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Fiche explicative de la leçon : Ensemble de définition et ensemble image des fonctions trigonométriques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction trigonométrique.

Commençons par rappeler les définitions de l’ensemble de définition et de l’ensemble image d’une fonction.

Théorème : Ensemble de définition et ensemble image d’une fonction

L’ensemble de définition ou domaine de définition d’une fonction 𝑓(𝑥) est l’ensemble des valeurs possibles de 𝑥 pour lesquelles la fonction 𝑓(𝑥) est définie.

L’ensemble image d’une fonction 𝑓(𝑥) est l’ensemble des valeurs possibles que la fonction 𝑓(𝑥) peut prendre, lorsque 𝑥 est un nombre quelconque appartenant au domaine de définition de la fonction.

En particulier, on peut déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de sa courbe représentative. Si on a la représentation graphique d’une fonction, son domaine de définition est la partie de l’axe des abscisses dans laquelle la courbe existe, et son ensemble image est la partie de l’axe vertical dans laquelle la courbe existe.

L’une des caractéristiques importantes de la représentation graphique d’une fonction trigonométrique est que l’allure de la courbe se répète indéfiniment. Lorsque le comportement de la fonction 𝑓(𝑥) se répète sur un intervalle de longueur 𝐿, alors on dit que 𝑓(𝑥) est une fonction périodique avec une période 𝐿. En d’autres termes, une fonction périodique avec une période 𝐿 doit satisfaire 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝐿), pour tout 𝑥 dans le domaine de définition.

Pour étudier le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction périodique, on doit d’abord comprendre le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction dans un intervalle de longueur 𝐿, par exemple [0;𝐿]. On peut choisir n’importe quel intervalle de longueur 𝐿, mais ce sera pratique dans la plupart des cas de considérer l’intervalle [0;𝐿]. Étant donné que la fonction est périodique avec une période 𝐿, la fonction aura le même comportement en dehors de cet intervalle. Par conséquent, l’ensemble image de la fonction périodique sera la même que son ensemble image sur [0;𝐿]. En outre, si la fonction est définie pour toutes les valeurs de [0;𝐿], la fonction sera également définie pour toutes les valeurs en dehors de cet intervalle en raison de sa périodicité. Dans ce cas, le domaine de définition de la fonction périodique est l’ensemble des nombres réels, noté ou ];+[.

Dans notre premier exemple, nous allons déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction périodique à partir de sa représentation graphique.

Exemple 1: Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de sa représentation graphique

On considère la représentation graphique de 𝑓(𝜃) ci-dessous.

  1. Quel est le domaine de définition de 𝑓(𝜃)?
  2. Quel est l’ensemble image de 𝑓(𝜃)?

Réponse

Avant de répondre aux questions sur le domaine de définition et l’ensemble image de 𝑓(𝜃), on note que la courbe représentative de la fonction se répète indéfiniment. Cela signifie que la fonction 𝑓(𝜃) est périodique. On peut voir que la fonction a un minimum local à 𝜃=0 et revient au même endroit en 𝜃=2𝜋. À partir de là, la fonction reprend les mêmes valeurs. Cela signifie que la période de cette fonction est 2𝜋.

Partie 1

Dans cette partie, on veut déterminer le domaine de définition d’une fonction périodique à partir de sa courbe représentative. On a noté que la période de 𝑓(𝜃) est 2𝜋. Rappel:si une fonction périodique est définie dans un ensemble image dont la longueur est égale à l'ensemble image, la fonction est définie pour l’ensemble des nombres réels. Sur le graphique donné, on peut voir que la fonction 𝑓(𝜃) est définie pour toutes les valeurs comprises dans l’intervalle [0;2𝜋], dont la longueur est égale à la période 2𝜋.

Par conséquent, le domaine de définition de 𝑓(𝜃) est l’ensemble des nombres réels, ou ];+[.

Partie 2

Dans cette partie, on veut déterminer l’ensemble image d’une fonction périodique à partir de sa courbe représentative. On a noté que la période de 𝑓(𝜃) est 2𝜋. Rappelons que si l'ensemble de définition d'une fonction périodique est le même que celui de la fonction sur un ensemble image dont la longueur est égale à la période, la fonction est définie pour tous les nombres réels. D'après le graphique donné, on peut voir que la valeur minimale de la fonction 𝑓(𝜃) sur l'intervalle [0;2𝜋] est 4, et sa valeur maximale sur cet intervalle est 6. Puisque 𝑓(𝜃) prend toutes les valeurs comprises entre son maximum et son minimum, l'ensemble image de 𝑓(𝜃) sur cet intervalle est [4;6].

