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Fiche explicative de la leçon : Loi des sinus Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à appliquer la loi des sinus pour déterminer les mesures d'angles et les longueurs inconnues dans des triangles quelconques.

Nous devrions déjà être familiers avec l’utilisation des rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente dans les triangles rectangles. La loi des sinus est une extension de ces techniques trigonométriques à un ensemble de triangles plus général.

Définition : Loi des sinus

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle dont les côtés ont pour longueur 𝑎, 𝑏 et 𝑐. La convention de nommage d’un triangle consiste à designer chaque côté par la lettre de l’angle opposé, en minuscule.

La loi des sinus stipule que 𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶.sinsinsin

L’égalité sur les inverses est également vraie:sinsinsin𝐴𝑎=𝐵𝑏=𝐶𝑐.

En d’autres termes, d’après la loi des sinus, dans tout triangle, le rapport entre toute longueur de côté et le sinus de son angle opposé est le même pour les trois paires de côtés et d’angles. En pratique, le plus souvent, seuls deux des trois rapports sont utilisés dans nos calculs. La première version de la loi des sinus, où les longueurs des côtés apparaissent au numérateur, est très utile pour calculer la longueur d’un côté, tandis que la version inverse, où les sinus des angles apparaissent au numérateur, est très utile pour calculer un angle simplement parce qu’il faut moins de réarrangement algébrique pour obtenir une réponse.

Comme la loi des sinus décrit le rapport entre les longueurs des côtés et les sinus de leurs angles opposés, nous saurons qu’il nous faudra utiliser cette loi dès lors que nous traiterons des questions où seront donnés des longueurs de côtés et d’angles opposés dans des triangles non rectangles.

Voyons maintenant comment appliquer la loi des sinus pour calculer une longueur inconnue dans un triangle.

Exemple 1: Utiliser la loi des sinus pour calculer une longueur inconnue

Dans la figure ci-dessous, on donne 𝐴𝐵=3 et 𝐵𝐶=𝑎. Utilisez la loi des sinus pour déterminer 𝑎. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Il est utile d’ajouter à la figure les longueurs données par l’énoncé.

Nous pouvons maintenant voir sur la figure que le côté de longueur 3 unités est opposé à l’angle de 31, et que le côté dont nous voulons déterminer la longueur 𝑎, est opposé à l’angle de 64. On peut donc appliquer la loi des sinus comme suit:𝑎𝐴=𝑐𝐶.sinsin

En substituant les valeurs de l’énoncé dans l’équation et en résolvant pour déterminer 𝑎, on obtient 𝑎64=331𝑎=36431.sinsinsinsin

En calculant puis en arrondissant la réponse au centième près, comme demandé par l’énoncé, on obtient 𝑎=5,2355,24.

La longueur de 𝑎, au centième près, est de 5,24 unités.

Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment calculer la longueur d’un côté en utilisant la loi des sinus. Nous allons maintenant montrer comment appliquer un processus similaire pour déterminer la mesure d’un angle inconnu.

Exemple 2: Utilisation de la loi des sinus pour déterminer un angle inconnu dans un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 𝑎=9, 𝑏=6 et 𝑚𝐴=58,1. Calculez 𝑚𝐵 au dixième de degré près.

Réponse

Avant de traiter ce type de problème, il est bon de commencer de tracer le triangle utilisant les informations connues, comme illustré par la figure ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle).

On voit que le côté de longueur 9 unités est opposé à l’angle de 58,1, et que le côté de longueur 6 unités est opposé à l’angle que nous devons calculer. Comme nous travaillons avec des paires opposées de côtés et d’angles, nous pouvons appliquer la loi des sinus. Puisque nous devons calculer une mesure d’angle, nous allons utiliser la version de la loi des sinus qui comporte les sinus au numérateur:sinsin𝐵𝑏=𝐴𝑎.

