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Vidéo de la leçon : Angle entre deux vecteurs dans l’espace Mathématiques

Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer l’angle entre deux vecteurs dans l’espace en utilisant leur produit scalaire.

23:20

Transcription de vidéo

Angle entre deux vecteurs dans l’espace

Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer l’angle entre deux vecteurs dans l’espace en utilisant leur produit scalaire. Et nous allons voir comment le faire dans quelques situations, par exemple, étant donné des vecteurs décrits par leurs composantes ou la représentation graphique de ceux-ci.

Pour ce faire, nous devons d’abord rappeler quelques faits sur les vecteurs. Premièrement, nous savons comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de dimensions égales. Si 𝐮 est le vecteur avec les composantes 𝐮 un, 𝐮 deux, jusqu’à 𝐮 𝑛 et 𝐯 est le vecteur avec les composantes 𝐯 un, 𝐯 deux, jusqu’à 𝐯 𝑛, alors le produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 est égal à la somme des produits des composantes correspondantes. 𝐮 scalaire 𝐯 égale 𝐮 un fois 𝐯 un plus 𝐮 deux fois 𝐯 deux et on additionne jusqu’à 𝐮 𝑛 fois 𝐯 𝑛. Et nous avons vu différentes façons d’utiliser le produit scalaire.

Par exemple, si 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors nous savons que le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. Et il convient de souligner qu’il existe une deuxième façon de considérer cette formule. Si on suppose que 𝐮 barre est le vecteur unitaire qui pointe dans la même direction que le vecteur 𝐮 et 𝐯 barre qui est le vecteur unitaire qui pointe dans la même direction que le vecteur 𝐯 - alors 𝐮 barre qui est 𝐮 divisé par la norme de 𝐮 et 𝐯 barre qui est 𝐯 divisé par la norme de 𝐯 - alors le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐮 barre et 𝐯 barre. Cela nous donne une belle interprétation géométrique du produit scalaire.

C’est cette formule que nous allons utiliser pour déterminer l’angle entre nos deux vecteurs. Nous allons calculer cette expression, puis prendre la réciproque de cosinus des deux côtés de l’équation. Cependant, il y a une chose qui mérite d’être soulignée ici au sujet de la valeur de 𝜃. Rappelons que si les angles sont en degrés, alors la fonction arc cosinus aura un intervalle compris entre zéro et 180 degrés inclus. Donc, si nous ne prenons que l’arc cos de cette expression, notre réponse sera toujours comprise entre zéro et 180 degrés inclus.

Et cela a un résultat utile géométriquement. Si on trace les vecteurs 𝐮 et 𝐯 à partir du même point, alors en utilisant cette formule pour calculer la valeur de 𝜃, on obtiendra toujours le plus petit angle. Et bien sûr, on peut calculer l’autre angle directement à partir du dessin. La somme de ces deux angles est égale à 360. Donc son angle sera 360 degrés moins 𝜃. Et une autre méthode pour voir pourquoi cela est vrai consiste à considérer ce qui se passe lorsqu’on prend l’arc cosinus des deux côtés de l’équation.

Nous savons que ce problème a plusieurs solutions. Et nous savons aussi que si 𝜃 est une solution à cela, alors 360 moins 𝜃 est aussi une solution parce que cosinus de 𝜃 est égal à cosinus de 360 moins 𝜃. La dernière chose que nous allons souligner, c’est que tout ce dont nous venons de parler est aussi vrai si les angles sont en radians. Cependant, les valeurs de 𝜃 seraient plutôt dans l’intervalle de zéro à 𝜋. Voyons maintenant quelques exemples de comment appliquer cela pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.

Étant donné que la norme du vecteur 𝐀 est 35, la norme du vecteur 𝐁 est 23 et le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est égal à moins 805 racine de deux divisé par deux, déterminez la mesure du plus petit angle entre les deux vecteurs.