Par conséquent, l’ensemble image de 𝑓(𝜃) est [4;6].

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction périodique à partir d’une représentation graphique. On peut utiliser la même méthodologie pour déterminer le domaine de définition et l’ensemble image des fonctions sinus et cosinus. Rappelons que 2𝜋radians est équivalent à un tour complet sur le cercle unité. Cela signifie que les valeurs des rapports trigonométriques, sinus et cosinus, sur le cercle unité resteraient les mêmes si on ajoute 2𝜋radians à n’importe quel angle. Cela signifie que, pour tout angle 𝜃radians , sinsincoscos𝜃=(𝜃+2𝜋),𝜃=(𝜃+2𝜋).

Cela indique que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques avec une période 2𝜋radians. Par conséquent, il est possible de déterminer le domaine de définition et l’ensemble image des fonctions sinus et cosinus en considérant les représentations graphiques de ces fonctions sur un intervalle de longueur 2𝜋. Considérons les courbes représentatives de sin𝜃 et cos𝜃.

Les deux courbes ci-dessus sont sur l’intervalle [3𝜋;3𝜋], mais on a juste besoin de la courbe sur un intervalle de longueur 2𝜋. On peut donc considérer cette courbe sur l’intervalle [0;2𝜋] pour déterminer le domaine et l’ensemble image de ces fonctions. Étant donné que les deux fonctions sont définies partout dans l’intervalle [0;2𝜋], on sait que les domaines de définition des fonctions sinus et cosinus sont l’ensemble des nombres réels.

On peut aussi noter que la valeur minimale des deux fonctions sur l’intervalle [0;2𝜋] est 1, et la valeur maximale est 1. Étant donné que les deux fonctions prennent toutes les valeurs entre le maximum et le minimum, l’ensemble image des fonctions sinus et cosinus sur cet intervalle, et par conséquent sur leurs domaines de définition, est [1;1].

Nous résumons ces résultats comme suit.

Définition : Domaine de définition et ensemble image des fonctions sinus et cosinus

Le domaine des fonctions sin𝜃 et cos𝜃 est l’ensemble des nombres réels, noté soit ];+[ ou .

L’ensemble image des fonctions sin𝜃 et cos𝜃 est [1;1].

Ci-dessus, nous avons déterminé le domaine de définition et l’ensemble image de sin𝜃 et cos𝜃 en utilisant les courbes représentatives et la périodicité de ces fonctions trigonométriques. Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la même méthode pour déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction périodique.

Exemple 2: Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction périodique à partir de sa courbe représentative

Le graphique suivant représente la fonction 𝑓(𝜃). Supposons que la fonction a une période 2𝜋.

  1. Quel est le domaine de définition de 𝑓(𝜃)?
  2. Quel est l’ensemble image de 𝑓(𝜃)?

Réponse

On sait que toutes les caractéristiques d’une fonction périodique sont contenues dans la restriction de sa courbe représentative sur un intervalle dont la longueur est égale à la période. Cette fonction a une période 2𝜋;par conséquent, il faut juste considérer sa courbe représentative sur l’intervalle de longueur 2𝜋. Dans cet exemple, la fonction 𝑓(𝜃) est représentée graphiquement sur un intervalle dont la longueur est supérieure à 2𝜋, donc cela devrait fournir suffisamment d’informations pour déterminer le domaine de définition et l’ensemble image de 𝑓(𝜃).

Partie 1

Le domaine de définition d’une fonction est un ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles. Sur le graphique donné, on peut voir que la fonction est bien définie pour toute valeur de 𝜃. Ainsi, le domaine de définition de 𝑓(𝜃) est l’ensemble des nombres réels, ou ];+[.

