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Vidéo de la leçon : Tangentes à un cercle Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des tangentes à un cercle pour déterminer des angles ou des longueurs inconnus.

14:50

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des tangentes à un cercle pour déterminer des angles ou des longueurs inconnus. Commençons par rappeler ce que nous entendons par une tangente.

Une tangente à un cercle est une droite passant par exactement un point du cercle. La droite ne passe pas à l’intérieur du cercle mais touche simplement le cercle à sa circonférence. La première propriété clé que nous allons considérer est la suivante. Toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon passant par le point où elle touche le cercle. Cela signifie simplement que toute tangente que nous dessinons à un cercle forme un angle droit avec le rayon du cercle en ce point. La tangente est également perpendiculaire au diamètre au point où elle touche le cercle car il ne s’agit que d’une extension du rayon. Nous n’entrerons pas ici dans le détail de la preuve de ce théorème, mais il repose sur le fait que la distance la plus courte entre une droite et un point est la distance perpendiculaire entre les deux objets.

Dans notre premier exemple, nous allons utiliser ce théorème pour trouver une longueur inconnue dans un diagramme impliquant un cercle et une tangente.

La droite 𝐴𝐶 est tangente à un cercle de centre 𝑀 au point 𝐴. Étant donné que 𝐵𝑀 est égal à 55 centimètres et 𝐴𝐶 est égal à 96 centimètres, qu’elle est la longueur de 𝐵𝐶 ?

Commençons par ajouter les informations de la question au diagramme. 𝐵𝑀 est de 55 centimètres et 𝐴𝐶 est de 96 centimètres. On nous demande ensuite de trouver la longueur du segment 𝐵𝐶. Maintenant, nous pouvons voir que les segments 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶 forment un triangle. On peut aussi en déduire que la longueur du côté 𝐴𝐵 de ce triangle est de 110 centimètres. Ceci est dû au fait que 𝑀𝐵 et 𝑀𝐴 sont tous deux des rayons du cercle, et donc ils sont de longueur égale. Nous connaissons maintenant deux des longueurs de côté dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, et nous souhaitons calculer la troisième. Cela suggère que nous pourrions vouloir utiliser le théorème de Pythagore, mais nous ne pouvons le faire que si le triangle avec lequel nous travaillons est un triangle rectangle.

Rappelez-vous que la droite 𝐴𝐶 est une tangente au cercle, et nous pouvons donc rappeler une propriété clé. Toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point où elle touche le cercle. La droite 𝐴𝐶 est donc perpendiculaire au rayon au point 𝐴. C’est le segment 𝐴𝑀. Et par extension, il est également perpendiculaire au segment 𝐴𝐵. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est donc rectangle, et on peut donc appliquer le théorème de Pythagore. 𝐵𝐶 est l’hypoténuse de ce triangle, nous avons donc que 𝐴𝐵 au carré plus 𝐴𝐶 au carré est égal à 𝐵𝐶 au carré. En remplaçant les longueurs, 110 au carré plus 96 au carré est égal à 𝐵𝐶 au carré. En calculant les valeurs, nous trouvons que 𝐵𝐶 au carré est égal à 21 316. 𝐵𝐶 est la racine carrée de cette valeur, qui est 146.

Ainsi en rappelant que toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point où elle touche le cercle, puis en appliquant le théorème de Pythagore, nous avons trouvé que BC vaut 146 centimètres.

La deuxième propriété clé relative aux tangentes des cercles est la suivante. Étant donné un point extérieur à un cercle, les longueurs de deux tangentes issues de ce point au cercle sont égales. Ainsi sur la figure, nous avons un point 𝐴, qui est extérieur au cercle 𝑀, puis deux tangentes tracées de ce point au cercle. Et ce que nous disons, c’est que la longueur 𝐴𝐵 est égale à la longueur 𝐴𝐶. Nous pouvons le prouver en utilisant des triangles superposables et la première propriété des tangentes aux cercles. Dessinons le segment 𝐴𝑀 puis considérons les deux triangles 𝐴𝐵𝑀 et 𝐴𝐶𝑀.

