même proportion. En observant les longueurs 𝐴 prime 𝐵 prime, égale à cinq, et 𝐴𝐵, égale à deux, nous pouvons dire que cinq sur deux est égal à 𝑦 sur trois. Comme ces triangles sont semblables, nous savons que le coefficient de proportionnalité est le même entre les longueurs cinq et deux, et entre les longueurs 𝑦 et trois. On peut alors effectuer un produit en croix donc deux fois 𝑦, soit deux 𝑦 égale cinq fois trois, ce qui est égal à 15. Et si deux 𝑦 égale 15, alors 𝑦 est égal à la moitié de cela. Donc 𝑦 égale 7,5, ce qui confirme la réponse que nous avons trouvée en calculant le facteur d’échelle.
Passons à la dernière partie de cette question pour trouver la valeur de 𝑧. Nous savons que nous passons du petit triangle au grand triangle en multipliant les longueurs par cinq sur deux. Mais que se passe-t-il dans le sens opposé ? Dans ce cas, il faut effectuer l’opération inverse. Nous pourrions dire de manière informelle que nous devons diviser les longueurs par cinq sur deux, mais les facteurs d’échelle doivent être des multiplicateurs. On rappelle que diviser par une fraction est équivalent à multiplier par l’inverse de cette fraction. Le facteur d’échelle du grand triangle au petit triangle est donc de deux sur cinq.
Afin de déterminer la longueur de 𝑧 ou 𝐴𝐶, on prend la longueur correspondante 𝐴 prime 𝐶 prime, égale à quatre, et on la multiplie par le facteur d’échelle de deux sur cinq. Quatre fois deux égale huit, et huit sur cinq égale 1,6. Notre réponse à la dernière partie de cette question est donc 𝑧 égale 1,6.
Nous aurions pu résoudre cette dernière question en utilisant le facteur d’échelle d’origine. Nous aurions posé l’équation 𝑧 fois cinq sur deux égale quatre. Nous aurions alors réorganisé cela pour trouver la valeur de 𝑧. Cette méthode suit cependant de très près la recherche du facteur d’échelle inverse. Les deux méthodes donnent dans tous les cas 𝑧 égale 1,6.
Avant de résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo, étudions de plus près les facteurs d’échelle inverses. Supposons que nous avons deux triangles semblables et que le facteur d’échelle du petit triangle au grand triangle est trois. Existe-t-il un moyen rapide de trouver le facteur d’échelle dans le sens opposé ? Eh bien, le facteur d’échelle dans le sens opposé est toujours égal à l’inverse, c’est-à-dire à un sur le facteur d’origine. L’inverse de trois est un sur trois.
Si le facteur d’échelle dans un sens est de six, alors le facteur d’échelle dans le sens opposé sera de un sur six. Ou un sixième. Et pour un facteur d’échelle fractionnaire comme douze sur sept ? Eh bien, son inverse est la fraction retournée. Le facteur d’échelle dans le sens opposé est donc de sept sur 12. Utiliser cette formule du facteur d’échelle inverse peut nous aider à calculer des longueurs de triangles semblables.
Nous pouvons maintenant récapituler ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous avons vu que des triangles sont semblables si tous leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels. Nous pouvons prouver que des triangles sont semblables en utilisant la règle AA, la règle CCC ou la règle CAC. Il est très important de se rappeler que nous devons montrer que les angles sont égaux et que les côtés sont proportionnels. Les règles CCC et CAC peuvent également être utilisées lorsque nous montrons que des triangles sont superposables. Cependant, lorsque nous montrons que les triangles sont superposables, nous montrons que leurs côtés sont de même longueur. Lorsque nous utilisons ces règles pour des triangles semblables, nous devons seulement montrer que les côtés sont proportionnels.
Le facteur d’échelle est le rapport des longueurs des côtés correspondants de triangles semblables. Il correspond toujours à un multiplicateur. Nous pouvons calculer le facteur d’échelle dans un sens donné en calculant la nouvelle longueur d’un côté sur la longueur d’origine du côté. Et enfin, pour calculer le facteur d’échelle dans le sens opposé, nous calculons l’inverse du facteur d’échelle d’origine.
