Vidéo : La loi des sinus

Apprenez la loi des sinus et son application dans le calcul des côtés et des angles dans des triangles non rectangles. Cela comprend le problème formulé et l’identification de l’existence d’un triangle sur la base des informations fournies.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons présenter la loi des sinus puis voir comment l’appliquer à certains problèmes mixtes.

Voilà donc en quoi consiste la loi des sinus. C’est vraiment utile car cela nous permet de faire de la trigonométrie et de calculer des longueurs et des angles dans des triangles qui ne sont pas à angle droit. Donc, j’ai ici une figure d’un triangle qui n’a pas d’angle droit, et je l’ai étiqueté d’une manière particulière. J’ai étiqueté les trois sommets du triangle comme 𝐴, 𝐵, 𝐶 en majuscules. Et puis, j’ai étiqueté le côté opposé à ceux avec la même lettre mais en minuscules. Donc, le côté 𝑎 est opposé à l’angle 𝐴 et ainsi de suite.

Ce que la loi des sinus nous dit, c’est que le rapport entre la longueur d’un côté et le sinus de son angle opposé est constant dans un triangle particulier. Donc, si je prends le côté 𝑎 et ensuite je le divise par le sinus de l’angle opposé 𝐴, j’obtiens le même résultat que si je prends le côté 𝑏 puis le divise par le sin de l’angle 𝐵. Et j’obtiens également le même résultat si je prends le côté 𝑐 puis le divise par le sin de l’angle opposé 𝐶.

Maintenant, c’est une façon de spécifier la relation. Et ce format est particulièrement utile si nous cherchons à calculer la longueur d’un côté. Mais vous pouvez également le spécifier en utilisant les inverses, donc je peux inverser chacune de ces fractions. Donc, il peut également être écrit dans ce format ici, où chacune de ces fractions est dans l’autre sens. Ce format est particulièrement utile si vous êtes invité à calculer la taille d’un angle.

Alors, quand utilisons-nous la loi des sinus ? Eh bien, comme je l’ai déjà dit, nous l’utilisons dans des triangles non rectangles, mais plus précisément nous l’utilisons lorsque les informations qui nous sont données sur ce que nous voulons déterminer sont constituées de paires opposées. Ainsi, par exemple, je pourrais connaître les longueurs des côtés a et 𝑏 et je pourrais connaître l’angle 𝐴 et vouloir mesurer l’angle 𝐵. Et donc, parce que ce sont des paires opposées, ce serait l’occasion d’utiliser la loi des sinus.

Cette question dit, trouvez toutes les valeurs possibles pour les autres longueurs et angles dans le triangle 𝐴𝐵𝐶. Et on nous demande de donner des longueurs au centimètre près et des angles au degré près.

Nous allons donc discuter un peu plus tard de la signification de toutes les valeurs possibles, mais commençons par rappeler la définition de la loi des sinus dont nous aurons besoin dans cette question. Et rappelez-vous, c’était ce rapport ici, et bien sûr, nous pourrions avoir l’inverse de cela. Donc, nous pourrions le faire écrire dans l’autre sens.

J’ai donc trois choses à calculer ici, deux angles manquants puis une longueur manquante. La raison pour laquelle je sais que je peux utiliser le rapport sinus est parce que j’ai des paires opposées. Donc, j’ai cette longueur de 14 centimètres et l’angle de 52 degrés, puis j’ai cette longueur de 8.1 centimètres, ce qui signifie que j’ai suffisamment d’informations pour calculer l’angle 𝐵 tout d’abord.

Donc, ce que je vais faire, c’est que je vais écrire la loi des sinus en utilisant simplement l’angle 𝐴, le côté 𝑎, l’angle 𝐵 et le côté 𝑏. Maintenant, comme je calcule d’abord un angle, je vais utiliser la forme réciproque de cette relation. Donc, en utilisant toutes les informations connues, j’ai que le sin d’angle 𝐵 divisé par 8.1 est égal au sin de 52 divisé par 14. Et maintenant, j’ai une équation que je peux résoudre afin de calculer l’angle 𝐵.

La première étape consiste en multiplier les deux côtés de cette équation par 8.1. Donc, j’ai que le sin de 𝐵 est égal à 8.1 multiplié par le sin 52 sur 14. Maintenant, je vais utiliser la fonction sinus inverse pour calculer l’angle 𝐵. Et puis, utiliser ma calculatrice pour évaluer cela me dit que l’angle 𝐵 est égal à 27.124. Je vais ensuite arrondir cela à 27 degrés. Donc, si j’ai l’angle 𝐵 est de 27 degrés et je sais déjà que l’angle 𝐴 est de 52 degrés, je peux calculer l’angle 𝐶 tout de suite sans utiliser la loi des sinus mais simplement en utilisant la somme des angles dans un triangle. Donc, j’ai l’angle 𝐶 est 180 moins 52 moins 27, et donc c’est 101 degrés.

