Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction trigonométrique. Nous allons commencer par rappeler ce que sont l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction. L’ensemble de définition d’une fonction 𝑓 est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de 𝑥 telles que l’expression 𝑓 de 𝑥 est définie. L’ensemble image d’une fonction 𝑓 est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de l’expression 𝑓 de 𝑥, où 𝑥 est une valeur quelconque de l’ensemble de définition de la fonction. On peut notamment déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de sa courbe représentative. Sur la courbe représentative d’une fonction, l’ensemble de définition est la portion de l’axe des abscisses pour laquelle la courbe représentative existe et l’ensemble image est la portion de l’axe des ordonnées pour laquelle la courbe représentative existe.
Commençons par considérer la courbe représentative de 𝑦 égale sinus 𝑥 pour des valeurs de 𝑥 entre moins 360 et 360 degrés. On peut voir que la fonction est définie pour toutes les valeurs de 𝑥. Cela signifie que l’ensemble de définition de sinus 𝑥 est l’ensemble des nombres réels. On peut également le noter comme l’intervalle ouvert moins l’infini, plus l’infini On voit que la courbe représentative oscille entre moins un et un. La valeur maximale de la courbe représentative est un et sa valeur minimale est moins un. Cela signifie que les valeurs de sin 𝑥 sont comprises entre ces deux valeurs. Et que l’ensemble image de cette fonction est l’intervalle fermé de moins un à un. Il en va de même pour la fonction cosinus. Son ensemble de définition est également l’ensemble des nombres réels et son ensemble image est l’intervalle fermé moins un, un.
Nous pouvons résumer cela comme suit. L’ensemble de définition des fonctions sinus et cosinus est l’ensemble des nombres réels, noté comme ceci. Remarquez que ces fonctions sont souvent désignées par sin 𝜃 et cos 𝜃, où la fonction est alors 𝑓 de 𝜃. L’ensemble image des fonctions sinus et cosinus est l’intervalle fermé moins un, un. Voyons maintenant comment trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction périodique quelconque à partir de sa courbe représentative.
La courbe ci-dessous représente la fonction 𝑓 de 𝜃. Supposez que la fonction a une période de deux 𝜋. Quel est l’ensemble de définition de 𝑓 ? Quel est l’ensemble image de 𝑓 ?
Nous savons que toutes les caractéristiques d’une fonction périodique sont contenues sur un intervalle de longueur égale à sa période. Et cette question indique que la période est égale à deux 𝜋. Nous n’avons donc besoin de considérer la courbe représentative qu’entre zéro et deux 𝜋. L’ensemble de définition de toute fonction est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable. Et on peut voir sur la courbe représentative que la fonction est définie pour toutes les valeurs de 𝜃. Nous pouvons donc conclure que l’ensemble de définition de 𝑓 est l’ensemble de tous les nombres réels, noté comme l’intervalle ouvert moins l’infini, plus l’infini
L’ensemble image de toute fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de la fonction. Sur la courbe représentative, on peut voir que la fonction est continue et qu’elle oscille entre moins sept et trois. La valeur maximale de la courbe est trois et sa valeur minimale est moins sept. Nous pouvons donc conclure que l’ensemble image de 𝑓 est l’intervalle fermé moins sept, trois. Les réponses à cette question sont donc l’intervalle ouvert moins l’infini, plus l’infini et l’intervalle fermé moins sept, trois.
Nous allons maintenant voir comment les transformations géométriques des fonctions trigonométriques affectent leur ensemble de définition et leur ensemble image. On rappelle que la fonction sinus a les ensemble de définition et ensemble image suivants. Toute transformation de cette fonction ne modifiera pas son ensemble de définition. Certaines transformations affectent cependant l’ensemble image de la fonction.
Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑎 sin 𝑥 plus 𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes réelles. Multiplier une fonction par une constante positive 𝑎 entraîne une dilatation, ou un étirement, vertical(e) de facteur d’échelle 𝑎. L’ensemble image de la fonction passe alors de l’intervalle fermé moins un, un à l’intervalle fermé moins 𝑎, 𝑎. Et multiplier la fonction par une constante négative entraîne une symétrie par rapport à l’axe des abscisses ainsi qu’une dilatation de facteur d’échelle valeur absolue de 𝑎. Cela signifie que l’ensemble image de la fonction 𝑎 sin 𝑥 est égal à l’intervalle fermé moins valeur absolue de 𝑎, plus valeur absolue de 𝑎.
Nous savons ensuite qu’ajouter 𝑏 à une fonction entraîne une translation verticale vers le haut si 𝑏 est supérieur à zéro et vers le bas si 𝑏 est inférieur à zéro. Nous pouvons donc conclure que l’ensemble image de la fonction 𝑎 sin 𝑥 plus 𝑏 est l’intervalle fermé moins valeur absolue de 𝑎 plus 𝑏, plus valeur absolue de 𝑎 plus 𝑏. Voyons maintenant comment cela fonctionne en pratique.
Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale quatre cosinus de sept 𝑥 plus 𝜋 plus cinq. Quel est l’ensemble de définition de 𝑓 ? Quelle est l’ensemble image de 𝑓 ?