Dans cette question, on nous donne des informations sur les vecteurs 𝐀 et 𝐁. Et on nous demande de déterminer le plus petit angle entre ces deux vecteurs. Parfois, dans ces questions, il est important de faire un dessin pour représenter ce qui se passe. Cependant, les informations que nous avons sur nos vecteurs ne nous permettront pas de faire un dessin. Nous ne connaissons pas les composantes des vecteurs 𝐀 et 𝐁. Nous ne connaissons que leurs normes et leur produit scalaire.

Nous allons donc devoir compter entièrement sur notre formule. Rappelons qu’elle stipule que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, alors le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 divisé par la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁. Et pour calculer la valeur de 𝜃, on prend l’arc cosinus des deux côtés de cette équation. Et cela nous donne un résultat utile car arc cosinus a comme ensemble image l’intervalle fermé zéro, 180 degrés.

Par conséquent, la façon dont on trace les vecteurs 𝐀 et 𝐁, importe peu. Si la valeur de 𝜃 est comprise entre zéro et 180, cela nous donnera toujours le plus petit angle entre ces deux vecteurs. Le seul problème serait le fait que nos vecteurs pointent dans des directions exactement opposées. Ensuite, l’angle mesuré dans les deux sens sera égal à 180 degrés. Cependant, comme nous le verrons, ce n’est pas ce qui se passe dans cette question.

Déterminons maintenant le plus petit angle entre nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. On résout l’équation, le cosinus de 𝜃 sera égal au produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 divisé par la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁. Dans la question, on nous dit que le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est égal à moins 805 racine de deux sur deux, la norme de 𝐀 est égale à 35 et la norme de 𝐁 est égale à 23. Nous pouvons donc introduire ces valeurs directement dans notre formule, ce qui nous donne le cosinus de 𝜃 est égal à moins 805 racine de deux sur deux, le tout divisé par 35 fois 23.

Nous pouvons simplifier cela. Rappelons que, diviser par un nombre revient à multiplier par l’inverse de ce nombre, ce qui nous donne le cosinus de 𝜃 égale moins 805 racine de deux divisé par deux fois 35 fois 23. Et si nous devions évaluer 35 fois 23, nous verrions que c’est exactement égal à 805. Donc, nous pouvons les éliminer, ce qui nous laisse avec cosinus de 𝜃 est égal à moins racine de deux sur deux.

Et enfin, nous pouvons déterminer la valeur de 𝜃 en prenant l’arc cosinus des deux côtés de l’équation. Nous savons que cela nous donnera le plus petit angle entre nos deux vecteurs. Cela nous donne 𝜃 égale à l’arc cosinus de moins racine de deux sur deux, que nous pouvons calculer comme étant 135 degrés.

Voyons maintenant un exemple dans lequel on calcule l’angle entre deux vecteurs donnés sous formes de composantes.

Déterminez l’angle 𝜃 entre les vecteurs 𝐕 quatre, deux, moins un et 𝐖 huit, quatre, moins deux.

Dans cette question, on nous donne deux vecteurs sous forme de composantes. Et on nous demande de déterminer l’angle 𝜃 entre ces deux vecteurs. Pour ce faire, nous connaissons une formule pour calculer l’angle entre deux vecteurs quelconques. Nous rappelons que si 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐕 et 𝐖, alors 𝜃 satisfait l’équation, le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐕 et 𝐖 divisé par la norme de 𝐕 fois la norme de 𝐖.

Et puisqu’on nous donne 𝐕 et 𝐖 sous forme de composantes, nous pouvons calculer toutes ces valeurs. Nous pouvons calculer la valeur de 𝜃. Commençons par calculer le produit scalaire de 𝐕 et 𝐖. Nous voulons donc évaluer le produit scalaire entre les vecteurs quatre, deux, moins un et huit, quatre, moins deux. Rappelons que pour évaluer le produit scalaire de deux vecteurs, on doit multiplier les composantes correspondantes, puis additionner tous les résultats.