Nous savons par la première propriété de cette leçon que chacune des tangentes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont perpendiculaires au rayon du cercle aux points où elles touchent le cercle. Donc 𝐴𝐵 est perpendiculaire à 𝐵𝑀 et 𝐴𝐶 est perpendiculaire à 𝐶𝑀. Donc en fait, chacun des triangles 𝐴𝐵𝑀 et 𝐴𝐶𝑀 sont des triangles rectangles. Les segments 𝐵𝑀 et 𝐶𝑀 sont chacun des rayons du cercle et sont donc de longueur égale. Et enfin, le côté 𝐴𝑀 est commun entre les deux triangles. Donc, en utilisant la condition de congruence AHC, angle droit-hypoténuse-côté, ces deux triangles sont superposables. Par conséquent, 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 qui sont des côtés correspondants dans ces deux triangles, auront la même longueur, et nous avons donc prouvé ce résultat.

Nous ne considérerons aucun exemple de cette propriété ici. Mais les questions typiques peuvent inclure le fait d’avoir des expressions pour les longueurs de deux tangentes issues d’un point à un cercle en fonction d’une inconnue et d’être requis de trouver la valeur de cette inconnue. Bien sûr, nous le ferions en reconnaissant que les deux segments tangents sont de longueur égale, en égalant les deux expressions, puis en résolvant l’équation résultante pour trouver la valeur de l’inconnue.

Nous allons maintenant considérer deux corollaires résultant de ce théorème. Le premier est celui-ci. La droite passant par un point extérieur à un cercle et par le centre du cercle est à la fois la bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes au cercle issues de ce point extérieur et l’angle au centre formé par les deux rayons coupant les tangentes.

Comprenons ce que cela signifie sur le diagramme. Ici, nous avons un point extérieur, et nous avons deux tangentes issues de ce point à un cercle. L’angle entre ces deux tangentes est ici, et puis nous avons une droite passant par le point extérieur et par le centre du cercle. Le théorème nous dit que cette droite est la bissectrice de l’angle entre les deux tangentes. Nous avons également dessiné deux rayons d’où chaque tangente coupe le cercle en son centre. L’angle entre ces deux rayons est ici, et encore une fois le théorème nous dit que la droite passant par le point extérieur et le centre du cercle est la bissectrice de cet angle.

Le deuxième corollaire est le suivant. Étant donné un point extérieur à un cercle et deux tangentes issues du point au cercle, la droite passant par le point extérieur et le centre du cercle est la médiatrice de la corde entre les points où les deux tangentes touchent le cercle. Donc sur le schéma, ici on a le point extérieur, et puis on a les deux tangentes issues de ce point au cercle. Voici la droite qui passe par le point extérieur et le centre du cercle. Et on nous dit que cette droite est la médiatrice de la corde qui relie les points où les deux tangentes touchent le cercle.

Considérons maintenant un exemple dans lequel nous appliquons l’un de ces résultats.

Étant donné que la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐶 est égale à 36 degrés, déterminez la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝑀 et la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶.

Nous allons commencer par ajouter les informations de la question au diagramme. La mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐶 est de 36 degrés. Nous devons trouver les mesures des angles 𝐵𝐴𝑀 et 𝐴𝑀𝐶. Tout d’abord, il faut savoir que 𝐴 est un point extérieur au cercle. Les segments 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont des tangentes au cercle, et le segment 𝐴𝑀 est celui reliant ce point extérieur au centre du cercle. Rappelez-vous que la droite passant par un point extérieur et le centre d’un cercle est la bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes issues de ce point au cercle. Donc au point 𝐴, les mesures des angles 𝑀𝐴𝐵 et 𝑀𝐴𝐶 sont égales. Nous savons que la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐶 est de 36 degrés, et donc la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐵 ou de l’angle 𝐵𝐴𝑀 est également de 36 degrés.

Nous allons maintenant trouver la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶, et pour ce faire, nous allons considérer le triangle 𝐴𝑀𝐶. 𝐴𝐶 est une tangente au cercle et 𝑀𝐶 est un rayon. Rappelons que toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point où elle touche le cercle, et donc l’angle 𝑀𝐶𝐴 est un angle droit. En utilisant le fait que la somme des angles dans n’importe quel triangle est de 180 degrés, nous trouvons la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶 en soustrayant les mesures des deux autres angles du triangle 𝐴𝑀𝐶 de 180 degrés, ce qui donne 54 degrés. La mesure de l’angle 𝐵𝐴𝑀 est de 36 degrés et la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐶 est de 54 degrés.

Nous allons maintenant considérer les applications des tangentes à un cercle dans des problèmes impliquant des polygones. Considérons d’abord les définitions des cercles inscrits et des polygones inscrits. Un cercle est inscrit dans un polygone si chaque côté du polygone est tangent au cercle. Donc, dans la figure ici, nous avons un cercle inscrit dans un triangle, et chaque côté du triangle est une tangente au cercle. D’autre part, un polygone est inscrit dans un cercle si le polygone se trouve à l’intérieur du cercle et que tous les sommets du polygone se trouvent sur le cercle. Donc sur cette figure, on a un quadrilatère inscrit dans un cercle. Il est à l’intérieur du cercle, et chacun de ses sommets se trouve sur la circonférence du cercle.

