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Vidéo de la leçon : Loi des sinus Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer la loi des sinus pour trouver des mesures de longueurs et d’angles dans des triangles non rectangles.

15:30

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons présenter la loi des sinus et voir ensuite comment l’appliquer à certains problèmes.

Voilà donc en quoi consiste la loi des sinus. Elle est vraiment utile car elle nous permet de faire de la trigonométrie et de calculer des longueurs et des angles dans des triangles non rectangles. Alors nous avons ici une figure d’un triangle non rectangle, et nous l’avons annoté d’une manière particulière. Nous avons annoté les trois sommets du triangle 𝐴, 𝐵, 𝐶 en majuscules. Et puis, nous avons annoté les côtés opposés à ceux-ci avec les mêmes lettres mais en minuscules. Ainsi, le côté 𝑎 est opposé à l’angle 𝐴 et ainsi de suite.

Ce que la loi des sinus nous dit, c’est que le rapport entre la longueur d’un côté et le sinus de son angle opposé est constant au sein d’un triangle donné. Donc si nous prenons le côté 𝑎 puis que nous le divisons par le sinus de l’angle opposé 𝐴, nous obtenons le même résultat que si nous prenons le côté 𝑏 puis le divisons par le sin de l’angle 𝐵. Et nous obtenons également le même résultat si nous prenons le côté 𝑐 puis le divisons par le sin de l’angle opposé 𝐶.

Cela est une première forme de la loi des sinus. Et cette forme est particulièrement utile si nous cherchons à calculer la longueur d’un côté. Mais nous pouvons également la formuler en utilisant les inverses ; pour cela, nous inversons chacune de ces fractions. Donc elle peut également être écrit sous cette forme, où chacune de ces fractions est inversée. Cette forme est particulièrement utile si nous devons calculer la mesure d’un angle.

Alors, quand utilisons-nous la loi des sinus ? Eh bien, comme nous l’avons dit, nous l’utilisons dans des triangles non rectangles, mais plus précisément nous l’utilisons lorsque les informations qui nous sont données dans un énoncé sont composées de paires opposées. Ainsi, par exemple, nous pourrions connaître les longueurs des côtés a et 𝑏 ainsi que l’angle 𝐴 et nous voudrions calculer l’angle 𝐵. Et puisque ce sont des paires opposées, ce serait l’occasion d’utiliser la loi des sinus.

Cette question dit, trouvez toutes les valeurs possibles pour les autres longueurs et angles dans le triangle 𝐴𝐵𝐶. Et on nous demande de donner des longueurs au centimètre près et des angles au degré près.

Nous verrons un peu plus loin ce que signifie « toutes les valeurs possibles », mais commençons par rappeler la définition de la loi des sinus dont nous aurons besoin dans cette question. On rappelle qu’il s’agit de ce rapport ici, et bien sûr, nous pourrions avoir le rapport inverse. Donc nous pourrions l’écrire dans l’autre sens.

Nous avons donc trois choses à calculer ici, deux angles manquants et une longueur manquante. La raison pour laquelle nous savons que nous pouvons utiliser la loi des sinus est que nous avons des paires opposées. Nous avons cette longueur de 14 centimètres et l’angle de 52 degrés, puis nous avons cette longueur de 8,1 centimètres, ce qui signifie que nous avons suffisamment d’informations pour calculer en premier lieu l’angle 𝐵.

Donc nous allons écrire la loi des sinus en utilisant simplement l’angle 𝐴, le côté 𝑎, l’angle 𝐵 et le côté 𝑏. Alors comme nous calculons d’abord un angle, nous allons utiliser la forme inverse de cette relation. Donc en utilisant toutes les informations connues, nous avons que le sin de l’angle 𝐵 divisé par 8,1 est égal au sin de 52 divisé par 14. Et maintenant, nous avons une équation que nous pouvons résoudre afin de déterminer l’angle 𝐵.

La première étape est de multiplier les deux côtés de cette équation par 8,1. Donc le sin de 𝐵 est égal à 8,1 multiplié par sin 52 sur 14. Maintenant, nous utilisons la fonction sinus inverse pour calculer l’angle 𝐵. En utilisant une calculatrice pour évaluer cela, nous obtenons que l’angle 𝐵 est égal à 27,124. Nous arrondissons cela à 27 degrés. Maintenant, si nous avons un angle 𝐵 de 27 degrés et un angle 𝐴 est de 52 degrés, nous pouvons calculer l’angle 𝐶 immédiatement sans utiliser la loi des sinus mais simplement avec la somme des angles dans un triangle. Donc l’angle 𝐶 est de 180 moins 52 moins 27, soit 101 degrés.