Partie 2

L’ensemble image d’une fonction est un ensemble de toutes les valeurs possibles de la fonction. À partir du graphique donné, on observe que cette fonction oscille entre 7 et 3, en prenant toutes les valeurs entre les deux. La courbe ne passe jamais en dessous de 7 ni au-dessus de 3. Par conséquent, l’ensemble image de 𝑓(𝜃) est [7;3]

Lorsqu’on a les expressions algébriques des fonctions trigonométriques, on peut utiliser des transformations fonctionnelles pour déterminer l’ensemble image d’une fonction en représentant graphiquement les fonctions 𝑎𝜃+𝑏sin ou 𝑎𝜃+𝑏cos pour certaines constantes 𝑎 et 𝑏. Considérons seulement l’ensemble image des fonctions du type 𝑎𝜃+𝑏sin, car l’ensemble image de cette dernière sera identique.

On commence par la fonction sin𝑥 qui a pour ensemble image [1;1]. Lorsqu’on multiplie une fonction par une constante positive 𝑎 on obtient une dilatation verticale (étirage ou contraction) par le facteur d’échelle 𝑎, ce qui modifie l’ensemble image de la fonction de [1;1] à [𝑎;𝑎]. Lorsqu’on multiplie une fonction par une constante négative, on obtient une réflexion sur l’axe des 𝑥 suivie d’une dilatation par le facteur d’échelle |𝑎|. Dans ce cas, la réflexion sur l’axe des 𝑥 ne change pas l’ensemble image de cette fonction car elle est symétrique par rapport à l’axe des 𝑥. Ainsi, la dilatation verticale par le facteur |𝑎| fait en sorte que l’ensemble image de la fonction 𝑎𝑥sin devienne [|𝑎|;|𝑎|]. On note que cette expression pour l’ensemble image est vraie dans le cas où 𝑎>0 ou 𝑎<0.

Ensuite, on sait que lorsqu’on ajoute 𝑏 à la fonction le résultat est un décalage vertical (vers le haut si 𝑏>0 et vers le bas si 𝑏<0 ) de 𝑏 unités. Sachant que l’ensemble image de 𝑎𝑥sin est [|𝑎|;|𝑎|], un décalage vertical de 𝑏 unités changerait cet ensemble image à [|𝑎|+𝑏;|𝑎|+𝑏].

Par exemple, considérons l’ensemble image de 2𝑥+1sin en utilisant le diagramme suivant.

Sur le graphique, la courbe bleue représente la fonction sin𝑥 qui a pour ensemble image [1;1]. Lorsqu’on multiplie sin𝑥 par 2 l’ensemble image change de [1;1] à [2;2]. Les flèches bidirectionnelles bleues sur le graphique indiquent que la courbe initiale est étirée verticalement d’un facteur de 2 pour obtenir la courbe de 2𝑥sin , ce qui génère la courbe pointillée. Comme nous l’avons noté plus tôt, on peut voir que l’ensemble image de 2𝑥sin est [2;2]. Si on ajoute 1 à 2𝑥sin l’ensemble image décale vers le haut de 1, ce qui mène au nouvel ensemble image [1;3]. Les flèches rouges verticales indiquent que la courbe de 2𝑥sin est déplacée vers le haut pour obtenir la courbe de 2𝑥+1sin. On peut noter que l’ensemble image de cette courbe rouge est [1;3], comme prévu.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’ensemble image d’une fonction sinus à partir de son expression algébrique.

Exemple 3: Déterminer l’ensemble image d’une fonction sinus

Déterminez l’ensemble image de la fonction 𝑓(𝜃)=87𝜃sin.

Réponse

Rappel:la fonction sinus, sin𝜃, est périodique et sa courbe oscille entre 1 et 1. Cela nous indique que l’ensemble image de sin𝜃 est [1;1]. On peut utiliser cette information pour déterminer l’ensemble image de la fonction donnée.

L’ensemble image est l’ensemble des valeurs possibles d’une fonction, donc on recherche toutes les valeurs possibles de l’expression 87𝜃,𝜃.sinoùestunnombreréel.

Sachant que 𝜃 peut prendre n’importe quelle valeur, multiplier 𝜃 par 7 ne change pas l’ensemble des valeurs qui peuvent résulter de cette expression. Sachant que sin𝜃 peut prendre n’importe quelle valeur [1;1], on sait que sin7𝜃 possède également le même ensemble image.