Donc, maintenant, j’ai tous les angles dans le triangle, j’ai juste besoin de travailler sur le côté final. Je vais alors appliquer à nouveau la loi des sinus. Et comme je calcule la longueur d’un côté cette fois, je vais utiliser la première version où les côtés sont au numérateur. Maintenant, je dois seulement utiliser l’une des autres paires, donc soit la paire A soit la paire B. Je vais choisir d’utiliser la paire A. Donc, j’ai que 𝑐 sur le sin 101 est égal à 14 sur le sin 52. Maintenant attention à bien distinguer les lettres minuscules des majuscules ici. N’oubliez pas que les lettres minuscules représentent les côtés, c’est donc une lettre minuscule 𝑐.

Pour résoudre cette équation pour le côté 𝑐 alors, je dois multiplier les deux côtés de l’équation par le sin 101. Et j’ai alors que 𝑐 est égal à 14 multiplié par le sin de 101 divisé par le sin de 52, qui est 17.43. Maintenant, on me demande d’arrondir cela au centimètre près, alors j’ai donc 17 centimètres pour le côté 𝑐. Donc, ces trois valeurs calculées ensemble alors, j’ai ce côté 𝑐 est de 17 centimètres, l’angle 𝐵 est de 27 degrés et l’angle 𝐶 est de 101 degrés.

Maintenant, revenons à cette partie de la question où il nous a demandé toutes les valeurs possibles pour les autres longueurs et angles. Et ce que nous devons considérer, c’est lorsque nous avons calculé l’angle 𝐵, nous avons vu qu’il était égal à 27 degrés. Ce que nous devons considérer, c’est qu’il existe en fait une autre possibilité pour l’angle 𝐵 qui utilise le fait que le sin d’un angle est égal au sin de 180 moins cet angle. Ce n’est là qu’une des propriétés du rapport sinus.

Donc, ce que cela nous dit, c’est que même si l’angle 𝐵 pourrait être de 27 degrés, il pourrait également être de 180 moins 27, ce qui signifierait que 𝐵 pourrait être de 153 degrés. Cependant, si nous regardons les informations que nous avions déjà à ce stade, à savoir que l’angle 𝐴 était de 52 degrés, cela ne fonctionne pas. Parce que si nous additionnons 𝐴 et 𝐵 ensemble, cela prendrait la somme des angles au-dessus de 180 degrés, et nous savons que, dans un triangle, 180 degrés est la somme des angles. Cela nous indique qu’en fait, il n’y a pas d’autre possibilité pour l’angle 𝐵. Parce que s’il était de 153 degrés, il ne serait pas possible d’incorporer cela dans un triangle avec les informations que nous connaissons déjà.

Il s’agit cependant d’une vérification importante. Et s’il avait été le cas que cet angle puisse être inclus dans un triangle avec les 52 degrés, alors nous aurions un autre ensemble de possibilités et nous aurions besoin de recommencer le processus de calcul de l’angle 𝐶 et du côté 𝑐 en utilisant la deuxième valeur de 𝐵. Donc, dans cette question, nous avons appliqué la loi des sinus deux fois, une fois pour calculer un côté et une fois pour calculer un angle. Et puis, nous avons utilisé le fait que les angles dans un triangle totalisent 180 degrés afin de trouver le troisième angle dans le triangle.

Cette question nous dit que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle, l’angle 𝐴 est de 55 degrés, 𝐵𝐶 est de 13 centimètres et 𝐴𝐶 est de 28 centimètres. On nous demande, si le triangle existe, de trouver toutes les valeurs possibles pour les autres longueurs et angles, puis on nous dit comment arrondir nos réponses.

Maintenant, il est intéressant que la question indique si le triangle existe. Donc, ce que nous ferons, c’est que nous supposerons que le triangle existe, et nous passerons par tout le travail. Et si cela fonctionne parfaitement bien, alors le triangle existe. Et si nous rencontrons un problème, nous verrons que le triangle n’existe pas.