En remplaçant les termes connus dans la loi des sinus par leurs valeurs, puis en réarrangeant l’équation obtenue, on obtient sinsinsinsin𝐵6=58,19𝐵=658,19.

On résout cette équation pour trouver 𝐵 en appliquant la réciproque de la fonction sinus:𝐵=658,19=(0,565)=34,47034,5.sinsinsin

La mesure de l’angle 𝐵, au dixième de degré près, est égale à 34,5.

Nous avons maintenant vu des exemples sur comment calculer la longueur d’un côté et la mesure d’un angle en utilisant la loi des sinus. Ce processus peut être résumé à l’aide des étapes suivantes.

Comment : Calculer une longueur ou un angle inconnu en utilisant la loi des sinus

  1. Assurez-vous d’avoir un schéma du triangle avec toutes les longueurs et mesures d’angles connues clairement présentées.
  2. Identifiez les paires de côtés et d’angles opposés sur le schéma.
  3. Idéalement, utilisez la version de la loi des sinus qui comporte l’inconnue recherchée au numérateur, et remplacez-y les termes connus par leurs valeurs.
  4. Réarranger l’équation pour la résoudre.

Il est utile de savoir que, dans tout triangle, les angles et côtés les plus grands sont toujours opposés l’un de l’autre, et de même pour les côtés et angles les plus petits. Étudions un exemple dans lequel cette propriété entre en jeu.

Exemple 3: Utiliser la loi des sinus pour déterminer la longueur du plus petit côté d’un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle dans lequel 𝑚𝐴=461117, 𝑚𝐵=27446 et la longueur du côté 𝑎=21,4cm. Déterminez la longueur du plus petit côté de 𝐴𝐵𝐶 en donnant la réponse au dixième près.

Réponse

On commence par tracer le triangle 𝐴𝐵𝐶 comme indiqué ci-dessous (figure n’est pas à l’échelle).

L’énoncé nous demande de calculer la longueur du plus petit côté de ce triangle. Ici, il n’est pas nécessaire de calculer les deux longueurs inconnues puis de donner la plus petite de ces deux valeurs. Au lieu de cela, rappelons que le plus petit côté d’un triangle est opposé à son plus petit angle.

Nous connaissons les mesures des angles 𝐴 et 𝐵, et on peut calculer la mesure de l’angle 𝐶 en utilisant le fait que la somme des angles d’un triangle vaut 180:𝑚𝐶=18046111727446=1064357.

C’était peut-être déjà clair, mais nous pouvons maintenant voir explicitement que le plus petit angle dans le triangle est l’angle 𝐵, et que nous devons donc déterminer la longueur du côté 𝑏. Nous connaissons la longueur du côté 𝑎, ainsi que la mesure de son angle opposé 𝐴, et celle de l’angle opposé au côté que nous voulons calculer. On peut donc appliquer la loi des sinus:𝑎𝐴=𝑏𝐵.sinsin

En remplaçant les deux angles connus et le seul côté connu par leurs valeurs respectives, on obtient 21,4(461117)=𝑏(27446).sinsin

En résolvant pour trouver 𝑏 on obtient 𝑏=21,4(27446)(461117)=13,50013,5.sinsin

La longueur du plus petit côté du triangle 𝐴𝐵𝐶, au dixième près, est de 13,5 cm.

Dans certains problèmes, il peut être nécessaire d’utiliser la loi des sinus en conjonction avec d’autres propriétés géométrique, telles que les relations entre les angles ou la trigonométrie des triangles rectangles. Considérons un exemple dans lequel nous devons appliquer toutes ces techniques.

Exemple 4: Utiliser la loi des sinus pour déterminer une longueur d’un côté dans une figure composée

Sur la figure ci-dessous, 𝐵𝐶𝐷𝑌 est un rectangle et 𝐵 est un point appartenant à la droite 𝐴𝐶. On donne 𝐵𝐶=405m, 𝑚𝐷𝐴𝐶=21 et 𝑚𝑌𝐴𝐶=59. Déterminez la longueur de 𝐷𝐶 en donnant la réponse arrondie au mètre près.