Si on multiplie l’expression sin7𝜃par 8, la courbe de la fonction s’étend à la verticale par un facteur de 8. Cette transformation change l’ensemble image de [1;1] à [8;8].

Par conséquent, l’ensemble image de 𝑓(𝜃)=87𝜃sin est [8;8].

Dans le prochain exemple, nous allons déterminer le domaine de définition et l’ensemble image d’une fonction cosinus en utilisant la même méthode.

Exemple 4: Déterminer le domaine de définition et l’ensemble image des fonctions trigonométriques

Considérons la fonction 𝑓(𝑥)=4(7𝑥+𝜋)+5cos.

  1. Quel est le domaine de définition de 𝑓(𝑥)?
  2. Quel est l’ensemble image de 𝑓(𝑥)?

Réponse

Partie 1

Déterminons le domaine de définition de 𝑓(𝑥). Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée possibles. On sait que le domaine de définition de la fonction cos𝜃 est l’ensemble des nombres réels. Cela nous indique qu’il n’y a aucune restriction pour les valeurs d’entrée du cosinus. Dans la fonction 𝑓(𝑥), l’expression 7𝑥+𝜋 est à l’intérieur de la fonction cosinus. Comme cette fonction est bien définie pour tout nombre réel, le domaine de définition de 𝑓(𝑥) est l’ensemble des nombres réels, ou ];+[.

Partie 2

Considérons l’ensemble image de 𝑓(𝑥). L’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs possibles d’une fonction, on doit donc déterminer l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour l’expression 4(7𝑥+𝜋)+5,𝑥.cospourtoutnombreréel.

On sait que l’ensemble image de 7𝑥+𝜋 est l’ensemble des nombres réels, et donc cette expression peut prendre n’importe quelle valeur. Si 𝜃=7𝑥+𝜋, on doit trouver l’ensemble des valeurs possibles de l’expression 4𝜃+5,𝜃.cospourtoutnombreréel

Pensons aux transformations des fonctions pour obtenir l’ensemble image de cette expression. On sait que cos𝜃 a pour ensemble image [1;1]. Lorsqu’on multiplie la fonction par 4, on étire cette ensemble image verticalement par un facteur de 4, ce qui produit l’ensemble image [4;4]. Si on ajoute 5 à cette expression, la fonction décale de 5, ce qui donne l’ensemble image [1;9].

Alternativement, on peut trouver cela algébriquement en effectuant les calculs suivants:1𝜃144𝜃414𝜃+59.coscoscos

Cela conduit également à l’ensemble image [1;9].

L’ensemble image de 𝑓(𝑥) est [1;9].

Dans le prochain exemple, nous allons identifier une constante inconnue dans une fonction trigonométrique lorsqu’on a l’ensemble image de la fonction.

Exemple 5: Déterminer l’ensemble image d’une fonction trigonométrique à partir de son expression

L’ensemble image de la fonction 𝑓(𝜃)=𝑎3𝜃cos est 54;54. Déterminez la valeur de 𝑎𝑎>0.

Réponse

Rappel:l’ensemble image de cos𝜃 est [1;1] et le domaine de définition de cos𝜃 est l’ensemble des nombres réels. Sachant que 3𝜃 et 𝜃 ont le même ensemble image, cos3𝜃 a le même ensemble image que cos𝜃. Cela nous indique que l’ensemble des valeurs possibles, c’est-à-dire l’ensemble image de cos3𝜃 est [1;1].

Multiplier une fonction par une constante positive 𝑎 produit une dilatation verticale par le facteur 𝑎. Étant donné que l’ensemble image de cos3𝜃 est [1;1], appliquer une dilatation verticale à cet ensemble image fait en sorte que l’ensemble image de 𝑎3𝜃cos devienne [𝑎;𝑎].

Nous avons démontré que l’ensemble image de 𝑓(𝜃)=𝑎3𝜃cos est [𝑎;𝑎]. On sait que l’ensemble image de cette fonction est 54;54. Cela conduit à 𝑎=54.

Jusqu’ici, nous avons considéré des exemples portant sur le domaine de définition et l’ensemble image des fonctions sinus et cosinus. Considérons à présent la fonction tangente. Rappel:la fonction tangente est définie comme le rapport des fonctions sinus et cosinus tansincos𝜃=𝜃𝜃.