Nous connaissons maintenant tous les angles dans le triangle, nous avons juste besoin de déterminer le côté final. Nous allons à nouveau appliquer la loi des sinus. Et comme nous calculons la longueur d’un côté cette fois, nous allons utiliser la première forme où les côtés sont au numérateur. Nous devons seulement utiliser l’une des autres paires, soit la paire A ou la paire B. Utilisons par exemple la paire A. Donc 𝑐 sur sin 101 est égal à 14 sur sin 52. Nous devons faire attention ici à distinguer entre les lettres minuscules et les majuscules. On rappelle que les lettres minuscules représentent les côtés, cela est donc une lettre minuscule 𝑐.

Pour résoudre cette équation pour le côté 𝑐, nous devons multiplier les deux côtés de l’équation par sin 101. Et nous avons alors que 𝑐 est égal à 14 multiplié par le sin de 101 divisé par le sin de 52, soit 17,43. On nous demande d’arrondir cela au centimètre près, donc nous avons 17 centimètres pour le côté 𝑐. Nous avons donc calculé ces trois valeurs, le côté 𝑐 est de 17 centimètres, l’angle 𝐵 est de 27 degrés et l’angle 𝐶 est de 101 degrés.

Revenons maintenant à la partie de la question où il nous est demandé toutes les valeurs possibles pour les autres longueurs et angles. Lorsque nous avons calculé l’angle 𝐵, nous avons vu qu’il était égal à 27 degrés. Ce que nous devons considérer, c’est qu’il existe en fait une autre possibilité pour l’angle 𝐵 qui utilise le fait que sin d’un angle est égal à sin de 180 moins cet angle. Cela est simplement une des propriétés du rapport sinus.

Donc cela nous dit que bien que l’angle 𝐵 puisse être de 27 degrés, il pourrait aussi être de 180 moins 27, ce qui signifierait que 𝐵 pourrait être de 153 degrés. Cependant, si nous regardons les informations que nous avions déjà à ce stade, à savoir que l’angle 𝐴 était de 52 degrés, cela ne fonctionne pas. Parce que si nous additionnons 𝐴 et 𝐵, cela rendrait la somme des angles supérieure à 180 degrés, et nous savons que, dans un triangle, la somme des angles vaut 180 degrés. Cela nous indique qu’en fait, il n’y a pas d’autre possibilité pour l’angle 𝐵. Parce que s’il était de 153 degrés, il ne serait pas possible d’intégrer cela dans un triangle avec les informations que nous connaissons déjà.

Cela est cependant une vérification importante. Et si cet angle avait pu être inclus dans un triangle avec les 52 degrés, alors nous aurions un autre ensemble de possibilités et nous aurions à nouveau dû calculer l’angle 𝐶 et le côté 𝑐 en utilisant la deuxième valeur de 𝐵. Alors dans cette question, nous avons appliqué la loi des sinus deux fois ; une fois pour calculer un côté et une fois pour calculer un angle. Et puis, nous avons utilisé le fait que la somme des angles d’un triangle vaut 180 degrés afin de trouver le troisième angle dans le triangle.

Cette question nous dit que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle, l’angle 𝐴 est de 55 degrés, 𝐵𝐶 est de 13 centimètres et 𝐴𝐶 est de 28 centimètres. On nous demande si le triangle existe, puis de trouver toutes les valeurs possibles pour les autres longueurs et angles, puis on nous dit comment arrondir nos réponses.

Alors il est intéressant que la question dise « si le triangle existe ». Donc ce que nous allons faire, c’est supposer que le triangle existe, et nous allons commencer à résoudre le problème. Et si cela fonctionne, alors le triangle existe. Mais si nous rencontrons un problème, alors nous en déduirons que le triangle n’existe pas.

