Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des tangentes à un cercle pour déterminer des angles ou des longueurs inconnus.
Rappelons qu’une tangente à un cercle est une droite passant par exactement un point du cercle. La droite ne passe pas à l’intérieur du cercle, elle touche simplement le cercle, comme illustré sur le schéma ci-dessous.
Nous allons commencer par un théorème important sur l’angle entre une tangente et le rayon d’un cercle.
Théorème : Angle entre une tangente et un rayon du cercle
Toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon passant par le point où elle touche le cercle.
La démonstration de ce théorème repose sur le fait que la distance la plus courte entre une droite et un point est la distance perpendiculaire entre eux. En d’autres termes, le segment le plus court d’un point à une droite doit être perpendiculaire à la droite.
Si une droite est tangente à un cercle, tout point de la droite est situé à l’extérieur du cercle, à l’exception du point de contact qui se trouve sur le cercle. On sait que la distance entre le centre d’un cercle et un point extérieur au cercle doit être supérieure au rayon du cercle. La distance entre le centre d’un cercle et un point sur le cercle est quant à elle égale au rayon du cercle. Par conséquent, le rayon doit être la plus courte distance entre le centre du cercle et la tangente, car tous les autres points de la tangente se situent à l’extérieur du cercle. Le rayon étant le segment le plus court reliant le centre du cercle à la tangente, il doit être perpendiculaire à la tangente. Cela prouve ainsi le théorème ci-dessus.
Dans le premier exemple, nous allons utiliser ce théorème pour déterminer une longueur inconnue dans un schéma impliquant un cercle et une tangente.
Exemple 1: Déterminer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir des longueurs des deux autres côtés en utilisant les propriétés des tangentes
La droite est tangente au cercle de centre au point . Sachant que et , que vaut ?
Réponse
La longueur que nous recherchons est la longueur d’un des côtés du triangle , nous allons donc commencer par calculer un angle de ce triangle. On peut calculer en rappelant qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
Il est indiqué que est tangente au cercle de centre en et on peut voir que est un rayon du cercle de centre coupant la tangente au point de contact. On en déduit que est un angle droit et que est par conséquent un triangle rectangle.
La longueur du segment que nous recherchons est l’hypoténuse de ce triangle rectangle. D’après le théorème de Pythagore, on peut écrire
On connaît la longueur d’un côté de ce triangle, . Le côté restant est un diamètre du cercle, qui est donc égal au double du rayon. Comme on sait que le rayon est , le diamètre doit mesurer . On a donc . En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on obtient
Par conséquent, .
Dans l’exemple précédent, nous n’avons eu besoin de faire appel qu’à la propriété selon laquelle une tangente et un rayon sont perpendiculaires pour calculer une longueur inconnue. Pour des problèmes de géométrie plus complexes, il peut être nécessaire d’utiliser plusieurs propriétés ou théorèmes de géométrie pour déterminer des longueurs ou des angles inconnus. Pour le prochain exemple, nous allons devoir rappeler la propriété de la médiatrice d’une corde.
Exemple 2: Calculer le périmètre d’une figure à l’aide des propriétés des cordes et des tangentes
Sur le schéma ci-dessous, est le centre du cercle, , , et est une tangente. Calculez le périmètre du quadrilatère .
Réponse
On rappelle que le périmètre d’un quadrilatère est égal à la somme de ses longueurs de côtés. Commençons par ajouter les longueurs données au schéma et par mettre en évidence le périmètre que nous souhaitons calculer.
On peut voir que les deux longueurs et incluses dans le périmètre sont déjà données. Nous devons donc déterminer les longueurs et .
Commençons par la longueur . D’après le schéma, on peut voir que est le milieu de la corde . On rappelle alors que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Comme coupe la corde en son milieu et passe par le centre du cercle, elle doit être la médiatrice de la corde. On en déduit que est un angle droit et que est par conséquent un triangle rectangle. En appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle, on peut écrire
On substitue ensuite les longueurs et dans cette équation et on prend la racine carrée :
On obtient .
Nous allons maintenant calculer la longueur . On rappelle qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Sur le schéma ci-dessus, est une tangente au cercle qui coupe le rayon , donc doit être un angle droit. On peut alors appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle et écrire
On a et , donc
Ce qui nous donne . Le périmètre du quadrilatère est donc
Dans les exemples précédents, nous avons appliqué le théorème stipulant qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact pour déterminer des longueurs inconnues. L’application de ce théorème permet également d’établir une relation entre les longueurs de deux segments tangents issus d’un même point.
Théorème : Longueurs de deux segments tangents issus d’un même point extérieur
Pour un point extérieur à un cercle, deux segments tangents allant de ce point au cercle sont de même longueur.
Pour démontrer ce théorème, considérons ce schéma où est le centre du cercle, est un point extérieur et et sont deux segments tangents au cercle aux points et .