Lorsqu’on multiplie les premières composantes de chaque vecteur, on obtient quatre fois huit. Lorsqu’on multiplie les deuxièmes composantes, on obtient deux fois quatre. Et le produit des troisièmes composantes donne moins un fois moins deux. Donc, le produit scalaire de ces deux vecteurs sera la somme de ces trois produits. Et nous pouvons évaluer cette expression. Donc le produit scalaire de 𝐕 et 𝐖 est 42.

Cependant, ce n’est pas la seule chose que nous devons calculer. Nous devons également calculer la norme de 𝐕 et la norme de 𝐖. Pour ce faire, nous devons d’abord rappeler comment calculer la norme d’un vecteur. Rappelons que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. En d’autres termes, la norme du vecteur 𝐚, 𝐛, 𝐜 est égale à la racine carrée de 𝐚 au carré plus 𝐛 au carré plus 𝐜 au carré. Et nous savons que les composantes de 𝐕 sont quatre, deux et moins un. Donc, la norme de 𝐕 est égale à la racine carrée de quatre au carré plus deux au carré plus moins un au carré.

Et si on évalue cette expression, on voit que c’est égale à la racine carrée de 21. On peut alors faire exactement la même chose pour calculer la norme de 𝐖. Qui est égale à la racine carrée de huit au carré plus quatre au carré plus moins deux au carré. Et si on évalue et simplifie cette expression, on voit que la norme de 𝐖 est égale à deux racine de 21. Maintenant que nous avons calculé le produit scalaire de 𝐕 et 𝐖, la norme de 𝐕 et la norme de 𝐖, nous pouvons les substituer dans notre équation qui contient 𝜃.

Nous avons montré que le produit scalaire de 𝐕 et 𝐖 est égal à 42, la norme de 𝐕 égale racine de 21 et la norme de 𝐖 égale deux racine de 21. Par conséquent, le cosinus de 𝜃 est égal à 42 sur racine de 21 fois deux racine de 21. Cependant, si nous commençons à évaluer cette expression, nous verrons quelque chose d’intéressant. Dans le dénominateur de cette expression, racine de 21 multiplié par deux racine de 21 est égal à 42. Et 42 sur 42 est égal à un. Donc, toute notre équation devient le cosinus de 𝜃 est égal à un, et nous pouvons déterminer 𝜃. On prend arc cosinus des deux côtés de l’équation, ce qui nous donne 𝜃 égale arc cosinus de un, qui est égal à zéro degré.

Et nous pourrions nous arrêter ici ; Cependant, cela nous communique une information utile. Si l’angle entre 𝐕 et 𝐖 est égal à zéro degré, alors 𝐕 et 𝐖 pointent dans la même direction. En d’autres termes, nous avons également montré que les vecteurs 𝐕 et 𝐖 sont colinéaires. Et en fait, nous aurions pu le prouver directement. Nous aurions constaté que le vecteur 𝐖 est juste deux fois le vecteur 𝐕. Et nous pouvons en tirer un résultat utile. Puisque notre scalaire est positif, l’angle entre ces deux vecteurs sera zéro. Cependant, si ce scalaire était négatif, l’angle entre eux serait de 180 degrés car nos vecteurs pointeraient dans des directions exactement opposées. Quoi qu’il en soit, nous avons pu montrer que l’angle 𝜃 entre les vecteurs 𝐕 et 𝐖 que nous avons dans la question était de zéro degré.

Voyons un autre exemple dans lequel on calcule l’angle entre deux vecteurs.

Déterminez l’angle 𝜃 entre les vecteurs 𝐯 égale à 𝐢 et 𝐰 égale à trois 𝐢 plus deux 𝐣 plus quatre 𝐤. Donnez votre réponse au centième près.

Dans cette question, on nous donne deux vecteurs 𝐯 et 𝐰 en fonction des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Et on nous demande de calculer l’angle 𝜃 entre ces deux vecteurs. Et nous devons donner notre réponse au centième près.

