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𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que huit sinus 𝐴 égale 11 sinus 𝐵 égale 16 sinus 𝐶. Déterminez le ratio 𝑎 sur 𝑏 sur 𝑐.
Pour rappel, d’après la loi des sinus, le ratio entre un côté d’un triangle et le sinus de l’angle opposé à ce côté est le même pour tous les côtés et tous les angles. Plutôt que de dessiner ce triangle, nous allons comparer cette formule à l’équation donnée dans l’énoncé. Choisissons cette première formule.
Puisque dans notre équation, le sinus de chacun des angles n’est pas au dénominateur. On remarque que dans la forme générale, les longueurs des côtés sont au dénominateur de chaque fraction. Il va falloir manipuler notre équation pour la faire ressembler à ceci. Pour ce faire, nous allons diviser chaque membre de l’équation par un nombre. Nous allons le diviser par le plus petit commun multiple de huit, 11 et 16.
Nous aurons donc sinus 𝐴 sur un certain nombre, égale sinus 𝐵 sur un certain nombre, égale sinus 𝐶 sur un certain nombre. Ce qui ressemblera à la formule des sinus. Pour trouver le plus petit commun multiple de huit, 11 et 16, écrivons la décomposition en facteurs premiers de ces trois nombres. Huit égale deux au cube, 11 est simplement 11 et 16 égale deux puissance quatre.
On trouve le plus petit commun multiple en calculant le produit de chaque nombre premier qui apparaît dans au moins une des décompositions, en l’affectant du plus grand exposant qui apparaît dans celles-ci. C’est deux puissance quatre multiplié par 11, soit 176. Nous allons donc diviser chaque membre de notre équation par 176.
Huit sinus 𝐴 divisé par 176 égale sinus 𝐴 sur 22, 11 sinus 𝐵 sur 176 se simplifie pour donner sinus 𝐵 sur 16, et 16 sinus 𝐶 sur 176 devient sinus 𝐶 sur 11. On voit que cette équation ressemble maintenant à la formule de la loi des sinus.
Le ratio 𝑎 sur 𝑏 sur 𝑐 est de 22 sur 16 sur 11. Ces trois nombres sont premiers entre eux, ce qui signifie que leur seul diviseur commun est un. On ne peut pas simplifier davantage ce ratio.
Le ratio 𝑎 sur 𝑏 sur 𝑐 est de 22 sur 16 sur 11.
