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Déterminez l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝜃 égale trois sinus thêta plus quatre.
Commençons par rappeler quelques propriétés clés de la fonction sinus. Tout d’abord, la fonction sinus est périodique de période deux pi radians ou 360 degrés. Son graphe oscille entre moins un et un en prenant toutes les valeurs comprises entre ces deux extrema. Cela signifie que l’ensemble image de la fonction sinus est l’intervalle fermé de moins un à plus un. On peut utiliser cette information pour déterminer l’ensemble image de la fonction 𝑓 de thêta.
On rappelle que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs possibles pour cette fonction, ou autrement dit toutes les valeurs de sortie possibles de la fonction. Donc on doit trouver toutes les valeurs possibles de l’expression trois sinus thêta plus quatre, pour tout réel thêta . Déterminons quelles transformations de fonctions ont été appliquées à sinus thêta pour obtenir trois sinus thêta plus quatre.
Multiplier sinus thêta par trois dilate verticalement le graphe de la fonction par un facteur trois. Cela a pour effet de multiplier toutes les valeurs de l’ensemble image par trois. Donc, après cette multiplication par trois, l’ensemble image de la fonction transformée est l’intervalle fermé de moins trois à plus trois.
Additionner quatre à la fonction translate son graphe verticalement de quatre unités vers le haut. Cela a pour effet d’augmenter de quatre chacune des valeurs de l’ensemble image. Donc en particulier, moins trois devient un et trois devient sept. Par conséquent, l’ensemble image de la fonction 𝑓 de thêta égale trois sinus thêta plus quatre est l’intervalle fermé de un à sept.
On aurait aussi pu montrer cela en utilisant des inéquations. Si sinus thêta est supérieur ou égal à moins un et inférieur ou égal à plus un, alors trois sinus thêta est supérieur ou égal à moins trois et inférieur ou égal à plus trois. Et trois sinus thêta plus quatre est supérieur ou égal à un et inférieur ou égal à sept.
Donc on a montré de deux façons différentes que l’ensemble image de la fonction 𝑓 de thêta égale trois sinus thêta plus quatre est l’intervalle fermé de un à sept.
