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Déterminez la matrice inverse de 𝐴, lorsqu’elle existe.
Rappelez-vous, pour une matrice 𝐴 deux fois deux égale à 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son inverse est un sur le déterminant de 𝐴 multiplié par 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎, où le déterminant peut être trouvé en multipliant l’élément en haut à gauche par celui en bas à droite et en soustrayant le produit de l’élément en haut à droite par celui en bas à gauche.
Notez que cela signifie que si le déterminant de la matrice est zéro, alors il ne peut y avoir d’inverse, car un sur le déterminant de 𝐴 serait un sur zéro que nous savons indéfini. Commençons alors par calculer le déterminant de notre matrice 𝐴 et vérifions qu’il existe bien un inverse.
Nous commençons par trouver le produit de l’élément en haut à gauche et en bas à droite. C’est moins quatre multiplié par cinq.
Nous soustrayons ensuite le produit de l’élément en haut à droite par le bas à gauche. C’est moins 10 multiplié par trois. Et cela nous donne moins 20 moins moins 30, soit 10. Le déterminant de cette matrice est 10. Comme ce n’est pas zéro, nous savons que l’inverse de la matrice 𝐴 existe bien.
Remplaçons ce que nous savons de notre matrice dans la formule de l’inverse. Nous en avons un sur le déterminant, qui est un sur 10. Et puis, nous multiplions cela par cette nouvelle matrice.
Dans la nouvelle matrice, nous échangeons l’élément en haut à gauche avec le bas à droite. Moins quatre devient cinq et cinq devient moins quatre. Nous changeons ensuite les signes pour les éléments en haut à droite et en bas à gauche. Donc, cela devient 10 et moins trois. Donc, notre inverse est un dixième de cinq, 10, moins trois et moins quatre.
Enfin, nous devrions multiplier chaque élément de cette matrice par un dixième. Et ce faisant, nous obtenons un demi, un, moins trois dixièmes et moins deux cinquièmes.
Nous avons montré qu’il existe bien une matrice inverse de cette matrice 𝐴. Et c’est un demi, un, moins trois dixièmes et moins deux cinquièmes.