Cela signifie que la fonction tangente aura des restrictions de domaine lorsque la fonction cosinus est égale à 0. Considérons la représentation graphique de tan𝜃 sur l’intervalle de [3𝜋;3𝜋]radians.

Sur le graphique, on peut voir que la fonction tangente se répète 𝜋radians. Ainsi, la période de la fonction tangente est 𝜋radians, qui est différente de la période des fonctions sinus et cosinus. Cela signifie qu’on peut trouver le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction tangente en examinant sa courbe sur l’intervalle [0;𝜋]. Sur cet intervalle, on voit que la fonction tangente n’est pas définie à 𝜃=𝜋2. Étant donné que cette fonction a une période 𝜋, cela signifie que la fonction tangente n’est pas définie à chaque 𝜋 à partir du point 𝜋2, comme on peut le voir sur le graphique. En d’autres termes, la fonction tan𝜃 est indéfinie lorsque 𝜃=𝜋2+𝑛𝜋,𝑛.

Pour déterminer l’ensemble image de tan𝜃, on peut aussi considérer sa courbe représentative sur l’intervalle [0;𝜋]. On peut voir que la courbe de la fonction sur cet intervalle monte vers l’infini positif et descend vers l’infini négatif. Cela signifie que l’ensemble image de tan𝜃 est l’ensemble des nombres réels.

Nous résumons ces résultats comme suit.

Définition : Domaine de définition et ensemble image de la fonction tangente

Le domaine de définition de tan𝜃, en radians, est l’ensemble des nombres réels, sauf 𝜃=𝜋2+𝑛𝜋,𝑛.

Le domaine de de définition tan𝜃, en degrés, est l’ensemble des nombres réels, sauf 𝜃=90+180𝑛,𝑛.

L’ensemble image de tan𝜃 est l’ensemble des nombres réels, noté soit ];+[ ou .

Dans notre dernier exemple, nous allons identifier les valeurs d’entrée où une fonction tangente est indéfinie.

Exemple 6: Déterminer les valeurs où la tangente est indéfinie

Déterminez les valeurs de 𝜃 en radians de sorte que la fonction 𝑓(𝜃)=(3𝜃)tan est indéfinie.

Réponse

Rappel:le domaine de définition de la fonction tangente tan𝜃, en radians, exclut les valeurs de la forme 𝜃=𝜋2+𝑛𝜋,𝑛.

La fonction donnée 𝑓(𝜃)=(3𝜃)tan contient la fonction tangente, on doit donc trouver les valeurs de 𝜃 de sorte que cette fonction n’est pas définie lorsque l’entrée 3𝜃 de la tangente donne une de ces valeurs. En d’autres termes, la fonction 𝑓(𝜃) n’est pas définie lorsque 3𝜃=𝜋2+𝑛𝜋,𝑛.

En divisant les deux côtés de l’équation ci-dessus par 3, la fonction 𝑓(𝜃)=(3𝜃)tan est indéfinie lorsque 𝜃 est égal à 𝜋6+𝑛𝜋3,𝑛.

Terminons en recapitulant quelques points importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • Si une fonction 𝑓(𝑥) est périodique avec une période 𝐿, alors il est possible de déterminer le domaine de définition et l’ensemble image de celle-ci en considérant sa représentation graphique sur l’intervalle [0;𝐿].
  • Le domaine de définition des fonctions sin𝜃 et cos𝜃 est l’ensemble des nombres réels, noté soit ];+[ ou .
    L’ensemble image des fonctions sin𝜃 et cos𝜃 est [1;1].
  • Pour toutes les constantes 𝑎 et 𝑏, l’ensemble image de la fonction 𝑎𝑥+𝑏sin ou 𝑎𝑥+𝑏cos est [|𝑎|+𝑏;|𝑎|+𝑏].
  • Le domaine de définition de tan𝜃, en radians, est l’ensemble des nombres réels, sauf 𝜃=𝜋2+𝑛𝜋,𝑛. Le domaine de définition de tan𝜃, en degrés, est l’ensemble des nombres réels, sauf 𝜃=90+180𝑛,𝑛. L’ensemble image de tan𝜃 est l’ensemble des nombres réels, noté soit ];+[ ou .

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