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Déterminez la valeur de 𝑘 qui rend la fonction 𝑓 continue en 𝑥 est égal à zéro, étant donnée 𝑓 de 𝑥 est égal au sinus de deux 𝑥 multiplié par la cotangente de trois 𝑥 si 𝑥 n’est pas égal à zéro et 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑘 si 𝑥 est égal à zéro.
La question nous demande de trouver la valeur de 𝑘 qui rendra notre fonction 𝑓 continue au point où 𝑥 est égal à zéro. On nous donne une définition par morceaux de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Elle est égale à sinus deux 𝑥 cotangente trois 𝑥 si 𝑥 n’est pas égal à zéro et est égale à 𝑘 lorsque 𝑥 est égal à zéro. Puisque nous voulons trouver la valeur de 𝑘 qui rendra notre fonction 𝑓 continue lorsque 𝑥 est égal à zéro, nous allons rappeler la définition de la continuité au point 𝑥 est égal à 𝑎.
Une fonction 𝑓 est continue au point 𝑥 égale 𝑎 si elle remplit les trois conditions suivantes. La fonction 𝑓 doit être définie lorsque 𝑥 est égal à 𝑎. Cela revient à dire que 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓. Deuxièmement, la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de notre fonction 𝑓 de 𝑥 doit exister. Une autre façon de dire cela est que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à droite de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à gauche de 𝑓 de 𝑥 sont toutes deux égales. En particulier, notre limite à gauche et à droite doivent exister. Enfin, nous avons besoin que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 soit égale à 𝑓 évaluée en 𝑎.
Nous examinons la continuité de notre fonction 𝑓 au point où 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, nous allons définir 𝑎 égal à zéro et 𝑓 égal à notre 𝑓 de 𝑥 dans notre définition de la continuité. Puisque la question veut que nous rendions la fonction 𝑓 de 𝑥 continue en 𝑥 égale zéro, les trois parties de notre définition de la continuité doivent être vraies. Nous allons donc vérifier les trois parties individuellement. Premièrement, notre fonction 𝑓 de 𝑥 doit être définie lorsque 𝑥 est égal à zéro. Nous voyons que 𝑓 de 𝑥 est définie par morceaux. On nous dit que lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑘. Ainsi, nous avons que 𝑓 évalué en zéro est égal à 𝑘. Cela nous donne que zéro est dans le domaine de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Ainsi, la première partie de notre définition de la continuité est vraie.
Ensuite, puisque 𝑓 de 𝑥 est continue, la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 doit exister. Nous savons que cela correspond à dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro depuis la droite de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro depuis la gauche de 𝑓 de 𝑥 sont égales et existent toutes les deux. Ainsi, puisque nous devons avoir que ces deux limites existent et sont égales, vérifions la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par la droite de 𝑓 de 𝑥.
Puisque 𝑥 tend vers zéro depuis la droite, 𝑥 est toujours supérieur à zéro. Nous remarquons que dans notre définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥, si 𝑥 n’est pas égal à zéro, alors 𝑓 de 𝑥 est égal à la fonction sinus de deux 𝑥 cotangente de trois 𝑥. Ainsi, lorsque nous prenons une limite lorsque 𝑥 approche zéro par la droite, 𝑥 n’est jamais égal à zéro. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est donc exactement égale à sinus de deux 𝑥 cotangente de trois 𝑥. Ces limites seront donc égales.
À ce stade, nous pourrions vouloir essayer la substitution directe. Cependant, puisque 𝑥 tend vers zéro, nous remarquons que cotangente de trois 𝑥 n’existe pas. Nous devrons donc effectuer quelques manipulations pour nous aider à évaluer cette limite. Réécrivons entièrement cette limite en fonction des fonctions sinus et cosinus. Par définition, nous avons la cotangente de 𝑥 qui vaut un divisé par la tangente de 𝑥, qui donne donc cosinus de 𝑥 divisé par le sinus de 𝑥. Puisque cela est vrai pour toute valeur de 𝑥, nous pouvons remplacer 𝑥 par trois 𝑥, ce qui nous donne la cotangente de trois 𝑥 est équivalent au cosinus de trois 𝑥 divisé par le sinus de trois 𝑥. La substitution de cela dans notre limite nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par la droite de sinus de deux 𝑥 multiplié par cosinus de trois 𝑥 sur sinus de trois 𝑥.
Nous pourrions être tentés à nouveau d’essayer la substitution directe à ce stade. Cependant, puisque 𝑥 tend vers zéro, dans notre numérateur, nous avons le sinus de deux fois zéro, qui est zéro. Dans notre dénominateur, nous avons le sinus de trois fois zéro, qui est aussi zéro, ce qui nous donne une forme indéterminée. Nous allons donc devoir effectuer plus de manipulations pour évaluer cette limite. Pour nous aider à évaluer cette limite, nous allons utiliser l’un de nos résultats de limites trigonométriques standards : la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sinus de 𝑥 sur 𝑥 est égal à un. Puisque la limite de l’inverse est égale à l’inverse de la limite, nous avons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 divisé par le sinus de 𝑥 égale l’inverse de un, qui est juste égal à un.
