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Fiche explicative de la leçon : Tangentes à un cercle Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des tangentes à un cercle pour déterminer des angles ou des longueurs inconnus.

Rappelons qu’une tangente à un cercle est une droite passant par exactement un point du cercle. La droite ne passe pas à l’intérieur du cercle, elle touche simplement le cercle, comme illustré sur le schéma ci-dessous.

Nous allons commencer par un théorème important sur l’angle entre une tangente et le rayon d’un cercle.

Théorème : Angle entre une tangente et un rayon du cercle

Toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon passant par le point où elle touche le cercle.

La démonstration de ce théorème repose sur le fait que la distance la plus courte entre une droite et un point est la distance perpendiculaire entre eux. En d’autres termes, le segment le plus court d’un point à une droite doit être perpendiculaire à la droite.

Si une droite est tangente à un cercle, tout point de la droite est situé à l’extérieur du cercle, à l’exception du point de contact qui se trouve sur le cercle. On sait que la distance entre le centre d’un cercle et un point extérieur au cercle doit être supérieure au rayon du cercle. La distance entre le centre d’un cercle et un point sur le cercle est quant à elle égale au rayon du cercle. Par conséquent, le rayon doit être la plus courte distance entre le centre du cercle et la tangente, car tous les autres points de la tangente se situent à l’extérieur du cercle. Le rayon étant le segment le plus court reliant le centre du cercle à la tangente, il doit être perpendiculaire à la tangente. Cela prouve ainsi le théorème ci-dessus.

Dans le premier exemple, nous allons utiliser ce théorème pour déterminer une longueur inconnue dans un schéma impliquant un cercle et une tangente.

Exemple 1: Déterminer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir des longueurs des deux autres côtés en utilisant les propriétés des tangentes

La droite 𝐴𝐶 est tangente au cercle de centre 𝑀 au point 𝐴. Sachant que 𝐵𝑀=55cm et 𝐴𝐶=96cm, que vaut 𝐵𝐶?

Réponse

La longueur 𝐵𝐶 que nous recherchons est la longueur d’un des côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶, nous allons donc commencer par calculer un angle de ce triangle. On peut calculer 𝐵𝐴𝐶 en rappelant qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.

Il est indiqué que 𝐴𝐶 est tangente au cercle de centre 𝑀 en 𝐴 et on peut voir que 𝑀𝐴 est un rayon du cercle de centre 𝑀 coupant la tangente au point de contact. On en déduit que 𝐶𝐴𝑀 est un angle droit et que 𝐶𝐴𝐵 est par conséquent un triangle rectangle.

La longueur du segment 𝐵𝐶 que nous recherchons est l’hypoténuse de ce triangle rectangle. D’après le théorème de Pythagore, on peut écrire 𝐴𝐶+𝐴𝐵=𝐵𝐶.

On connaît la longueur d’un côté de ce triangle, 𝐴𝐶=96cm. Le côté restant 𝐴𝐵 est un diamètre du cercle, qui est donc égal au double du rayon. Comme on sait que le rayon est 𝐵𝑀=55cm, le diamètre doit mesurer 55×2=110cm. On a donc 𝐴𝐵=110cm. En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on obtient 96+110=𝐵𝐶𝐵𝐶=96+110=146.

Par conséquent, 𝐵𝐶=146cm.

Dans l’exemple précédent, nous n’avons eu besoin de faire appel qu’à la propriété selon laquelle une tangente et un rayon sont perpendiculaires pour calculer une longueur inconnue. Pour des problèmes de géométrie plus complexes, il peut être nécessaire d’utiliser plusieurs propriétés ou théorèmes de géométrie pour déterminer des longueurs ou des angles inconnus. Pour le prochain exemple, nous allons devoir rappeler la propriété de la médiatrice d’une corde.

Exemple 2: Calculer le périmètre d’une figure à l’aide des propriétés des cordes et des tangentes

Sur le schéma ci-dessous, 𝑀 est le centre du cercle, 𝑀𝐵=15cm, 𝐴𝐵=20cm, 𝑀𝐶=9cm et 𝐴𝐵 est une tangente. Calculez le périmètre du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝑀.

Réponse

On rappelle que le périmètre d’un quadrilatère est égal à la somme de ses longueurs de côtés. Commençons par ajouter les longueurs données au schéma et par mettre en évidence le périmètre que nous souhaitons calculer.

On peut voir que les deux longueurs 𝑀𝐶 et 𝐴𝐵 incluses dans le périmètre sont déjà données. Nous devons donc déterminer les longueurs 𝑀𝐴 et 𝐵𝐶.