Pour ce faire, nous pouvons commencer par rappeler que nous avons une formule pour calculer l’angle entre deux vecteurs. Puisque 𝜃 est l’angle entre les vecteurs 𝐯 et 𝐰, le cosinus de 𝜃 doit être égal au produit scalaire de 𝐯 et 𝐰 divisé par la norme de 𝐯 fois la norme de 𝐰. Donc, pour calculer la valeur de 𝜃, nous devons calculer le produit scalaire de 𝐯 et 𝐰, la norme de 𝐯 et la norme de 𝐰. Ensuite, tout ce que nous aurons à faire est de prendre l’arc cosinus des deux côtés de l’équation.

Il y a plusieurs façons de faire cela. Par exemple, on peut travailler directement avec la notation des vecteurs unitaires pour 𝐯 et 𝐰. Cependant, on pourrait également écrire ces vecteurs par composante en prenant les coefficients des vecteurs unitaires. Les deux méthodes fonctionnent ; le choix de la méthode à utiliser est basé sur une préférence personnelle.

Nous allons écrire 𝐯 et 𝐰 par leurs composantes. 𝐯 est le vecteur un, zéro, zéro et 𝐰 est le vecteur trois, deux, quatre. Commençons maintenant par calculer les valeurs de notre équation. Commençons par le produit scalaire entre 𝐯 et 𝐰. Rappelons que pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on doit calculer le produit des composantes correspondantes, puis additionner les résultats. Dans ce cas, la première composante de 𝐯 fois la première composante de 𝐰 est un fois trois, la deuxième composante de 𝐯 fois la deuxième composante de 𝐰 est zéro fois deux, et la troisième composante de 𝐯 fois la troisième composante de 𝐰 est zéro fois quatre.

Le produit scalaire est donc la somme de ces valeurs, un fois trois plus zéro fois deux plus zéro fois quatre. Et nous pouvons simplement calculer cette expression. Les deuxième et troisième termes sont nuls. Donc, cela nous donne juste trois. Nous voulons maintenant déterminer la norme de nos deux vecteurs. Commençons par la norme de 𝐯. Rappelons que, 𝐯 est le vecteur 𝐢. Et, 𝐢 est un vecteur unitaire. Sa norme est un.

Maintenant, calculer la norme de 𝐰 est plus difficile. Nous allons donc écrire cela en composantes. Et nous rappelons que pour calculer la norme d’un vecteur, on doit calculer la racine carrée de la somme des carrés des composantes. Donc, la norme du vecteur 𝐚, 𝐛, 𝐜 sera la racine carrée de 𝐚 au carré plus 𝐛 au carré plus 𝐜 au carré. Et pour le vecteur 𝐰, ce sera la racine carrée de trois au carré plus deux au carré plus quatre au carré, dont le résultat est la racine carrée de 29.

Maintenant que nous avons trouvé ces valeurs, nous pouvons les introduire dans notre équation de 𝜃. Nous avons montré que le produit scalaire de 𝐯 et 𝐰 est égal à trois, que la norme de 𝐯 est un et que la norme de 𝐰 est racine de 29. Nous devons donc avoir le cosinus de 𝜃 est égal à trois divisé par un fois la racine carrée de 29. Et maintenant, nous pouvons déterminer 𝜃 en prenant l’arc cosinus des deux côtés de notre équation. Cela nous donne 𝜃 égale à l’arc cosinus de trois divisé par racine de 29. Et si on calcule cela et on arrondit le résultat au centième près, on voit que 𝜃 est égal à 56,15 degrés.

Voyons maintenant un exemple de comment calculer l’angle entre deux vecteurs donnés dans un diagramme.

Déterminez l’angle entre les vecteurs indiqués dans le diagramme suivant.