Nous allons maintenant considérer un dernier exemple impliquant des cercles inscrits et des polygones inscrits.

Les cercles concentriques représentés ont des rayons de 16 centimètres et de huit centimètres. Trouvez l’aire du triangle arrondie au centième près.

En regardant le diagramme, nous remarquons d’abord que le plus petit cercle est inscrit dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 car chacun des côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶 est tangent au plus petit cercle. Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est lui-même inscrit dans le plus grand cercle car chacun de ses sommets se trouve sur la circonférence du plus grand cercle. On a donc un cercle inscrit dans un polygone, dans ce cas un triangle, lui-même est inscrit dans un cercle. Et nous devons trouver l’aire de ce triangle.

Nous commencerons par esquisser les rayons du plus grand cercle, les segments 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 et 𝑀𝐶 chacun d’une longueur de 16 centimètres. Nous pouvons également esquisser certains rayons du plus petit cercle, les segments 𝑀𝑋, 𝑀𝑌 et 𝑀𝑍, dont chacun a une longueur de huit centimètres. Maintenant, ce faisant, nous avons divisé le triangle 𝐴𝐵𝐶 en six triangles plus petits. Ce sera vraiment utile si ces triangles sont superposables. Voyons donc si nous pouvons le prouver. Chaque triangle a un côté de longueur huit centimètres et un côté de longueur 16 centimètres. Comme le plus petit cercle est inscrit dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, chaque côté de 𝐴𝐵𝐶 est tangent au plus petit cercle.

On rappelle que toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point où elle touche le cercle. Ainsi, les angles 𝐶𝑌𝑀, 𝐵𝑌𝑀, 𝐵𝑋𝑀, 𝐴𝑋𝑀, 𝐴𝑍𝑀, et 𝐶𝑍𝑀 sont tous des angles droits. Nous avons donc montré que ces triangles sont tous des triangles rectangles, de même longueur d’hypoténuse et un autre côté de même longueur. Ainsi, selon la condition de congruence AHC, angle droit-hypoténuse-côté, ces six triangles sont superposables les uns aux autres.

Considérons alors un de ces triangles, le triangle 𝑀𝐶𝑌. C’est un triangle rectangle, donc son aire peut être trouvée en utilisant la formule la base multipliée par la hauteur perpendiculaire sur deux. C’est 𝐶𝑌 multiplié par 𝑀𝑌 sur deux. Nous connaissons la longueur de 𝑀𝑌. C’est le rayon du plus petit cercle, donc c’est huit centimètres. Et pour trouver la longueur de 𝐶𝑌, on peut appliquer le théorème de Pythagore. 𝐶𝑌 au carré plus huit au carré est égal à 16 au carré. En calculant ces valeurs, nous avons 𝐶𝑌 au carré est égal à 192, et donc 𝐶𝑌 est égal à la racine carrée de 192 ou sous une forme simplifiée huit racine trois. L’aire du triangle 𝑀𝐶𝑌 est alors de huit racine trois multipliée par huit sur deux, soit 64 racine trois sur deux, ce qui équivaut à 32 racine trois.

Pour trouver l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, nous devons multiplier cette valeur par six car il y avait six triangles superposables. Cela donne 192 racine trois ou un nombre décimal 332,5537 en continu. Au centièmes près, l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶, qui inscrit le plus petit cercle et est inscrit dans le plus grand cercle, est de 332,55 centimètres carrés.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point où elle touche le cercle. Les tangentes issues du même point extérieur à la circonférence d’un cercle sont de longueur égale. La droite passant par un point extérieur et le centre d’un cercle est à la fois la bissectrice de l’angle formé par deux tangentes de ce point au cercle et de l’angle au centre formé par les deux rayons coupant les tangentes.

Étant donné un point extérieur à un cercle et deux tangentes issues de ce point au cercle, la droite passant par le point extérieur et le centre du cercle est la médiatrice de la corde entre les points où les tangentes touchent le cercle. Un cercle est inscrit dans un polygone si chaque côté du polygone est tangent au cercle. Et enfin, un polygone est inscrit dans un cercle si le polygone est à l’intérieur du cercle et que chacun des sommets du polygone se trouve sur la circonférence du cercle.

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