Commençons par la longueur 𝐵𝐶. D’après le schéma, on peut voir que 𝐶 est le milieu de la corde 𝐵𝐷. On rappelle alors que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Comme 𝑀𝐶 coupe la corde 𝐵𝐷 en son milieu et passe par le centre 𝑀 du cercle, elle doit être la médiatrice de la corde. On en déduit que 𝑀𝐶𝐵 est un angle droit et que 𝑀𝐶𝐵 est par conséquent un triangle rectangle. En appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle, on peut écrire 𝐵𝐶+𝑀𝐶=𝑀𝐵.

On substitue ensuite les longueurs 𝑀𝐶=9cm et 𝑀𝐵=15cm dans cette équation et on prend la racine carrée:𝐵𝐶+9=15𝐵𝐶=159=144𝐵𝐶=144=12.

On obtient 𝐵𝐶=12cm.

Nous allons maintenant calculer la longueur 𝑀𝐴. On rappelle qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Sur le schéma ci-dessus, 𝐴𝐵 est une tangente au cercle qui coupe le rayon 𝑀𝐵, donc 𝑀𝐵𝐴 doit être un angle droit. On peut alors appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle 𝑀𝐵𝐴 et écrire 𝑀𝐵+𝐴𝐵=𝑀𝐴.

On a 𝐴𝐵=20cm et 𝑀𝐵=15cm, donc 15+20=𝑀𝐴𝑀𝐴=15+20=25.

Ce qui nous donne 𝑀𝐴=25cm. Le périmètre du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝑀 est donc 𝑀𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝑀𝐶=25+20+12+9=66.cm

Dans les exemples précédents, nous avons appliqué le théorème stipulant qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact pour déterminer des longueurs inconnues. L’application de ce théorème permet également d’établir une relation entre les longueurs de deux segments tangents issus d’un même point.

Théorème : Longueurs de deux segments tangents issus d’un même point extérieur

Pour un point extérieur à un cercle, deux segments tangents allant de ce point au cercle sont de même longueur.

Pour démontrer ce théorème, considérons ce schéma où 𝑀 est le centre du cercle, 𝐴 est un point extérieur et 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont deux segments tangents au cercle aux points 𝐵 et 𝐶.

On sait que les tangentes sont perpendiculaires aux rayons aux points de contact, donc 𝐴𝐶𝑀 et 𝐴𝐵𝑀 sont des angles droits, comme indiqué sur le schéma. On peut trouver les longueurs de 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 en utilisant le théorème de Pythagore dans les deux triangles rectangles 𝐴𝐶𝑀 et 𝐴𝐵𝑀:𝐴𝐶+𝑀𝐶=𝐴𝑀,𝐴𝐵+𝑀𝐵=𝐴𝑀.

Comme les membres de droite des deux équations sont identiques, on peut poser les membres de gauche des deux équations égaux:𝐴𝐶+𝑀𝐶=𝐴𝐵+𝑀𝐵.

On sait aussi que les côtés 𝑀𝐶 et 𝑀𝐵 sont de même longueur car ce sont des rayons du même cercle. Par conséquent, les termes 𝑀𝐶 et 𝑀𝐵 de l’équation ci-dessus s’annulent, ce qui donne 𝐴𝐶=𝐴𝐵.

On obtient donc 𝐴𝐶=𝐴𝐵, ce qui signifie que les longueurs des deux segments tangents 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont égales, comme attendu.

Étudions un exemple où nous devons utiliser ce théorème pour déterminer des longueurs inconnues dans un schéma impliquant deux tangentes à un cercle issues d’un même point extérieur.

Exemple 3: Déterminer les longueurs de deux segments en utilisant les propriétés des tangentes à un cercle

Calculez 𝐴𝑀 et 𝐴𝐵 en arrondissant les valeurs au centième près.

Réponse

Sur le schéma ci-dessus, 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont deux segments tangents issues du point 𝐴 extérieur au cercle de centre 𝑀. On rappelle que deux segments tangents allant d’un même point extérieur à un cercle sont de même longueur. Les longueurs de ces segments tangents doivent donc être égales. Comme on sait que 𝐴𝐶=10,73cm, on a aussi 𝐴𝐵=10,73cm.

Considérons ensuite 𝐴𝑀. On rappelle qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Sur le schéma, 𝐴𝐵 est un segment tangent au cercle de centre 𝑀 et 𝑀𝐵 est un rayon du cercle. Par conséquent, 𝐴𝐵𝑀 doit être un angle droit. On en déduit que 𝐴𝐵𝑀 est un triangle rectangle et que 𝐴𝑀 est son hypoténuse. En utilisant le théorème de Pythagore, on peut écrire 𝐴𝐵+𝐵𝑀=𝐴𝑀.

