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Sachant que le vecteur 𝐀 est égal à deux 𝐢 plus cinq 𝐤 et que le vecteur 𝐁 est égal à quatre 𝐢 plus trois 𝐣 plus 𝐤, déterminez la mesure de l'angle entre les deux vecteurs au centième près.
On rappelle que le cosinus de l’angle 𝜃 entre deux vecteurs est égal au produit scalaire des deux vecteurs divisé par le produit des normes des deux vecteurs. Nous allons donc commencer par calculer le produit scalaire des vecteurs 𝐀 et 𝐁. On multiplie pour cela séparément les coefficients de 𝐢, les coefficients de 𝐣 et les coefficients de 𝐤. Puis on calcule la somme de ces trois produits.
Deux fois quatre égale huit. Le vecteur 𝐀 n’a pas de coefficient pour 𝐣. Donc cette composante est nulle. Zéro fois trois égale zéro. Cinq fois un égale cinq. Et huit plus zéro plus cinq est égal à 13. Le produit scalaire des vecteurs 𝐀 et 𝐁 est donc égal à 13.
On calcule ensuite la norme de tout vecteur en prenant la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré, où 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les coefficients respectifs de 𝐢, 𝐣 et 𝐤. La norme de 𝐀 est donc égale à racine carrée de deux au carré plus zéro au carré plus cinq au carré. Ce qui fait racine carrée de 29. Et on utilise la même formule pour calculer la norme de 𝐁. Elle est égale à racine carrée de quatre au carré plus trois au carré plus un au carré. Ce qui fait racine carrée de 26. Nous pouvons maintenant substituer nos trois valeurs dans la formule.
Cosinus 𝜃 est égal à 13 sur racine carrée de 29 fois racine carrée de 26. En appliquant ensuite la réciproque du cosinus aux deux membres de cette équation, on obtient 𝜃 égale cos moins un de 13 sur racine carrée de 29 fois racine carrée de 26. Et cela est égal à 61,7426. Nous devons maintenant arrondir cette valeur au centième. Donc le chiffre décisif est le deux. Comme il est inférieur à cinq, on arrondit par défaut. La mesure de l’angle entre les deux vecteurs est par conséquent de 61,74 degrés.