On sait que les tangentes sont perpendiculaires aux rayons aux points de contact, donc et sont des angles droits, comme indiqué sur le schéma. On peut trouver les longueurs de et en utilisant le théorème de Pythagore dans les deux triangles rectangles et :
Comme les membres de droite des deux équations sont identiques, on peut poser les membres de gauche des deux équations égaux :
On sait aussi que les côtés et sont de même longueur car ce sont des rayons du même cercle. Par conséquent, les termes et de l’équation ci-dessus s’annulent, ce qui donne
On obtient donc , ce qui signifie que les longueurs des deux segments tangents et sont égales, comme attendu.
Étudions un exemple où nous devons utiliser ce théorème pour déterminer des longueurs inconnues dans un schéma impliquant deux tangentes à un cercle issues d’un même point extérieur.
Exemple 3: Déterminer les longueurs de deux segments en utilisant les propriétés des tangentes à un cercle
Calculez et en arrondissant les valeurs au centième près.
Réponse
Sur le schéma ci-dessus, et sont deux segments tangents issues du point extérieur au cercle de centre . On rappelle que deux segments tangents allant d’un même point extérieur à un cercle sont de même longueur. Les longueurs de ces segments tangents doivent donc être égales. Comme on sait que , on a aussi .
Considérons ensuite . On rappelle qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Sur le schéma, est un segment tangent au cercle de centre et est un rayon du cercle. Par conséquent, doit être un angle droit. On en déduit que est un triangle rectangle et que est son hypoténuse. En utilisant le théorème de Pythagore, on peut écrire
Remplacer et dans cette équation nous donne
Les longueurs et sont donc respectivement égales à 12,29 cm et 10,73 cm au centième près.
Dans l’exemple suivant, nous devons calculer des constantes inconnues dans un schéma impliquant deux cercles partageant des tangentes.
Exemple 4: Calculer la longueur de deux segments tangents à des cercles en résolvant deux équations linéaires
Les deux cercles de centres et se touchent par l’extérieur. La droite est tangente à ces deux cercles en et , et est tangente aux cercles en et . Sachant que et , calculez et .
Réponse
On rappelle que deux segments tangents allant d’un point extérieur à un cercle sont de même longueur. Pour le cercle de centre , les droites et sont tangentes à ce cercle aux points et respectivement. On doit donc avoir , ce qui signifie que . On peut alors écrire
Considérons ensuite le cercle de centre . Les droites et sont tangentes à ce cercle aux points et respectivement. On doit donc avoir . On sait que et que , donc
Sachant que , on en déduit que . Comme , on peut substituer les longueurs connues :
On obtient
On sait également que donc on a
Par conséquent, et .
Dans les deux exemples précédents, nous avons appliqué la propriété selon laquelle deux segments tangents allant d’un même point à un cercle sont de même longueur pour déterminer des longueurs inconnues. On peut également déduire plusieurs théorèmes de géométrie intéressants de cette propriété. Nous allons maintenant énoncer deux de ces théorèmes.
Théorème : Bissectrice de l’angle formé par deux tangentes et de l’angle au centre formé par les deux rayons coupant les tangentes
La droite passant par un point extérieur à un cercle et par le centre du cercle est la bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes au cercle issues de ce point extérieur ; elle est également la bissectrice de l’angle au centre formé par les deux rayons coupant ces tangentes.
Pour démontrer ce théorème, nous allons utiliser le schéma suivant.
Dans le schéma ci-dessus, les segments et sont tous les deux tangents et issus du point extérieur au cercle de centre . On sait qu’une tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact, donc et sont des angles droits comme indiqué sur le schéma. On sait également que les longueurs de deux segments tangents issus du même point extérieur sont égales donc , comme indiqué. Enfin, on sait que les rayons d’un même cercle sont de même longueur ; par conséquent, , comme indiqué.
On peut conclure que les triangles et sont superposables car ils ont deux côtés et l’angle entre eux égaux. Cela nous donne la congruence des angles correspondants , ce qui signifie que est la bissectrice de . En particulier , ce qui signifie que est la bissectrice de ; leurs autres angles correspondants sont aussi égaux, , donc est la bissectrice de . Cela prouve le théorème ci-dessus.
Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer ce théorème ainsi que les deux théorèmes précédents pour déterminer la mesure d’un angle.
Exemple 5: Déterminer la mesure d’un angle en utilisant les propriétés des tangentes à un cercle
Sachant que , où et sont tangents au cercle en et , déterminez .
Réponse
Il est indiqué que et sont tangents au cercle en et . On rappelle que deux segments tangents à un cercle issus du même point sont de même longueur, ce qui nous donne . Ajoutons cette information et celles données dans l’énoncé au schéma.
On rappelle de plus qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Cela signifie en particulier que est un angle droit. On peut calculer
On peut voir sur le schéma que est un triangle isocèle car . Cela signifie que
Comme la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à , on peut écrire
En substituant les deux mesures d’angles que l’on a déterminées, on a
On obtient ainsi .
Pour obtenir , on rappelle enfin que la droite passant par un point extérieur et par le centre du cercle est la bissectrice de l’angle entre les deux tangentes issues de ce point. Cela signifie que
Par conséquent, .