Je vais donc supposer qu’il existe tout d’abord, et je vais dessiner un croquis de ce triangle. Alors, voici ma figure, avec toutes les informations qui m’ont été données. Maintenant, on nous demande de calculer les longueurs et les angles, et je peux reconnaître que je dois utiliser la loi des sinus ici parce que j’ai là une paire opposée de 55 degrés et 13 centimètres. Rappelons donc la loi des sinus. Et c’est ici que le rapport entre le sinus d’un angle et la longueur du côté opposé est constant tout au long du triangle. Rappelez-vous, minuscule 𝑎, 𝑏 et 𝑐 y représentent les côtés des angles opposés 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Donc, je les inclue simplement sur la figure.

Maintenant, j’ai choisi d’utiliser la loi des sinus dans ce format, où les angles sont dans le numérateur parce que je vais d’abord essayer de calculer l’angle 𝐵. Et cela nécessite juste moins de réarrangement si je commence avec l’angle étant au numérateur. Je pourrais utiliser l’autre version avec les inverses de chacune de ces fractions, mais cela nécessiterait juste un réarrangement légèrement plus compliqué.

Donc, ce que je vais faire, c’est que je vais écrire cette loi des sinus en utilisant la paire que je connais, donc c’est la paire A, et en utilisant la paire que je veux calculer, qui est la paire B. Et j’ai ensuite ce sin d’angle 𝐵 divisé par 28 est égal au sin de 55 divisé par 13. Donc, cela me donne une équation que je cherche à résoudre puis à calculer l’angle 𝐵. Et la première étape consiste à multiplier les deux côtés de cette équation par 28. Ce faisant, j’obtiens que le sin de 𝐵 est égal à 28 sin 55 sur 13.

Maintenant, pour calculer l’angle 𝐵, je dois utiliser la fonction sinus inverse. Et j’ai alors que 𝐵 est égal au sin inverse de ce rapport, 28 sin 55 sur 13. Maintenant, si vous essayez de taper cela dans votre calculatrice, vous verrez que vous obtenez une sorte d’erreur et vous ne pouvez pas travailler réellement sur l’angle 𝐵. Revenons à l’étape précédente pour voir pourquoi c’est le cas. Si j’évalue réellement la fraction à ce stade ici, vous verrez qu’elle est égale à 1.764. Donc, nous avons un sin de 𝐵 égal à 1.764. Et c’est pourquoi nous obtenons une erreur.

Si vous vous souvenez, la valeur du sinus de n’importe quel angle est toujours entre moins un et un. Et dans le cas d’un angle positif, comme nous le ferions dans un triangle, il est toujours compris entre zéro et un. Et par conséquent, il n’est pas possible que sin 𝐵 soit égal à cette valeur de 1.76, qui dépasse un. Cela nous indique alors que nous ne pouvons pas calculer l’angle 𝐵 et, par conséquent, notre supposition que ce triangle existe doit être fausse. Notre réponse à la question est alors que nous ne pouvons pas calculer la longueur de l’un de ces côtés ou la taille de l’un des angles parce que le triangle n’existe pas.

Regardons un problème écrit. Il nous dit que James veut calculer la hauteur d’un grand bâtiment. Il regarde le bâtiment à partir du même plan horizontal et l’angle d’élévation vers le haut est de 40 degrés. James recule alors de 30 mètres plus loin, et l’angle d’élévation est maintenant de 25 degrés. On nous demande de calculer la hauteur de ce bâtiment au dixième près.

On ne nous donne donc pas de figure, et c’est toujours une bonne idée de dessiner le nôtre. Donc, nous commençons avec un grand bâtiment. James se tient à une certaine distance. Nous ne savons pas jusqu’où. Et l’angle d’élévation vers le haut est de 40 degrés. James recule maintenant de 30 mètres plus loin, et l’angle d’élévation est maintenant de 25 degrés, nous ajoutons donc cette partie sur la figure. Donc, nous ajoutons quelques lettres sur la figure. Et c’est 𝐵𝐷 que nous cherchons à calculer, la hauteur du bâtiment.

Maintenant, 𝐵𝐷 est un triangle rectangle, donc en théorie, nous pouvons utiliser des rapports de trigonométrie, sinus, cosinus et tangente normaux, dans ce triangle. Mais nous ne connaissons qu’un angle pour le moment, nous avons donc besoin d’autres informations, de préférence une longueur, afin de calculer la longueur de 𝐵𝐷. Nous avons également un triangle non rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐶, dans lequel nous avons un peu plus d’informations. Nous connaissons un angle et un côté. Vous remarquerez également que le côté 𝐴𝐵 est commun à ces deux triangles. Donc, peut-être pouvons-nous utiliser le triangle non rectangle pour calculer 𝐴𝐵 puis utiliser la trigonométrie dans le triangle 𝐴𝐵𝐷 afin de trouver la hauteur de ce bâtiment.