Remplacer 𝐴𝐵=10,73cm et 𝐵𝑀=6cm dans cette équation nous donne 10,73+6=𝐴𝑀𝐴𝑀=10,73+6=12,2936.

Les longueurs 𝐴𝑀 et 𝐴𝐵 sont donc respectivement égales à 12,29 cm et 10,73 cm au centième près.

Dans l’exemple suivant, nous devons calculer des constantes inconnues dans un schéma impliquant deux cercles partageant des tangentes.

Exemple 4: Calculer la longueur de deux segments tangents à des cercles en résolvant deux équations linéaires

Les deux cercles de centres 𝑀 et 𝑁 se touchent par l’extérieur. La droite 𝐹𝐴 est tangente à ces deux cercles en 𝐴 et 𝐵, et 𝐹𝐶 est tangente aux cercles en 𝐶 et 𝐷. Sachant que 𝐴𝐵=11,01cm et 𝐶𝐷=(𝑦11,01)cm, calculez 𝑥 et 𝑦.

Réponse

On rappelle que deux segments tangents allant d’un point extérieur à un cercle sont de même longueur. Pour le cercle de centre 𝑁, les droites 𝐹𝐴 et 𝐹𝐶 sont tangentes à ce cercle aux points 𝐵 et 𝐷 respectivement. On doit donc avoir 𝐹𝐵=𝐹𝐷, ce qui signifie que 𝐹𝐵=12,31cm. On peut alors écrire 𝑥2=12,31,𝑥=14,31.cequidonne

Considérons ensuite le cercle de centre 𝑀. Les droites 𝐹𝐴 et 𝐹𝐶 sont tangentes à ce cercle aux points 𝐴 et 𝐶 respectivement. On doit donc avoir 𝐹𝐴=𝐹𝐶. On sait que 𝐴𝐵=11,01cm et que 𝐹𝐵=12,31cm, donc 𝐹𝐴=𝐹𝐵+𝐴𝐵=12,31+11,01=23,32.cm

Sachant que 𝐹𝐴=𝐹𝐶, on en déduit que 𝐹𝐶=23,32cm. Comme 𝐹𝐶=𝐹𝐷+𝐶𝐷, on peut substituer les longueurs connues:23,32=12,31+𝐶𝐷.

On obtient 𝐶𝐷=23,3212,31=11,01.cm

On sait également que 𝐶𝐷=(𝑦11,01)cm donc on a 𝑦11,01=11,01,𝑦=22,02.cequidonne

Par conséquent, 𝑥=14,31 et 𝑦=22,02.

Dans les deux exemples précédents, nous avons appliqué la propriété selon laquelle deux segments tangents allant d’un même point à un cercle sont de même longueur pour déterminer des longueurs inconnues. On peut également déduire plusieurs théorèmes de géométrie intéressants de cette propriété. Nous allons maintenant énoncer deux de ces théorèmes.

Théorème : Bissectrice de l’angle formé par deux tangentes et de l’angle au centre formé par les deux rayons coupant les tangentes

La droite passant par un point extérieur à un cercle et par le centre du cercle est la bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes au cercle issues de ce point extérieur;elle est également la bissectrice de l’angle au centre formé par les deux rayons coupant ces tangentes.

Pour démontrer ce théorème, nous allons utiliser le schéma suivant.

Dans le schéma ci-dessus, les segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont tous les deux tangents et issus du point 𝐴 extérieur au cercle de centre 𝑀. On sait qu’une tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact, donc 𝐴𝐵𝑀 et 𝐴𝐶𝑀 sont des angles droits comme indiqué sur le schéma. On sait également que les longueurs de deux segments tangents issus du même point extérieur sont égales donc 𝐴𝐵=𝐴𝐶, comme indiqué. Enfin, on sait que les rayons d’un même cercle sont de même longueur;par conséquent, 𝐵𝑀=𝐶𝑀, comme indiqué.

