Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à déterminer l’angle entre deux vecteurs dans l’espace en utilisant leur produit scalaire.
Pour commencer, rappelons comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Si l’on considère deux vecteurs de même dimension, et , alors le produit scalaire des deux vecteurs est égal à qui est une quantité scalaire. De plus, rappelons les propriétés suivantes du produit scalaire.
Théorème : Propriétés du produit scalaire
Pour tous scalaire et vecteurs , et de même dimension, les propriétés suivantes sont valables :
Examinons la signification géométrique du produit scalaire en utilisant l’image ci-dessous.
En utilisant les notations de la figure, la loi des cosinus stipule que
En utilisant la dernière propriété de la liste, nous pouvons réécrire le côté droit de l’équation comme . En utilisant la propriété de distributivité du produit scalaire, on obtient
Nous savons que et que . Par la propriété de commutativité, on a . L’application de ces identités sur le côté droit de l’équation ci-dessus la réduit à
Cela conduit à l’équation
En simplifiant cette équation, on obtient
Ainsi, le produit scalaire de deux vecteurs est, géométriquement, le produit des normes des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle entre eux.
Théorème : Formule géométrique pour le produit scalaire
Soient et des vecteurs non nuls et l’angle entre les deux vecteurs. Alors,
Considérons un exemple où nous appliquons cette formule géométrique pour calculer le produit scalaire.
Exemple 1: Déterminer le produit scalaire de vecteurs
L’angle entre et est . Si , trouvez au centième près.
Réponse
On rappelle que le produit scalaire de deux vecteurs est le produit des normes des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle entre eux. En d’autres termes, où est l’angle entre les deux vecteurs. On nous donne que et . On peut calculer
Alors,
En arrondissant au centième près, on obtient .
Dans l’exemple suivant, nous utilisons les propriétés des opérations vectorielles avec l’interprétation géométrique du produit scalaire.
Exemple 2: Déterminer le produit scalaire de vecteurs en utilisant les propriétés du produit scalaire
Si et sont deux vecteurs unitaires perpendiculaires, trouvez .
Réponse
On rappelle la distributivité du produit scalaire ; pour tous vecteurs de même dimension , et :
Nous remarquons que la propriété de distributivité fonctionne de la même manière lorsque les signes plus des deux côtés sont remplacés par des signes moins. En utilisant cette propriété, on calcule
On rappelle aussi la propriété commutative du produit scalaire ; pour tous vecteurs de même dimension et :
Ensuite, le côté droit de l’équation (1) peut être écrit comme
En utilisant à nouveau la propriété de distributivité, ceci donne
Ensuite, nous rappelons la propriété de multiplication scalaire du produit scalaire ; pour tout scalaire et tous vecteurs de dimension égale et :
Alors, l’expression (2) est égale à
Enfin, nous rappelons que, pour tout vecteur ,
En utilisant cette propriété et la propriété commutative du produit scalaire, l’expression (3) peut être écrite comme
On sait que les normes et sont toutes deux égales à 1, car ce sont des vecteurs unitaires. Donc, il reste à calculer le produit scalaire . Nous rappelons que où est l’angle entre les deux vecteurs. Étant donné que les deux vecteurs sont perpendiculaires, nous avons . Donc,
Nous pouvons alors substituer ces valeurs dans notre expression :
Par conséquent, .
Nous notons qu’il y a deux façons différentes de mesurer l’angle entre deux vecteurs quelconques, et , comme illustré ci-dessous. On se rappelle qu’un vecteur est une quantité avec une norme et un sens, que nous pouvons tracer à partir de n’importe où dans l’espace. Cela signifie que nous pouvons tracer et à partir du même point d’application.
Les deux angles et satisfont l’équation , ce qui signifie que . La formule géométrique du théorème vaut pour les deux angles et , car le cosinus est pair et périodique avec une période de . Plus précisément, nous avons
On note que l’un des angles ( sur la photo ci-dessus ) se situe entre et , tandis que l’autre angle ( sur la photo ) se situe entre et . Par convention, lorsque nous mentionnons l’angle entre deux vecteurs, nous entendons le plus petit angle positif entre ces deux vecteurs, qui est celui entre et .
Nous avons vu une formule géométrique pour le produit scalaire :
Pour calculer l’angle entre deux vecteurs, nous pouvons réarranger cette équation de façon à isoler dans l’équation. Si et sont des vecteurs non nuls, alors et , afin que nous puissions diviser les deux côtés de l’équation par . Alors,
On rappelle que la fonction réciproque du cosinus donne des images comprises entre et , ce qui correspond également à la définition de l’angle entre deux vecteurs.
Théorème : Angle entre deux vecteurs
Soient et des vecteurs non nuls. Alors, l’angle entre les deux vecteurs, qui se situe entre et , est donné par
Dans l’exemple suivant, nous calculons l’angle entre deux vecteurs, en fonction de leur norme et de leur produit scalaire.