Réponse

Commençons par compléter la figure avec les informations données dans l’énoncé. On peut diviser l’angle de 59 en deux, en un angle de 21, qui est la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐶, et en un autre de 38.

Puisque 𝐵𝐶𝐷𝑌 est un rectangle, alors, tous ses angles mesurent 90. La longueur que nous voulons calculer, 𝐷𝐶, est un côté du triangle rectangle 𝐷𝐴𝐶 dont nous ne connaissons aucune des longueurs des côtés. Nous avons besoin d’au moins une des longueurs pour pouvoir calculer 𝐷𝐶, alors considérons plutôt un autre triangle de la figure, le triangle 𝐴𝑌𝐷. Le côté 𝐴𝐷 est commun à ce triangle et au triangle rectangle mentionné précédemment;nous pouvons donc nous servir de cela pour déterminer la longueur de ce côté.

Par le calcul, nous pouvons déduire des informations supplémentaires sur le triangle 𝐴𝑌𝐷. Premièrement, en utilisant les propriétés des angles alternes internes entre deux droites parallèles, on peut remarquer que les angles 𝑌𝐷𝐴 et 𝐷𝐴𝐶 ont la même mesure, 21. On peut ensuite calculer la mesure de l’angle 𝐴𝑌𝐷, en utilisant la propriété de la somme des angles d’un triangle:𝑚𝐴𝑌𝐷=1803821=121.

Le quadrilatère 𝐵𝐶𝐷𝑌 étant un rectangle, ses côtés opposés sont de même longueur. Ainsi, on a 𝑌𝐷=𝐵𝐶=405m.

On peut à présent utiliser la loi des sinus pour calculer la longueur de 𝐴𝐷. Le côté 𝐴𝐷 est opposé à l’angle de mesure 121, et on sait que le côté de longueur 405 m est opposé à l’angle de mesure 38. En appliquant la loi des sinus, on trouve que 𝐴𝐷121=40538.sinsin

On peut alors calculer 𝐴𝐷 en résolvant cette équation, en multipliant par sin121 et en calculant:𝐴𝐷=40512138=563,869.sinsin

Nous avons maintenant calculé la longueur du côté commun 𝐴𝐷, qui est l’hypoténuse du triangle rectangle 𝐴𝐶𝐷. L’angle de mesure 21 est opposé au côté 𝐷𝐶, et on peut utiliser la formule classique du sinus dans les triangles rectangles pour avoir l’égalité:sin21=𝐷𝐶𝐴𝐷=𝐷𝐶563,869.

En résolvant cette équation pour trouver 𝐷𝐶 et en arrondissant au mètre près, on obtient 𝐷𝐶=563,86921=202,072202.sin

La longueur du segment 𝐷𝐶, arrondie au mètre près, est de 202 m.

Il est important de comprendre que lorsque nous appliquons la loi des sinus, nous travaillons avec un rapport. Ainsi, les valeurs par lesquelles nous substituons les longueurs des côtés ne sont pas nécessairement égale aux longueurs elles-mêmes, mais elles doivent être proportionnelles à ces longueurs de côtés. Considérons un exemple dans lequel nous ne pouvons pas calculer explicitement les longueurs des côtés, mais où nous pouvons calculer leur rapport.

Exemple 5: Utiliser la loi des sinus pour calculer le rapport entre les longueurs des côtés d’un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 8𝐴=11𝐵=16𝐶sinsinsin. Déterminez le rapport 𝑎𝑏𝑐.

Réponse

Rappelons que la loi des sinus nous indique que le rapport entre la longueur de chaque côté et le sinus de son angle opposé est le même dans tout triangle:sinsinsin𝐴𝑎=𝐵𝑏=𝐶𝑐.

