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Vidéo de question : Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction polynomiale Mathématiques

Etant donnée 𝑓 (𝑥) = 8𝑥⁴ - 16𝑥² + 5, déterminez les intervalles sur lesquels 𝑓 est croissante ou décroissante.

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Transcription de vidéo

Étant donnée 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 à la puissance quatre moins 16𝑥 au carré plus cinq, déterminez les intervalles sur lesquels 𝑓 est croissante ou décroissante.

Commençons par rappeler ce que nous comprenons d’une fonction croissante ou décroissante. Nous disons qu’une fonction croît lorsque la dérivée première de cette fonction évaluée en un point est supérieure à zéro. Elle décroît pour les valeurs de 𝑥 telles que la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 est inférieure à zéro. Il s’ensuit que la première chose que nous pouvons faire est de trouver la dérivée première de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Notez que 𝑓 de 𝑥 est une fonction polynomiale. Nous savons que les polynômes sont dérivables sur tout leur domaine de définition. Nous allons simplement dériver terme par terme. Bien sûr, pour dériver un terme de puissance de la forme 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛-ième, où 𝑎 et 𝑛 sont des constantes réelles, nous multiplions le terme entier par l’exposant puis réduisons cet exposant de un.

Ainsi, la dérivée première de huit 𝑥 à la puissance quatre est quatre fois huit 𝑥 à la puissance quatre moins un, soit huit 𝑥 au cube. Ensuite, la dérivée première de 16𝑥 au carré est deux fois 16𝑥. Bien sûr, la dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions est égale à la somme ou à la différence des dérivées. Nos deux premiers termes sont donc quatre fois huit 𝑥 au cube moins deux fois 16𝑥. En fait, la dérivée de toute constante vaut zéro. Ainsi, la dérivée de cinq est zéro, ce qui signifie que 𝑓 prime de 𝑥 se simplifie en 32𝑥 au cube moins 32𝑥.

Notre travail, bien sûr, est de trouver les valeurs de 𝑥 telles que cette dérivée soit inférieur à ou supérieur à zéro. Pour ce faire, nous pourrions utiliser un résolveur d’inéquation sur une calculatrice. Sans ça, nous pouvons considérer la forme du graphique. Appliquons cette deuxième méthode et commençons simplement par trouver où la dérivée première est égale à zéro. Pour ce faire, nous factorisons l’expression sur le côté gauche. Nous obtenons 32𝑥 fois 𝑥 au carré moins un égal à zéro. Bien sûr, pour que le produit de ces deux fonctions soit égal à zéro, l’un ou l’autre des facteurs doit être égale à zéro. Ainsi, 32𝑥 pourrait être égal à zéro ou 𝑥 au carré moins un pourrait être égal à zéro. Maintenant, en divisant les deux côtés de cette première équation par 32, nous constatons que 𝑥 est égal à zéro est une solution de notre équation.

Pour résoudre notre deuxième équation, nous allons commencer par ajouter un des deux côtés. Puis nous prenons la racine carrée des deux côtés de notre équation, en nous souvenant, bien sûr, de prendre à la fois la racine carrée positive et négative de un. Ainsi, nous trouvons que 𝑥 est égal à un ou moins un sont deux autres solutions de notre équation. Nous savons maintenant que la courbe de notre dérivée est une courbe cubique qui passe par l’axe des 𝑥 en zéro, un et moins un. Elle a un coefficient dominant positif, donc elle ressemble un peu à ceci.

Nous pouvons utiliser ce graphique pour identifier l’endroit où la dérivée première est supérieure ou inférieure à zéro. Bien, la dérivée est clairement supérieur à zéro dans ces deux endroits et inférieur à zéro ici. Ainsi, la dérivée première est supérieure à zéro pour des valeurs de 𝑥 supérieures à moins un et inférieures à zéro et des valeurs de 𝑥 supérieures à un. Nous disons donc que la fonction 𝑓 croît sur les intervalles ouverts de moins un à zéro et de un à ∞. De même, la dérivée première est inférieure à zéro pour des valeurs de 𝑥 inférieures à moins un et comprises entre zéro et un. Ainsi, la fonction 𝑓 doit être décroissante sur l’intervalle ouvert de moins ∞ à moins un et de zéro à un.

Nous avons donc identifié les intervalles croissants et décroissants de notre fonction. Bien sûr, rappelez-vous que ces intervalles doivent être ouverts par opposition à fermés puisque 𝑓 prime de 𝑥 égale zéro indique un point critique.

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