Pour nous aider à évaluer cette limite, nous allons réécrire notre limite comme la limite lorsque 𝑥 tend vers zero par la droite du sinus de deux 𝑥 sur une fois un divisé par le sinus de trois 𝑥 fois cosinus de trois 𝑥. Trouver cette limite revient à trouver la limite que nous aurions si nous avions multiplié le numérateur et le dénominateur par 𝑥. Puisque nous savons que la limite d’un produit est égale au produit des limites, nous pouvons trouver la limite de chaque facteur séparément.
Pour évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par la droite du sinus de deux 𝑥 divisé par 𝑥, nous remplaçons 𝑥 par deux 𝑥 dans notre limite de sinus 𝑥 sur 𝑥. Si deux 𝑥 tend vers zéro, alors 𝑥 tend vers zéro. Ainsi, nous avons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 sur deux 𝑥 égale un. Nous voyons que le facteur un demi n’est qu’une constante. Ainsi, nous pouvons le sortir de notre limite. En fait, nous pouvons alors multiplier par deux, ce qui nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro du sinus de deux 𝑥 sur 𝑥 égale deux.
Nous pouvons faire de même pour évaluer la limite lorsque 𝑥 approche zéro par la droite de 𝑥 divisé par le sinus de trois 𝑥. Nous remplaçons 𝑥 par trois 𝑥 dans notre résultat sur les limites. Si trois 𝑥 tend vers zéro, cela revient à dire que 𝑥 tend vers zéro. Puis, nous prenons le facteur constant de trois en dehors de notre limite, nous donnant la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑥 divisé par le sinus de trois 𝑥 est égale à un tiers. Ainsi, en sachant que la limite du produit égale le produit des limites, nous avons que notre limite est égale à deux multiplié par un tiers multiplié par la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par la droite du cosinus de trois 𝑥.
Nous évaluons maintenant la limite d’une fonction trigonométrique standard. Nous pouvons le faire en utilisant la substitution directe. La substitution de 𝑥 est égal à zéro nous donne le cosinus de trois fois zéro, qui donne le cosinus de zéro, qui vaut un. Par conséquent, nous avons montré que la limite lorsque 𝑥 approche zéro par la droite de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux tiers. Ainsi, nous avons trouvé la limite lorsque 𝑥 approche zéro par la droite de notre fonction 𝑓 de 𝑥.
Puisque nous voulons que notre fonction 𝑓 de 𝑥 soit continue, nous avons besoin que les limite à gauche et à droite existent et soient égales. Que serait-il arrivé à notre méthode si au lieu de prendre la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par la droite, nous avions pris la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par la gauche? Lorsque 𝑥 tend vers zéro depuis la gauche, nous avons maintenant que 𝑥 est inférieur à zéro. Nous voyons toujours que lorsque 𝑥 est inférieur à zéro, 𝑥 n’égale pas zéro. Ainsi, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est toujours égale au sinus de deux 𝑥 multiplié par la cotangente de trois 𝑥. Puis, nous voyons qu’aucune de nos étapes n’a spécifiquement utilisé le fait que 𝑥 se rapproche de zéro par la droite. Ainsi, notre méthode serait restée la même. Nous montrerions que la limite lorsque 𝑥 approche zéro par la gauche de 𝑓 de 𝑥 est également égale à deux tiers. Ainsi, en particulier, nous avons montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de notre fonction 𝑓 de 𝑥 existe.
Enfin, pour que notre fonction soit continue, nous avons besoin que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro soit égale à 𝑓 évaluée en zéro. Ainsi, pour que la fonction 𝑓 de 𝑥 soit continue lorsque 𝑥 est égal à zéro, nous avons besoin que 𝑓 évaluée en zéro soit égale à la limite lorsque 𝑥 approche de zéro de 𝑓 de 𝑥, ce qui, nous l’avons montré, est égal à deux tiers. Cependant, en utilisant la définition par morceaux de notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous savons que 𝑓 évaluée en zéro est égal à 𝑘. Par conséquent, puisque 𝑓 évaluée en zéro doit être égale à deux tiers pour que notre fonction soit continue lorsque 𝑥 est égal à zéro, nous devons avoir 𝑘 égale à deux tiers.
Par conséquent, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal au sinus de deux 𝑥 cotangente de trois 𝑥 si 𝑥 n’est pas égal à zéro et 𝑘 lorsque 𝑥 est égal à zéro ne sera continue au point où 𝑥 est égal à zéro que lorsque 𝑘 est égal à deux tiers.