Cela ressemble un peu à l’équation qu’on nous a donnée pour le triangle 𝐴𝐵𝐶 dans l’énoncé, mais celle-ci a des coefficients pour chacun des sinus et aucun dénominateur. Nous devons donc réécrire cette équation, de sorte à l’exprimer dans une forme qui ressemble à la loi des sinus. Pour ce faire, nous pouvons diviser l’équation par le plus petit commun multiple de 8, 11 et 16. Sachant que 8 est un diviseur de 16 et que 11 et 16 sont premiers entre eux, leur plus petit commun multiple est 11×16 (soit 176). En divisant tous les membres de l’équation par 11×16, on trouve 8𝐴11×16=11𝐵11×16=16𝐶11×16.sinsinsin

On peut alors réduire chacune des fractions en simplifiant en haut et en bas par les facteurs communs, ce qui nous donne sinsinsin𝐴22=𝐵16=𝐶11.

En comparant cela à la forme générale de la loi des sinus, dans laquelle les dénominateurs représentent les longueurs des côtés, on voit que le rapport 𝑎𝑏𝑐 est 221611.

Notez qu’il s’agit du coefficient de proportionnalité entre les longueurs des côtés et non nécessairement des longueurs des côtés elles-mêmes. Si les longueurs des côtés étaient respectivement de 44, 32 et 22 unités, alors ce rapport serait sinsinsin𝐴44=𝐵32=𝐶22, qui pourrait être simplifié en multipliant chaque partie du rapport par 2 pour donner la même équation de sinsinsin𝐴22=𝐵16=𝐶11 comme nous l’avons vu plus tôt.

Nous avons vu plusieurs exemples sur la façon dont nous pouvons appliquer la loi des sinus pour calculer à la fois les longueurs de côtés et des mesures d’angles dans les triangles non rectangles. En réalité, la loi des sinus reste vraie dans les triangles rectangles. Considérons un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴.

Ensuite, en considérant seulement deux des paires angle-côté opposé, nous avons 𝑎90=𝑏𝐵.sinsin

On rappelle que sin90=1, ce qui implique que 𝑎=𝑏𝐵.sin

On réarrange ensuite en multipliant d’abord par sin𝐵 puis en divisant par 𝑎 ce qui nous donne 𝑎𝐵=𝑏𝐵=𝑏𝑎.sinsin

Dans le triangle initial, le côté 𝑎 est l’hypoténuse et le côté opposé à l’angle 𝐵 est le côté 𝑏. Ainsi, le sinus de l’angle 𝐵 est égal à la longueur du côté opposé divisé par la longueur de l’hypoténuse. Par conséquent, la loi des sinus a été réduite à la définition du sinus dans un triangle rectangle. Ainsi, il est parfaitement possible d’appliquer la loi des sinus dans un triangle rectangle, mais cela revient à se compliquer la vie puisque cette loi se réduit, dans le cas d’un triangle rectangle, aux équations que nous aurions pu obtenir en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle.

Terminons par récapituler quelques points clés.

Points clés

  • La loi des sinus nous permet de calculer des longueurs et des angles inconnus dans des triangles non rectangles dont nous connaissons deux paires de côtés et angles opposés.
  • En utilisant des lettres minuscules pour représenter les côtés et des lettres majuscules pour représenter les angles opposés, la loi des sinus stipule que 𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶.sinsinsin
  • Lors du calcul d’une longueur de côté, nous devrions utiliser cette version car les longueurs des côtés sont au numérateur.
  • L’inverse est également vraie, et nous devrions utiliser cette autre forme pour calculer la mesure d’un angle inconnu:sinsinsin𝐴𝑎=𝐵𝑏=𝐶𝑐.
  • Nous serons parfois amenés à utiliser la loi des sinus en conjonction avec d’autres propriétés géométriques telles que les relations entre les angles ou la trigonométrie des triangles rectangles.

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