Transcription de la vidéo
Étant donné que la droite 𝐴𝐵 est tangente au cercle de centre 𝑀 et que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝑀 est égale à 49 degrés, déterminez la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵.
L’angle 𝐴𝐷𝐵 est l’angle formé lorsque nous passons de 𝐴 à 𝐷 à 𝐵, c’est donc l’angle marqué en orange sur le diagramme. L’angle 𝐴𝐵𝑀 est l’angle formé lorsque nous voyageons de 𝐴 à 𝐵 à 𝑀. C’est l’angle maintenant marqué en rose sur la figure avec une mesure de 49 degrés.
À partir des informations fournies, nous ne pouvons pas calculer directement la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵. Nous allons d’abord devoir trouver les mesures d’autres angles dans la figure. L’autre information clé donnée dans la question est que la droite 𝐴𝐵 est une tangente au cercle de centre 𝑀. Et une propriété clé sur les tangentes des cercles est qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point d’intersection.
Le point où la tangente rencontre le cercle est le point 𝐴, et le rayon ici est le segment 𝐴𝑀. Donc, nous savons que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝑀 est de 90 degrés. Maintenant, nous connaissons un autre angle dans la figure. Cependant, nous ne sommes toujours capable de calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵 directement, alors voyons quels autres angles nous pouvons calculer.
Nous avons un triangle. En fait, le triangle 𝐴𝑀𝐵 est un triangle rectangle, et nous connaissons deux de ses angles, l’angle droit et l’angle mesurant 49 degrés. Donc, en utilisant le fait que la somme des angles d’un triangle est 180 degrés, nous pouvons calculer le troisième angle de ce triangle. Nous faisons cela en écrivant une équation qui stipule que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵 plus 49 degrés plus 90 degrés est égale à 180 degrés. 49 plus 90 donne 139, et en soustrayant ceci de 180, nous trouvons que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵 est de 41 degrés. Nous connaissons donc maintenant un autre angle dans notre diagramme.
Nous n’avons toujours pas assez d’informations pour calculer la mesure de 𝐴𝐷𝐵, mais nous pouvons maintenant calculer un angle différent, l’angle 𝐴𝑀𝐷. Nous savons qu’un angle plat sur une droite mesure 180 degrés. Ainsi, la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐷 plus la mesure de l’angle que nous venons de calculer, à savoir 41 degrés, doit être égale à 180 degrés. La mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐷 est donc égale à 180 degrés moins 41 degrés. C’est-à-dire 139 degrés. Maintenant, nous avons trouvé presque tous les angles de la figure, mais toujours pas celui que nous recherchions.
La dernière étape consiste à considérer le triangle 𝐴𝑀𝐷, dans lequel nous connaissons qu’un angle est de 139 degrés. Nous reconnaissons à la fois le segment 𝑀𝐴 et le segment 𝑀𝐷 comme des rayons du même cercle de centre 𝑀. Par conséquent, ils ont la même longueur. Il s’ensuit que le triangle 𝑀𝐷𝐴 est un triangle isocèle, ce qui signifie que les angles 𝐷𝐴𝑀 et 𝐴𝐷𝑀 ont la même mesure. Nous pouvons donc trouver la mesure de chaque angle en soustrayant la mesure du troisième angle, 139 degrés, de la somme des angles totaux dans un triangle, 180 degrés, puis en divisant le résultat en deux. Cela donne à chacun de ces angles une mesure de 20,5 degrés.
Maintenant, nous savons que l’angle 𝐴𝐷𝑀 est en fait le même que l’angle 𝐴𝐷𝐵. Ils se réfèrent tous les deux à l’angle mis en évidence ici en rose. Et donc, nous avons terminé le problème. En utilisant certains des faits plus fondamentaux des angles dans les triangles et des angles sur des droites et la propriété clé que la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point d’intersection, nous avons constaté que la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵 est de 20,5 degrés.