On peut conclure que les triangles 𝐴𝐵𝑀 et 𝐴𝐶𝑀 sont superposables car ils ont deux côtés et l’angle entre eux égaux. Cela nous donne la congruence des angles correspondants 𝑛𝑎𝑔𝑤𝑎𝑀𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒𝐵𝑀𝐴=𝑛𝑎𝑔𝑤𝑎𝑀𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒𝐶𝑀𝐴, ce qui signifie que 𝑛𝑎𝑔𝑤𝑎𝐿𝑖𝑛𝑒𝑆𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑀𝐴 est la bissectrice de 𝑛𝑎𝑔𝑤𝑎𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒𝐵𝑀𝐶. En particulier 𝑚𝐵𝑀𝐴=𝑚𝐶𝑀𝐴, ce qui signifie que 𝑀𝐴 est la bissectrice de 𝐵𝑀𝐶;leurs autres angles correspondants sont aussi égaux, 𝑚𝐵𝐴𝑀=𝑚𝐶𝐴𝑀, donc 𝑀𝐴 est la bissectrice de 𝐵𝐴𝐶. Cela prouve le théorème ci-dessus.

Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer ce théorème ainsi que les deux théorèmes précédents pour déterminer la mesure d’un angle.

Exemple 5: Déterminer la mesure d’un angle en utilisant les propriétés des tangentes à un cercle

Sachant que 𝑚𝑀𝐶𝐵=49, 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont tangents au cercle en 𝐵 et 𝐶, déterminez 𝑚𝐵𝐴𝑀.

Réponse

Il est indiqué que 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont tangents au cercle en 𝐵 et 𝐶. On rappelle que deux segments tangents à un cercle issus du même point sont de même longueur, ce qui nous donne 𝐴𝐵=𝐴𝐶. Ajoutons cette information et celles données dans l’énoncé au schéma.

On rappelle de plus qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Cela signifie en particulier que 𝐴𝐶𝑀 est un angle droit. On peut calculer 𝑚𝐴𝐶𝐵=𝑚𝐴𝐶𝑀𝑚𝑀𝐶𝐵=9049=41.

On peut voir sur le schéma que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle car 𝐴𝐵=𝐴𝐶. Cela signifie que 𝑚𝐴𝐵𝐶=𝑚𝐴𝐶𝐵=41.

Comme la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180, on peut écrire 𝑚𝐵𝐴𝐶+𝑚𝐴𝐵𝐶+𝑚𝐴𝐶𝐵=180.

En substituant les deux mesures d’angles que l’on a déterminées, on a 𝑚𝐵𝐴𝐶+41+41=180.

On obtient ainsi 𝑚𝐵𝐴𝐶=98.

Pour obtenir 𝑚𝐵𝐴𝑀, on rappelle enfin que la droite passant par un point extérieur et par le centre du cercle est la bissectrice de l’angle entre les deux tangentes issues de ce point. Cela signifie que 𝑚𝐵𝐴𝑀=12𝑚𝐵𝐴𝐶=12×98=49.

Par conséquent, 𝑚𝐵𝐴𝑀=49.

Dans l’exemple précédent, nous avons appliqué le théorème qui stipule que la droite passant par le centre d’un cercle et par un point extérieur est la bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes issues de ce point extérieur. Une autre application de ce théorème peut conduire au théorème suivant sur la médiatrice d’une corde.

Théorème : Médiatrice de la corde reliant les points de contact de deux tangentes issues d’un point extérieur

Pour un point extérieur à un cercle et deux tangentes à ce cercle issues de ce même point, la droite passant par le point extérieur et par le centre du cercle est la médiatrice de la corde dont les extrémités sont les points de contact des tangentes.

Considérons le schéma suivant, où 𝑀 est le centre d’un cercle et 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont des tangentes au centre en 𝐵 et 𝐶 respectivement.

D’après le théorème précédent, on sait que 𝑀𝐴 est la bissectrice de l’angle 𝐵𝑀𝐶, donc 𝑚𝐵𝑀𝐷=𝑚𝐶𝑀𝐷, comme indiqué sur la figure. On sait aussi que 𝑀𝐵=𝑀𝐶 car ce sont des rayons du même cercle. En outre, le côté 𝑀𝐷 est commun aux deux triangles 𝑀𝐷𝐵 et 𝑀𝐷𝐶. Les triangles 𝑀𝐷𝐵 et 𝑀𝐷𝐶 sont donc superposables car ils ont deux côtés et l’angle entre eux égaux.

Cela signifie en particulier que 𝐵𝐷=𝐶𝐷, donc 𝐷 est le milieu de la corde 𝐵𝐶. Comme 𝑚𝐵𝐷𝑀=𝑚𝐶𝐷𝑀 et que la somme de leurs mesures est égale à 180, ces deux angles doivent également être des angles droits. Cela signifie que 𝑀𝐴 est la médiatrice de 𝐵𝐶. Cela prouve ainsi le théorème.

Nous allons maintenant nous pencher sur les applications des tangentes à un cercle pour des problèmes impliquant des polygones.