Examinons donc d’abord le triangle non rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐶. Et en fait, nous pouvons calculer les trois angles de ce triangle parce que cet angle de 40 degrés est aligné avec l’autre angle. Et par conséquent, cet autre angle doit être de 140 degrés, en utilisant le fait que les angles sur une droite totalisent 180. Donc, cet angle ici, l’angle 𝐴, doit être de 140 degrés. Nous pouvons également calculer l’angle 𝐵 car nous savons que la somme des angles dans un triangle est de 180 degrés, donc l’angle 𝐵 doit être égal à 15.

Donc, en regardant ce triangle non rectangle, nous connaissons les trois angles et nous connaissons un côté, ce qui signifie que nous pouvons appliquer la loi des sinus afin de déterminer la longueur de l’un des deux autres côtés. Je vais donc leur donner les lettres minuscules 𝑎, minuscules 𝑏 et minuscules 𝑐 correspondant aux angles auxquels elles sont opposées. Et rappelons la loi des sinus. C’est ici. Je l’utilise dans ce format avec les longueurs et le numérateur car c’est une longueur que je cherche à calculer.

Je cherche donc à calculer la longueur de 𝐴𝐵, qui est appelée ici côté 𝑐. Donc, je vais utiliser côté 𝑐 et angle 𝐶. Et je vais aussi utiliser le côté 𝑏 et l’angle 𝐵 parce qu’ils sont les deux que je sais. Ce que j’ai alors, c’est que 𝑐 sur le sin 25 est égal à 30 sur le sin 15, en utilisant les paires opposées. Je peux alors résoudre cette équation afin de calculer 𝑐. J’ai besoin de multiplier les deux côtés par le sin 25. Cela me dit que 𝑐 est égal à 30 sin 25 sur le sin 15. Et en évaluant cela, il me dit que c’est 48.9861. Maintenant, je vais garder cette valeur sur ma calculatrice afin de l’avoir là exactement pour l’utiliser plus tard dans le calcul.

Maintenant, si je tourne mon attention vers le triangle rectangle, le triangle 𝐴𝐵𝐷, j’ai la taille d’un angle, 40 degrés, j’ai la longueur 𝑐, ou 𝐴𝐵, qui est 48, et je veux calculer la longueur de ce côté 𝐵𝐷. Je peux donc utiliser la trigonométrie standard. Je vais commencer par étiqueter les trois côtés de ce triangle avec leurs étiquettes par rapport à cet angle de 40. Donc, j’ai l’opposé, le adjacent et l’hypoténuse. Maintenant, je connais l’hypoténuse et je veux calculer le contraire. Donc, cela me dit que c’est le rapport sinus que j’utilise, juste le rapport sinus standard dans un triangle rectangle, pas la loi des sinus.

Le rapport sinus, rappelez-vous, est l’opposé divisé par l’hypoténuse. Maintenant, vous pouvez réellement utiliser la loi des sinus dans un triangle rectangle, mais c’est inutilement compliqué. Cela implique d’utiliser cet angle de 90 degrés et un sin de 90 qui vaut un. Il est plus simple d’utiliser simplement le rapport sinus normal. Donc, je vais écrire ce rapport pour ce triangle. Donc, je vais avoir un sin de 40 est égal à l’opposé 𝐵𝐷 sur 48.98. Je veux résoudre cette équation pour trouver la valeur 𝐵𝐷, donc je dois multiplier les deux côtés par cette valeur de 48.986.

C’est pourquoi j’ai gardé cette valeur sur ma calculatrice parce que maintenant je peux simplement appuyer sur multiplié par sin 40 afin d’obtenir une réponse exacte. Donc, évaluer cela me donne 31.48. Et puis, l’arrondir au dixième le plus proche comme demandé, me donne une réponse de 31.5 mètres pour la hauteur de ce bâtiment. Donc, dans cette question, il était important de dessiner d’abord une figure appropriée. Nous avons ensuite utilisé la loi des sinus dans un triangle non rectangle, puis utilisé le rapport sinus normal dans un triangle rectangle afin de répondre à la question.

En résumé, la loi des sinus nous permet de calculer les angles et les côtés dans des triangles non rectangles. Il nous indique que le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est constant tout au long du triangle. Et nous pouvons l’utiliser dans l’un de ces deux formats selon que nous cherchons à calculer la longueur d’un côté ou la taille d’un angle.

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