Dans cette question, nous devons déterminer l’angle entre deux vecteurs. Et on nous donne ces vecteurs sur un diagramme. Et nous pouvons également voir l’angle entre les deux vecteurs donnés sur notre diagramme. Il existe différentes méthodes pour calculer cela. Par exemple, on pourrait simplement faire cela en utilisant la trigonométrie. Cependant, il existe également une formule pour déterminer l’angle entre deux vecteurs. Rappelons que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. On peut ensuite utiliser cela pour déterminer la valeur de 𝜃 en prenant l’arc cosinus des deux côtés de l’équation.

Donc, pour résoudre cette question, nous allons devoir calculer le produit scalaire de nos vecteurs 𝐮 et 𝐯 ainsi que la norme de 𝐮 et la norme de 𝐯. Et pour ce faire, nous allons écrire nos vecteurs sous forme de composantes. Nous ferons cela en utilisant le diagramme. Commençons par le vecteur 𝐮. On peut voir sur notre diagramme qu’il commence à l’origine et à son point final, il a une coordonnée 𝑥 de moins deux racine de trois. Donc, la variation de 𝑥 est moins deux racine de trois. De même, on peut voir que sa coordonnée 𝑦 commence à zéro et se termine à deux et que sa variation de 𝑦 est deux. Nous pouvons donc représenter 𝐮 comme le vecteur avec la composante horizontale moins deux racine de trois et la composante verticale deux.

Nous pouvons faire exactement la même chose pour le vecteur 𝐯. On peut voir qu’il commence à l’origine, puis se termine à une coordonnée 𝑥 de moins deux et qu’il commence à l’origine et se termine à une coordonnée 𝑦 de moins deux. Donc, la variation de 𝑥 est moins deux, et la variation de y est moins deux. Et 𝐯 est le vecteur moins deux, moins deux. Maintenant, nous devons calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs et leurs normes.

Commençons par calculer le produit scalaire de 𝐮 et 𝐯. Rappelons que pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on doit calculer les produits des composantes correspondantes, puis les additionner. Donc, on multiplie les premières composantes de 𝐮 et 𝐯 ce qui donne deux racine de trois fois moins deux. Et puis on additionne les produits de leurs deuxièmes composantes. Ce qui donne deux fois moins deux. Et si on calcule cette expression, on voit que c’est égale à quatre racine de trois moins quatre.

Mais ce n’est pas encore terminé. Nous devons encore calculer la norme de 𝐮 et la norme de 𝐯. Commençons par calculer la norme de 𝐮. Rappelons que, nous pouvons calculer cela en prenant la racine carrée des sommes des carrés des composantes. Donc, la norme de 𝐮 est la racine carrée de moins deux racine de trois le tout au carré plus deux au carré, ce qui, lorsqu’on simplifie donne la racine carrée de 12 plus quatre, qui est racine de 16, ce qui est bien sûr égal à quatre. Nous pouvons ensuite faire exactement la même chose pour calculer la norme de 𝐯. On évalue le carré de chaque composante de 𝐯, les additionne et on calcule la racine carrée du résultat. La norme de 𝐯 est égale à la racine carrée de moins deux au carré plus moins deux au carré, ce qui donne la racine carrée de quatre plus quatre, qui est égale à racine de huit.

Et maintenant que nous avons calculé toutes ces valeurs, nous pouvons les substituer dans notre équation de 𝜃. Lorsqu’on substitue dans 𝐮 scalaire 𝐯 égale à quatre racine de trois moins quatre, la norme de 𝐮 est égale à quatre et la norme de 𝐯 est égale à racine de huit, on obtient le cosinus de 𝜃 égale quatre racine de trois moins quatre le tout divisé par quatre racine de huit. Et il convient de souligner ici que nous pouvons simplifier cette expression et avoir racine de six moins racine de deux le tout divisé par quatre. Cependant, ce n’est pas nécessaire car tout ce que nous devons faire maintenant, c’est prendre l’arc cosinus des deux côtés de l’équation.

