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La fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus un au carré plus deux subit une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥, puis une translation de 3 unités dans le sens positif suivant l’axe des 𝑦. Écrivez l’équation de la fonction transformée 𝑔 de 𝑥.
Il y a deux transformations qui sont appliquées à cette fonction : d’abord une réflexion par rapport à l’axe des abscisses, puis une translation de trois unités dans le sens positif suivant l’axe des ordonnées. Cela signifie une translation de trois unités vers le haut. Nous devons rappeler l’effet de chacune de ces transformations sur l’équation d’une fonction.
Tout d’abord, la réflexion par rapport à l’axe des abscisses correspond à prendre l’opposé de la fonction. Nous multiplions toute la fonction par moins un. Ainsi, après réflexion de la courbe de 𝑓 de 𝑥 par rapport à l’axe des abscisses, nous obtenons la fonction moins 𝑥 plus un au carré plus deux. Distribuer le signe négatif sur l’expression initiale nous donne moins 𝑥 plus un au carré moins deux.
Ensuite, nous rappelons qu’un décalage vertical ou une translation de trois unités dans le sens positif suivant l’axe des ordonnées, soit de trois unités vers le haut, a pour effet d’ajouter la constante trois à toute la fonction. Ainsi, appliquer cette transformation à la fonction qui a déjà subi une réflexion par rapport à l’axe des abscisses nous donne moins 𝑥 plus un au carré moins deux plus trois, ce qui se simplifie en moins 𝑥 plus un au carré plus un. C’est l’équation de la fonction transformée 𝑔 de 𝑥.
Nous avons donc trouvé que si nous prenons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus un au carré plus deux, que nous lui appliquons une réflexion par rapport à l’axe des abscisses, puis que la translations de trois unités dans le sens positif suivant l’axe des ordonnées, alors la fonction transformée que nous obtenons est 𝑔 de 𝑥 égale moins 𝑥 plus un au carré plus un.