Donc nous allons tout d’abord supposer qu’il existe, et nous allons représenter ce triangle. Donc voici notre figure, avec toutes les informations qui nous sont données. On nous demande de calculer les longueurs et les angles, et nous reconnaissons que nous devons utiliser ici la loi des sinus parce que nous avons une paire opposée de 55 degrés et 13 centimètres. Alors rappelons la loi des sinus. Le rapport entre le sinus d’un angle et la longueur du côté opposé est constant au sein du triangle. On rappelle que 𝑎, 𝑏 et 𝑐 minuscules représentent les côtés opposés aux angles 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous les ajoutons donc sur la figure.

Nous choisissons d’utiliser la loi des sinus sous cette forme, avec les angles au numérateur parce que nous allons tout d’abord essayer de calculer l’angle 𝐵. Et cette forme nécessite moins de manipulations si l’on commence avec l’angle au numérateur. Nous pourrions utiliser l’autre version avec les inverses de chacune de ces fractions, mais cela nécessiterait juste une manipulation légèrement plus compliquée.

Donc nous allons écrire cette loi des sinus en utilisant la paire que nous connaissons, soit la paire A, et en utilisant la paire que nous recherchons, soit la paire B. Et nous avons alors que le sin de l’angle 𝐵 divisé par 28 est égal au sin de 55 divisé par 13. Donc cela nous donne une équation que nous cherchons à résoudre pour calculer l’angle 𝐵. Et la première étape consiste à multiplier les deux côtés de cette équation par 28. Ce faisant, nous obtenons que le sin de 𝐵 est égal à 28 sin 55 sur 13.

Maintenant, pour calculer l’angle 𝐵, nous utilisons la réciproque de la fonction sinus. Et nous avons alors que 𝐵 est égal à sin moins un de ce rapport, 28 sin 55 sur 13. Maintenant, si nous essayons de saisir cela dans une calculatrice, nous voyons que nous obtenons une erreur et que nous ne pouvons pas réellement déterminer sur l’angle 𝐵. Revenons à l’étape précédente pour comprendre pourquoi. Si nous évaluons la fraction à ce stade-là, nous voyons qu’elle est égale à 1,764. Donc nous avons un sin de 𝐵 égal à 1,764. Et voilà pourquoi nous obtenons une erreur.

On rappelle que la valeur du sinus de n’importe quel angle est toujours comprise entre moins un et un. Et dans le cas d’un angle positif, comme dans un triangle, il est toujours compris entre zéro et un. Et par conséquent, il n’est pas possible que sin 𝐵 soit égal à cette valeur de 1,76, supérieure à un. Cela nous indique alors que nous ne pouvons pas calculer l’angle 𝐵 et, par conséquent, notre hypothèse que ce triangle existe doit être fausse. Notre réponse à la question est alors que nous ne pouvons pas calculer la longueur de l’un de ces côtés ou la taille de l’un des angles, car le triangle n’existe pas.

Voyons maintenant un autre problème. On nous dit que James veut calculer la hauteur d’un grand bâtiment. Il regarde le bâtiment à partir du même plan horizontal, et l’angle d’élévation vers le haut est de 40 degrés. James s’éloigne alors de 30 mètres, et l’angle d’élévation est maintenant de 25 degrés. On nous demande de calculer la hauteur de ce bâtiment au dixième près.

Alors on ne nous donne pas de figure, et c’est toujours une bonne idée d’en dessiner une. Donc nous commençons avec un grand bâtiment. James se tient à une certaine distance. Nous ne savons pas exactement où. Et l’angle d’élévation vers le haut est de 40 degrés. James s’éloigne alors de 30 mètres, et l’angle d’élévation est maintenant de 25 degrés, nous ajoutons donc cette partie sur la figure. Donc nous ajoutons quelques lettres sur la figure. Et c’est 𝐵𝐷 que nous cherchons à calculer, la hauteur du bâtiment.

Alors 𝐵𝐷 est un triangle rectangle, donc en théorie, nous pouvons utiliser des rapports de trigonométrie normaux, sinus, cosinus et tangente, dans ce triangle. Mais nous ne connaissons qu’un angle pour le moment, nous avons donc besoin d’autres informations, de préférence une longueur, afin de déterminer la longueur de 𝐵𝐷. Nous avons également un triangle non rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐶, dans lequel nous avons un peu plus d’informations. Nous connaissons un angle et un côté. On note également que le côté 𝐴𝐵 est commun à ces deux triangles. Donc nous pouvons peut-être utiliser le triangle non rectangle pour calculer 𝐴𝐵, puis utiliser la trigonométrie dans le triangle 𝐴𝐵𝐷 afin de trouver la hauteur de ce bâtiment.