Définition : Cercles inscrits et polygones inscrits

Un cercle est inscrit dans un polygone si chaque côté du polygone est tangent au cercle.

Un polygone est inscrit dans un cercle si le polygone se situe à l’intérieur du cercle et que tous ses sommets se situent sur le cercle.

Dans le prochain exemple, nous devons calculer l’aire d’un triangle inscrit dans un cercle sachant qu’un autre cercle plus petit est inscrit dans le triangle.

Exemple 6: Déterminer l’aire d’un triangle à partir des rayons de son cercle circonscrit et de son cercle inscrit

Les cercles concentriques illustrés ci-dessous ont pour rayons 16 cm et 8 cm. Calculez l’aire du triangle au centième près.

Réponse

Sur le schéma ci-dessus, les segments 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont tangents au plus petit cercle. On rappelle que la droite passant par un point extérieur et par le centre du cercle est la bissectrice de l’angle entre les deux tangentes issues de ce point. Par conséquent, les segments 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 et 𝑀𝐶 sont les bissectrices respectives de 𝐶𝐴𝐵, 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐶𝐴. Ajoutons-les au schéma.

On rappelle de plus qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Donc les rayons 𝑀𝑋, 𝑀𝑌 et 𝑀𝑍 du plus petit cercle sont respectivement perpendiculaires aux segments tangents 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 et 𝐶𝐴. On ajoute maintenant ces rayons au schéma.

Dans le schéma ci-dessus, le triangle 𝐴𝐵𝐶 est divisé en six triangles rectangles plus petits. Nous allons montrer que ces six triangles rectangles sont tous superposables.

Nous allons pour cela d’abord considérer leurs angles. Comme 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 et 𝑀𝐶 sont les bissectrices de 𝐶𝐴𝐵, 𝐴𝐵𝐶 et 𝐵𝐶𝐴, on sait que les deux angles à tous les sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont de même mesure. On note de plus que 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 et 𝑀𝐶 sont les rayons du plus grand cercle, ils sont donc de même longueur. On en déduit que les triangles 𝑀𝐴𝐶, 𝑀𝐴𝐵 et 𝑀𝐵𝐶 sont isocèles, ce qui signifie que les deux angles autres que 𝑀 dans chacun de ces triangles sont égaux. Par conséquent, les six plus petits angles aux sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont de même mesure. Chacun des six triangles rectangles plus petits ont donc cet angle en commun.

Comme la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180, les troisièmes angles (l’angle au sommet 𝑀) des six triangles rectangles doivent également avoir la même mesure. Enfin, en rappelant que 𝑀𝐴, 𝑀𝐵 et 𝑀𝐶 sont de même longueur, on en conclut que les six triangles rectangles plus petits sont superposables car ils ont deux angles et un côté égaux.

Cela signifie notamment que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est égale à six fois l’aire du triangle 𝐴𝑀𝑋, par exemple. Calculons donc l’aire du triangle rectangle 𝐴𝑀𝑋. Comme 𝑀𝑋 est un rayon du plus petit cercle, on sait que 𝑀𝑋=8cm. Nous devons trouver 𝐴𝑋 pour calculer l’aire de ce triangle. En appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle, on peut écrire 𝐴𝑋+𝑀𝑋=𝐴𝑀.

On sait que 𝑀𝑋=8cm et que 𝐴𝑀 est un rayon du plus grand cercle, donc 𝐴𝑀=16cm. En substituant ces valeurs, 𝐴𝑋+8=16𝐴𝑋=168=192𝐴𝑋=192.cm

En rappelant que l’aire d’un triangle est égale à un demi de la base multipliée par la hauteur, l’aire du triangle 𝐴𝑀𝑋 est 12×𝐴𝑋×𝑀𝑋=12×192×8=4192.cm

En multipliant cette aire par 6, on obtient l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 arrondie au centième près:6×4192=24192=332,55.cm

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
  • Pour un point extérieur à un cercle, les deux segments tangents allant de ce point au cercle sont de même longueur.
  • La droite passant par un point extérieur à un cercle et par le centre du cercle est la bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes au cercle issues de ce point;cette droite est également la bissectrice de l’angle au centre formé par les deux rayons coupant les tangentes.
  • Pour un point extérieur à un cercle et deux tangentes au cercle issues de ce point, la droite passant par le point extérieur et par le centre du cercle est la médiatrice de la corde dont les extrémités sont les points de contact des deux tangentes.
  • Un cercle est inscrit dans un polygone si chaque côté du polygone est tangent au cercle. Un polygone est inscrit dans un cercle si le polygone se situe à l’intérieur du cercle et que tous ses sommets se situent sur le cercle.

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