Commençons par rappeler que l’ensemble de définition de toute fonction est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable et que l’ensemble de définition de cos 𝜃 est l’ensemble des nombres réels. Dans cette question, l’expression sept 𝑥 plus 𝜋 est à l’intérieur de la fonction cosinus. Comme cette expression est définie pour tout nombre réel, l’ensemble de définition de 𝑓 est également l’ensemble de tous les nombres réels, qui peut être noté comme l’intervalle ouvert moins l’infini, plus l’infini. Nous savons que l’ensemble image est l’ensemble des valeurs de la fonction. L’expression sept 𝑥 plus 𝜋 peut prendre n’importe quelle valeur réelle. Nous allons donc la définir égale à 𝜃 pour obtenir quatre cos 𝜃 plus cinq.
Nous savons que cos 𝜃 a pour ensemble image l’intervalle fermé moins un, un. Nous devons donc étudier comment les transformations de cette fonction en quatre cos 𝜃 plus cinq affectent l’ensemble image. On multiplie tout d’abord la fonction par quatre, ce qui entraîne une dilatation de l’ensemble image par le facteur quatre. Cela nous donne l’intervalle fermé moins quatre, quatre. Ajouter cinq à cette expression translate la fonction de cinq unités vers le haut. Moins quatre plus cinq égale un et quatre plus cinq égale neuf. Cela signifie que l’ensemble image de 𝑓 est l’intervalle fermé un, neuf.
Nous aurions pu répondre à la deuxième question de manière algébrique en utilisant nos connaissances des inégalités. On sait que cos 𝜃 est supérieur ou égal à moins un et inférieur ou égal à un. En multipliant par quatre, on a quatre cos 𝜃 supérieur ou égal à moins quatre et inférieur ou égal à quatre. Et en ajoutant cinq de chaque côté de l’inégalité, on obtient quatre cos 𝜃 plus cinq supérieur ou égal à un et inférieur ou égal à neuf. Cela correspond à l’intervalle fermé un, neuf. L’ensemble de définition de la fonction quatre cos de sept 𝑥 plus 𝜋 plus cinq est l’intervalle ouvert moins l’infini, plus l’infini et son ensemble image est l’intervalle fermé un, neuf.
Avant de passer à un dernier exemple, étudions l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction tangente. Contrairement aux fonctions sinus et cosinus, la fonction tangente a des restrictions sur son ensemble de définition. En observant la courbe représentative de tangente 𝜃 sur l’intervalle moins 360 degrés, 360 degrés (ou moins deux π radians, deux 𝜋 radians), on remarque que la fonction n’est pas définie en 90 degrés, 270 degrés, moins 90 degrés et moins 270 degrés. Puisque la fonction tangente est périodique, ce comportement se répète indéfiniment tous les 180 degrés. Nous pouvons donc conclure que 𝑓 n’est pas définie et que sa courbe représentative présente une asymptote aux valeurs de 𝑥 égales à 90 degrés plus 180 degrés fois 𝑛, où 𝑛 est un entier.
L’ensemble de définition de tangente 𝑥 est donc celui-ci. Ce sont tous des nombres réels à l’exception des 𝑥 égaux à 90 degrés plus 180 degrés fois 𝑛. On peut aussi l’exprimer en radians par 𝑥 égale 𝜋 sur deux plus 𝜋𝑛. Où 𝑛 est toujours un entier. L’ensemble image de la fonction tangente est l’ensemble des nombres réels, qui peut être noté comme l’intervalle ouvert moins l’infini, plus l’infini. Dans notre dernier exemple, nous allons identifier les valeurs pour lesquelles une fonction tangente n’est pas définie.
Déterminez les valeurs de 𝜃 en radians pour lesquelles la fonction 𝑓 de 𝜃 égale tan de trois 𝜃 n’est pas définie.
Commençons par rappeler que l’ensemble de définition de la fonction tangente en radians exclut les valeurs de la forme 𝜃 égale 𝜋 sur deux plus 𝑛𝜋, où 𝑛 est un entier. Dans cette question, nous étudions la fonction 𝑓 de 𝜃 égale tangente de trois 𝜃, et nous souhaitons trouver les valeurs pour lesquelles cela n’est pas défini. On peut donc définir trois 𝜃 égal à 𝜋 sur deux plus 𝑛𝜋, où 𝑛 est un entier. En divisant les deux membres de cette équation par trois, on a 𝜃 égale 𝜋 sur six plus 𝑛𝜋 sur trois. Et cela est bien sûr valable pour tout entier 𝑛. Tangente de trois 𝜃 n’est donc pas définie pour toutes les valeurs de 𝜃 égales à 𝜋 sur six plus 𝑛𝜋 sur trois où 𝑛 est un entier.
Nous allons maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. L’ensemble de définition des fonctions sinus et cosinus est l’ensemble des nombres réels. Et l’ensemble image de ces fonctions est l’intervalle fermé moins un, un. Pour toutes constantes 𝑎 et 𝑏, l’ensemble image des fonctions 𝑎 sin 𝜃 plus 𝑏 et 𝑎 cos 𝜃 plus 𝑏 est l’intervalle fermé moins valeur absolue de 𝑎 plus 𝑏, valeur absolue de 𝑎 plus 𝑏. L’ensemble de définition de tan 𝜃 en radians est l’ensemble des nombres réels à l’exception des 𝜃 égaux à 𝜋 sur deux plus 𝑛𝜋, avec 𝑛 entier. On peut également l’exprimer en degrés, avec 𝜋 sur deux égale 90 degrés et 𝜋 égale 180 degrés. Enfin, l’ensemble image de la fonction tangente est l’ensemble des nombres réels.