Dans l’exemple précédent, nous avons appliqué le théorème qui stipule que la droite passant par le centre d’un cercle et par un point extérieur est la bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes issues de ce point extérieur. Une autre application de ce théorème peut conduire au théorème suivant sur la médiatrice d’une corde.
Théorème : Médiatrice de la corde reliant les points de contact de deux tangentes issues d’un point extérieur
Pour un point extérieur à un cercle et deux tangentes à ce cercle issues de ce même point, la droite passant par le point extérieur et par le centre du cercle est la médiatrice de la corde dont les extrémités sont les points de contact des tangentes.
Considérons le schéma suivant, où est le centre d’un cercle et et sont des tangentes au centre en et respectivement.
D’après le théorème précédent, on sait que est la bissectrice de l’angle , donc , comme indiqué sur la figure. On sait aussi que car ce sont des rayons du même cercle. En outre, le côté est commun aux deux triangles et . Les triangles et sont donc superposables car ils ont deux côtés et l’angle entre eux égaux.
Cela signifie en particulier que , donc est le milieu de la corde . Comme et que la somme de leurs mesures est égale à , ces deux angles doivent également être des angles droits. Cela signifie que est la médiatrice de . Cela prouve ainsi le théorème.
Nous allons maintenant nous pencher sur les applications des tangentes à un cercle pour des problèmes impliquant des polygones.
Définition : Cercles inscrits et polygones inscrits
Un cercle est inscrit dans un polygone si chaque côté du polygone est tangent au cercle.
Un polygone est inscrit dans un cercle si le polygone se situe à l’intérieur du cercle et que tous ses sommets se situent sur le cercle.
Dans le prochain exemple, nous devons calculer l’aire d’un triangle inscrit dans un cercle sachant qu’un autre cercle plus petit est inscrit dans le triangle.
Exemple 6: Déterminer l’aire d’un triangle à partir des rayons de son cercle circonscrit et de son cercle inscrit
Les cercles concentriques illustrés ci-dessous ont pour rayons 16 cm et 8 cm. Calculez l’aire du triangle au centième près.
Réponse
Sur le schéma ci-dessus, les segments , et sont tangents au plus petit cercle. On rappelle que la droite passant par un point extérieur et par le centre du cercle est la bissectrice de l’angle entre les deux tangentes issues de ce point. Par conséquent, les segments , et sont les bissectrices respectives de , et . Ajoutons-les au schéma.
On rappelle de plus qu’une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact. Donc les rayons , et du plus petit cercle sont respectivement perpendiculaires aux segments tangents , et . On ajoute maintenant ces rayons au schéma.
Dans le schéma ci-dessus, le triangle est divisé en six triangles rectangles plus petits. Nous allons montrer que ces six triangles rectangles sont tous superposables.
Nous allons pour cela d’abord considérer leurs angles. Comme , et sont les bissectrices de , et , on sait que les deux angles à tous les sommets , et sont de même mesure. On note de plus que , et sont les rayons du plus grand cercle, ils sont donc de même longueur. On en déduit que les triangles , et sont isocèles, ce qui signifie que les deux angles autres que dans chacun de ces triangles sont égaux. Par conséquent, les six plus petits angles aux sommets , et sont de même mesure. Chacun des six triangles rectangles plus petits ont donc cet angle en commun.
Comme la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à , les troisièmes angles (l’angle au sommet ) des six triangles rectangles doivent également avoir la même mesure. Enfin, en rappelant que , et sont de même longueur, on en conclut que les six triangles rectangles plus petits sont superposables car ils ont deux angles et un côté égaux.
Cela signifie notamment que l’aire du triangle est égale à six fois l’aire du triangle , par exemple. Calculons donc l’aire du triangle rectangle . Comme est un rayon du plus petit cercle, on sait que . Nous devons trouver pour calculer l’aire de ce triangle. En appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle, on peut écrire
On sait que et que est un rayon du plus grand cercle, donc . En substituant ces valeurs,
En rappelant que l’aire d’un triangle est égale à un demi de la base multipliée par la hauteur, l’aire du triangle est
En multipliant cette aire par 6, on obtient l’aire du triangle arrondie au centième près :
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Toute tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact.
- Pour un point extérieur à un cercle, les deux segments tangents allant de ce point au cercle sont de même longueur.
- La droite passant par un point extérieur à un cercle et par le centre du cercle est la bissectrice de l’angle formé par les deux tangentes au cercle issues de ce point ; cette droite est également la bissectrice de l’angle au centre formé par les deux rayons coupant les tangentes.
- Pour un point extérieur à un cercle et deux tangentes au cercle issues de ce point, la droite passant par le point extérieur et par le centre du cercle est la médiatrice de la corde dont les extrémités sont les points de contact des deux tangentes.
- Un cercle est inscrit dans un polygone si chaque côté du polygone est tangent au cercle. Un polygone est inscrit dans un cercle si le polygone se situe à l’intérieur du cercle et que tous ses sommets se situent sur le cercle.