Exemple 3: Déterminer la mesure du plus petit angle entre deux vecteurs compte tenu de leur amplitude et de leur produit scalaire
Sachant que , et , déterminez la mesure du plus petit angle entre les deux vecteurs.
Réponse
On rappelle que l’angle entre deux vecteurs non nuls et est donné par
On nous donne que , et , donc on a
Par conséquent, l’angle entre et est de . On observe que la réponse est entre et , ce qui correspond au domaine attendu.
Dans le prochain exemple, nous calculerons l’angle entre deux vecteurs donnés en fonction de leur décomposition dans un repère orthonormé de l’espace.
Exemple 4: Déterminer l’angle entre les vecteurs donnés en fonction de leur décomposition dans un repère orthonormé de l’espace
Si et , déterminez la mesure de l’angle formé par les deux vecteurs au centième près.
Réponse
Nous rappelons que l’angle entre deux vecteurs non nuls et est l’angle , entre et , satisfaisant
Étant donné un vecteur , on sait que
Puisque et , on peut calculer
En outre, étant donné deux vecteurs quelconques et , le produit scalaire des deux vecteurs est égal à
Donc,
Comme indiqué, l’angle doit satisfaire
Cela conduit à
Ainsi, la mesure de l’angle entre les deux vecteurs donnés, arrondie au centième près, est . On observe que la réponse est entre et , ce qui correspond au domaine attendu.
Dans l’exemple suivant, nous calculons l’angle entre deux vecteurs parallèles.
Exemple 5: Déterminer l’angle entre deux vecteurs de l’espace donnés
Déterminez l’angle entre les vecteurs et .
Réponse
Pour cet exemple, nous pouvons utiliser deux méthodes différentes pour déterminer l’angle entre et . La première méthode consiste à utiliser le produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux vecteurs et la deuxième méthode consiste à utiliser la propriété des vecteurs parallèles.
Méthode 1
Nous rappelons que l’angle entre deux vecteurs non nuls et est donné par
Puisque et , on peut calculer
Leur produit scalaire est donné par
Ensuite, l’angle est donné par
Ainsi, l’angle entre et est .
Méthode 2
On rappelle que deux vecteurs non nuls et sont parallèles s’il y a un scalaire satisfaisant
En outre, si , alors les deux vecteurs ont la même direction. Dans ce cas, l’angle entre les deux vecteurs est de . En revanche, si , alors les deux vecteurs pointent dans des directions opposées, ce qui signifie que l’angle entre eux est de .
On nous donne que et . On note que chaque coordonnée de est exactement 3 fois la coordonnée correspondante de . En d’autres termes,
Donc, , ce qui signifie que les vecteurs et sont parallèles. Le scalaire 3 étant positif, cela signifie qu’ils ont le même sens.
Ainsi, l’angle entre les deux vecteurs est .
Dans notre prochain exemple, nous identifions l’angle entre deux vecteurs donnés graphiquement.
Exemple 6: Déterminer l’angle entre deux vecteurs donnés à partir de graphiques
Déterminez la mesure de l’angle entre les deux vecteurs de la figure. Donnez votre réponse au degré près.
Réponse
Nous rappelons que l’angle entre deux vecteurs non nuls et est l’angle
Sur la figure ci-dessous, deux vecteurs sont donnés graphiquement. Nous commencerons par déterminer les composantes des vecteurs à partir de la figure.
Nous notons que les deux vecteurs partent du point . Le vecteur violet pointe vers , tandis que le vecteur rouge pointe vers . Ainsi, le vecteur violet est donné par
Le vecteur rouge est donné par
Nous calculons leur norme et leur produit scalaire pour trouver l’angle entre les deux vecteurs :
Ainsi, l’angle entre les deux vecteurs est donné par
Ainsi, l’angle entre les deux vecteurs donnés arrondi au degré près est de . On observe que la valeur de cet angle se situe entre et , ce qui correspond au domaine attendu.
Dans notre dernier exemple, nous calculerons l’angle entre deux vecteurs pour lesquels seuls leur origine et leur extrémité sont données.
Exemple 7: Déterminer l’angle entre les vecteurs
Sachant les points , , et , déterminez la mesure de l’angle entre les vecteurs et arrondie au centième près.
Réponse
Nous rappelons que l’angle entre deux vecteurs non nuls et est l’angle
Nous devons identifier les vecteurs et avant de calculer leurs normes et leur produit scalaire. Nous avons
Ensuite, on calcule
Par conséquent, nous obtenons qui, au centième près, est .
La mesure de l’angle entre les vecteurs et arrondi au centième près est . On observe que la réponse est entre et , ce qui correspond au domaine attendu.
Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls et est donné par où est l’angle entre les deux vecteurs.
- L’angle entre deux vecteurs non nuls et est donné par
- Par convention, l’angle entre deux vecteurs réfère au plus petit angle positif entre ces deux vecteurs, qui est celui entre et .
- Si l’angle entre deux vecteurs vaut ou , alors les vecteurs sont parallèles.