Cela nous donne 𝜃 égale à l’arc cosinus de racine de six moins racine de deux le tout divisé par quatre, qu’on peut calculer et obtenir 75 degrés. Et voici notre réponse finale car si on regarde notre diagramme, il y a deux angles possibles entre les vecteurs 𝐯 et 𝐮. Il y a l’angle indiqué sur notre figure et l’angle que nous pourrions considérer dans la direction opposée. Cependant, cet angle secondaire en vert est supérieur à 75 degrés, il ne peut donc pas être égal à 75 degrés. En fait, sa valeur est de 360 moins 75 degrés. Par conséquent, nous avons pu montrer que l’angle entre les deux vecteurs, 𝐮 et 𝐯 sur notre diagramme est de 75 degrés.

Voyons maintenant un dernier exemple de comment utiliser notre formule pour déterminer des informations sur les vecteurs.

L’angle entre le vecteur 𝐀 et le vecteur 𝐁 est de 22 degrés. Si la norme du vecteur 𝐀 est égale à trois fois la norme du vecteur 𝐁 et égale à 25,2, calculez le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 au centième près.

Dans cette question, on nous donne des informations sur deux vecteurs 𝐀 et 𝐁. Tout d’abord, on nous dit que l’angle entre ces deux vecteurs est égal à 22 degrés. Ensuite, on nous donne également des informations sur leurs normes. Nous savons que la norme de 𝐀 est égale à 25,2, et nous savons que trois fois la norme de 𝐁 est égale à 25,2. Donc la norme de 𝐀 est trois fois plus grande que la norme de 𝐁. Nous devons l’utiliser pour calculer le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁. Et nous devons donner notre réponse au centième près.

Pour répondre à cette question, nous devons remarquer que nous connaissons une formule qui relie l’angle entre deux vecteurs à leur produit scalaire. Rappelons que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐀 et 𝐁, alors nous savons que le cosinus de 𝜃 doit être égal au produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 divisé par la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁. Et dans cette question, nous connaissons déjà certaines de ces valeurs. Par exemple, on nous dit que l’angle entre nos deux vecteurs est de 22 degrés. Ensuite, on nous dit également que la norme de 𝐀 est égale à 25,2.

Et nous pourrions également calculer la valeur de 𝐁 en utilisant les informations que nous avons dans la question. Une façon de le faire est de remarquer que trois fois la norme de 𝐁 est égale à 25,2. Nous pouvons alors résoudre ce problème et déterminer la norme de 𝐁 en divisant les deux côtés de notre équation par trois. Et lorsqu’on calcule cela, on obtient que la norme de 𝐁 soit égale à 8,4. Donc, en fait, la seule inconnue dans cette équation est le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁. Et c’est exactement ce qu’on nous demande de calculer.

Nous allons donc substituer l’angle 𝜃 égal à 22 degrés, la norme de 𝐀 égale à 25,2 et la norme de 𝐁 égale à 8,4 dans notre équation. Cela nous donne le cosinus de 22 degrés doit être égal au produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 divisé par 25,2 fois 8,4. Et maintenant, nous pouvons simplement réécrire cette équation du produit scalaire de 𝐀 et 𝐁. On multiplie par 25,2 fois 8,4. Cela nous donne 𝐀 scalaire 𝐁 égale 25,2 fois 8,4 fois le cosinus de 22 degrés. Et nous pouvons calculer cela au centième près ou à deux décimales près. C’est égal à 196,27.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Premièrement, on sait que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. Et cela est valide tant qu’aucun des vecteurs 𝐮 ou 𝐯 n’est égal à zéro. Et pour effectuer le produit scalaire de 𝐮 et 𝐯, il faut qu’ils aient la même dimension. On peut également utiliser cette formule pour déterminer l’angle entre deux vecteurs en appliquant l’arc cosinus des deux côtés de cette équation. Mais il faut faire attention car la fonction arc cosinus a comme ensemble image l’intervalle fermé zéro, 180 degrés, ou l’intervalle fermé zéro, 𝜋, si les angles sont en radians. Donc, cette méthode donne le plus petit des deux angles entre les vecteurs 𝐮 et 𝐯.

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