Examinons donc d’abord le triangle non rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐶. Et en fait, nous pouvons calculer les trois angles de ce triangle parce que cet angle de 40 degrés est situé en ligne droite avec l’autre angle. Et par conséquent, cet autre angle doit être de 140 degrés, en utilisant le fait que les angles sur une droite totalisent 180. Donc cet angle ici, l’angle 𝐴, doit être de 140 degrés. Nous pouvons également calculer l’angle 𝐵 parce que nous savons que la somme des angles dans un triangle est de 180 degrés, donc l’angle 𝐵 doit être de 15 degrés.

Donc en regardant ce triangle non rectangle, nous connaissons les trois angles et nous connaissons un côté, ce qui signifie que nous pouvons appliquer la loi des sinus afin de déterminer la longueur de l’un des deux autres côtés. Nous allons les appeler 𝑎 minuscule, 𝑏 minuscule et 𝑐 minuscule correspondant aux angles auxquels ils sont opposés. Et rappelons la loi des sinus. La voici. Nous l’utilisons sous cette forme avec les longueurs et le numérateur parce que nous cherchons à calculer une longueur.

Nous cherchons à calculer la longueur de 𝐴𝐵, qui est appelée ici côté 𝑐. Donc nous allons utiliser le côté 𝑐 et l’angle 𝐶. Et nous allons aussi utiliser le côté 𝑏 et l’angle 𝐵 parce que ce sont les deux que nous connaissons. Nous avons alors que 𝑐 sur sin 25 est égal à 30 sur sin 15, en utilisant les paires opposées. Nous pouvons alors résoudre cette équation afin de déterminer 𝑐. Nous devons multiplier les deux côtés par sin 25. Cela nous dit que 𝑐 est égal à 30 sin 25 sur sin 15. Et en évaluant cela, nous obtenons 48,9861. Nous allons garder cette valeur sur la calculatrice afin de la réutiliser directement plus tard.

Maintenant, si nous considérons le triangle rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐷, nous avons la mesure d’un angle, 40 degrés, la longueur 𝑐, ou 𝐴𝐵, qui est 48, et nous voulons calculer la longueur de ce côté 𝐵𝐷. Donc nous pouvons utiliser la trigonométrie standard. Commençons par annoter les trois côtés de ce triangle par rapport à cet angle de 40. Nous avons donc l’opposé, l’adjacent et l’hypoténuse. Nous connaissons l’hypoténuse et nous voulons calculer l’opposé. Nous devons donc utiliser le rapport sinus, c’est-à-dire le rapport sinus standard dans un triangle rectangle, pas la loi des sinus.

Le rapport sinus, rappelez-vous, est l’opposé divisé par l’hypoténuse. Nous pourrions utiliser la loi des sinus dans un triangle rectangle, mais c’est inutilement compliqué. Cela implique d’utiliser cet angle de 90 degrés et sin de 90 vaut simplement un. Il est plus simple d’utiliser le rapport sinus normal. Nous allons donc écrire ce rapport pour ce triangle. Nous avons sin de 40 est égal à l’opposé 𝐵𝐷 sur 48,98. Nous voulons résoudre cette équation pour trouver la valeur 𝐵𝐷, donc nous devons multiplier les deux côtés par cette valeur de 48,986.

Voilà pourquoi nous avons gardé cette valeur sur la calculatrice car maintenant nous pouvons simplement saisir « multiplié par sin 40 » afin d’obtenir une réponse exacte. Évaluer cela nous donne 31,48. Et arrondir au dixième le plus proche comme demandé, donne une réponse de 31,5 mètres pour la hauteur de ce bâtiment. Donc dans cette question, il était important de dessiner tout d’abord une figure appropriée. Nous avons ensuite utilisé la loi des sinus dans un triangle non rectangle, puis le rapport sinus normal dans un triangle rectangle afin de répondre à la question.

En résumé, la loi des sinus nous permet de calculer les angles et les côtés dans des triangles non rectangles. Elle nous dit que le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est constant au sein d’un triangle. Et nous pouvons l’utiliser dans l’une de ces deux formes selon que nous cherchons à calculer la longueur d’un côté ou la taille d’un angle.

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