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Déterminez les équations paramétriques de la droite passant par les points 𝑃 zéro ; trois, trois, quatre et 𝑃 un ; cinq, deux, moins quatre en utilisant 𝑃 un comme point de départ et le vecteur 𝐏 zéro 𝐏 un comme vecteur directeur.
Rappelons que les équations paramétriques d’une droite peuvent être écrites sous la forme 𝑥 est égal à 𝑥 zéro plus 𝑙𝑡, 𝑦 est égal à 𝑦 zéro plus 𝑚𝑡 et 𝑧 est égal à 𝑧 zéro plus 𝑛𝑡 - ici, 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, et 𝑧 zéro sont les coordonnées de n’importe quel point de la droite. Les nombres 𝑙, 𝑚 et 𝑛 sont les composantes de tout vecteur directeur 𝐕 parallèle à la droite. 𝑡 est le paramètre qui donne son nom aux équations. Il est considéré comme couvrant tous les nombres réels.
Bien que nous puissions choisir n’importe quel point de la droite pour 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro, on nous a demandé de considérer le point 𝑃 un comme point de départ. Nous prenons donc 𝑥 zéro est égal à cinq, 𝑦 zéro est égal à deux et 𝑧 zéro est égal à moins quatre. Nous pouvons calculer le vecteur directeur 𝐏 zéro 𝐏 un comme la différence des vecteurs position 𝐎𝐏 un et 𝐎𝐏 zéro. Ainsi, 𝐏 zéro 𝐏 un est égal à deux, moins un, moins huit. Nous avons donc 𝑙 est égal à deux, 𝑚 est égal à moins un et 𝑛 est égal à moins huit. Ainsi, un ensemble d’équations paramétriques pour cette droite est 𝑥 est égal à cinq plus deux 𝑡, 𝑦 est égal à deux moins 𝑡 et 𝑧 est égal à moins quatre moins huit 𝑡.
Il convient de souligner que bien que nous ayons écrit un ensemble d’équations paramétriques pour la droite, ce n’est pas la seule possibilité. Nous aurions par exemple pu commencer avec le point 𝑃 zéro, ce qui donne les équations 𝑥 est égal à trois plus deux 𝑡, 𝑦 est égal à trois moins 𝑡, 𝑧 est égal à quatre moins huit 𝑡.
En effet, nous pouvons choisir n’importe quel point de la droite comme point de départ, par exemple, le point à mi-chemin entre 𝑃 zéro et 𝑃 un. En plus de choisir n’importe quel point de la droite comme point de départ, nous pouvons choisir n’importe quel vecteur parallèle à la droite comme vecteur directeur, soit tout multiple scalaire positif ou négatif de 𝐕. Tous ces différents ensembles d’équations paramétriques décrivent la même droite.
