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Etant donnés 𝐴𝐵 égale 24 centimètres, 𝐴𝐷 égale 36 centimètres, 𝐴𝐶 égale 18 centimètres et 𝐸𝑌 égale 15 centimètres, calculez les longueurs des segments 𝐴𝐸 et 𝐷𝑋.
En notant les longueurs sur la figure, nous voyons également que trois droites parallèles sont indiquées sur la figure. Nous avons aussi deux droites sécantes. Une droite sécante coupe deux droites du même plan en deux points distincts. Nous pouvons utiliser le fait que si trois droites parallèles ou plus sont coupées par deux droites sécantes, alors elles partagent les droites sécantes en segments proportionnels.
Puisqu’on nous donne les longueurs sur le segment 𝐷𝐵, nous pouvons les utiliser pour déterminer la proportion entre les segments. Nous pouvons écrire que le segment 𝐷𝐴 sur 𝐴𝐵 est égal au segment 𝐴𝐸 sur 𝐴𝐶. Nous pouvons alors utiliser les valeurs données pour chaque segment. Du côté gauche, nous avons 36 sur 24 qui est égal à 𝐴𝐸 sur 18.
Pour trouver la valeur inconnue 𝐴𝐸, nous allons faire un produit en croix. Puisque 12 divise à la fois de 36 et 24, nous pouvons simplifier la fraction de gauche, ce qui donne trois sur deux. Ceci est égal à 𝐴𝐸 sur 18. Ainsi, en faisant le produit en croix, nous trouvons trois fois 18 égale deux fois 𝐴𝐸. Ainsi, 54 égale deux fois 𝐴𝐸. En divisant chaque côté par deux, nous obtenons que 27 est égal à 𝐴𝐸. Ainsi, 𝐴𝐸 mesure 27 centimètres. Nous avons donc trouvé la première longueur inconnue.
Pour trouver l’autre longueur inconnue 𝐷𝑋, nous remarquons que, sur l’autre droite sécante, la longueur 𝐸𝑌 est la longueur correspondante. En appelant 𝑎 la longueur 𝐷𝑋, nous pouvons alors écrire que 𝑎 sur 24 est égal à 15 sur 18. Nous pouvons simplifier la fraction 15 sur 18, nous obtenons 𝑎 sur 24 égale cinq sur six. Nous faisons alors le produit en croix. Ainsi, 𝑎 fois six ou six 𝑎 est égal à 24 fois cinq. Nous simplifions, ce qui donne six 𝑎 égale 120. Ainsi, 𝑎 égale 20. Puisque nous avons appelé 𝑎 la longueur 𝐷𝑋, nous avons donc 𝐷𝑋 égale 20 centimètres.
Ainsi, la réponse finale est que 𝐴𝐸 mesure 27 centimètres. Puis, 𝐷𝑋 mesure 20 centimètres.
