Vidéo de la leçon: Inverse d’une matrice 2 × 2 | Nagwa Vidéo de la leçon: Inverse d’une matrice 2 × 2 | Nagwa

Vidéo de la leçon: Inverse d’une matrice 2 × 2 Mathématiques • Première secondaire

Dans cette leçon, nous allons apprendre à vérifier si une matrice 2 x 2 admet une inverse puis à trouver son inverse, si possible.

15:43

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à vérifier si une matrice deux par deux a une inverse, puis à déterminer son inverse si possible. Pour les matrices, la division n’existe pas. Nous pouvons les additionner, les soustraire et les multiplier, mais nous ne pouvons pas diviser les matrices. Il existe cependant un concept connexe appelé inversion. Et c’est extrêmement utile pour nous aider à déterminer l’inverse d’une matrice et à résoudre des équations matricielles. On dit qu’une matrice 𝑛 par 𝑛, c’est-à-dire une matrice carrée, est inversible s’il existe une seconde matrice 𝑛 par 𝑛 carrée telle que le produit de la matrice et son inverse est 𝐼, la matrice identité. Dans le cas deux par deux, c’est la matrice un, zéro, zéro, un.

Maintenant, rappelez-vous, la multiplication des matrices n’est pas commutative. Cela ne peut être fait dans n’importe quel ordre. Cependant, lors de la multiplication d’une matrice par son inverse dans n’importe quel ordre, nous obtiendrons toujours la matrice identité. Notez cependant que toutes les matrices n’ont pas nécessairement d’inverse. Nous allons examiner le processus pour déterminer l’inverse d’une matrice deux par deux et voir quels critères nos matrices doivent respecter pour s’assurer qu’elles admettent bien une inverse. On dit que pour une matrice deux par deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son inverse est calculée en multipliant un sur le déterminant de 𝐴 par la matrice deux par deux 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎. Où le déterminant de 𝐴 est le produit des éléments supérieur gauche et inférieur droit moins le produit des éléments supérieur droit et inférieur gauche.

Notez également que pour passer de la matrice deux par deux 𝐴 à la matrice deux par deux l’inverse de 𝐴, nous échangeons ces éléments et nous changeons le signe de ceux-ci. Alors, que signifie cette dernière partie de la formule pour déterminer l’inverse d’une matrice 𝐴 ? Eh bien, nous savons que la division par zéro n’est pas définie. On dit alors que si le déterminant de la matrice est nul, elle n’est pas inversible ; elle n’a pas d’inverse. Il convient également de noter que seules les matrices carrées sont inversibles. Voyons donc quelques exemples.

La matrice trois, un, moins trois, moins un est-elle inversible ?

Rappelez-vous, pour une matrice deux par deux 𝐴 donnée par 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, l’inverse de 𝐴 est un sur le déterminant de 𝐴 fois 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎, où le déterminant de 𝐴 est égal à 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous disons que le déterminant de la matrice n’existe pas. En d’autres termes, 𝐴 n’est pas inversible si son déterminant est égal à zéro. Donc, tout ce que nous devons faire pour déterminer si une matrice est inversible est d’évaluer son déterminant et de voir s’il est égal à zéro. Alors, trouvons le déterminant de la matrice trois, un, moins trois, moins un. Et nous utilisons ces barres de chaque côté de la matrice pour représenter son déterminant.

Le déterminant est calculé en soustrayant le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche du produit en haut à gauche et en bas à droite. Donc ici, 𝑎 fois 𝑑 est trois fois moins un. On soustrait ensuite 𝑏 fois 𝑐. C’est un fois moins trois. Et donc, notre déterminant est égal à trois multiplié par moins un moins un multiplié par moins trois. C’est moins trois moins moins trois, ce qui est moins trois plus trois, ce qui est égal à zéro. Ainsi, le déterminant de notre matrice trois, un, moins trois, moins un est zéro. On peut donc dire que la matrice n’a pas d’inverse. Et par conséquent, la réponse à cette question est non, elle n’est pas inversible.

Dans notre exemple suivant, nous étendrons cette idée sur les critères d’inversion de la matrice.

Étant donné que la matrice sept, un, moins sept, 𝑎 est inversible, qu’est-ce qui doit être vrai à propos de 𝑎 ?

Rappelez-vous, pour qu’une matrice carrée 𝐴 égale à 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 soit inversible, son déterminant ne doit pas être égal à zéro. Maintenant, pour cette matrice, son déterminant est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Alors, trouvons une expression pour le déterminant de notre matrice. C’est le produit des éléments en haut à gauche et en bas à droite, c’est sept fois 𝑎 ou sept 𝑎, moins le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche. C’est un multiplié par moins sept. Ainsi, le déterminant de notre matrice est sept 𝑎 moins moins sept, que nous pouvons écrire sous la forme sept 𝑎 plus sept.

On nous dit que notre matrice est inversible, donc son déterminant ne peut pas être égal à zéro. En d’autres termes, sept 𝑎 plus sept ne peut être égal à zéro. Nous devons déterminer les valeurs de 𝑎 telles que cette expression n’est pas égale à zéro. Donc, nous allons résoudre l’inéquation. Nous allons la résoudre comme pour une équation normale. Mais au lieu que notre réponse soit 𝑎 est égal à une constante, nous savons que 𝑎 ne sera pas égal au résultat.

Commençons par soustraire sept des deux côtés. Lorsque nous le faisons, nous constatons que sept 𝑎 ne sera pas égal à moins sept. Ensuite, nous divisons par sept et nous constatons que 𝑎 ne peut pas être égal à moins un. Donc, si 𝑎 est égal à moins un, la matrice n’a pas d’inverse. Donc, pour qu’elle soit inversible, 𝑎 ne peut pas être égal à moins un.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment établir si deux matrices sont des inverses multiplicatives l’une de l’autre.

Les matrices un, deux, trois, quatre et un, un demi, un tiers et un quart sont-elles inverses multiplicatives l’une de l’autre ?

Rappelons-nous ce que nous entendons par l’expression inverses multiplicatives. On dit qu’une matrice 𝑛 par 𝑛, c’est-à-dire une matrice carrée, est inversible s’il existe une deuxième matrice 𝑛 par 𝑛 telle que le produit de la matrice et son inverse dans n’importe quel ordre est 𝐼, où 𝐼 est la matrice identité. Dans le cas de la matrice identité deux par deux, c’est un, zéro, zéro, un. Nous pourrions donc répondre à cette question de deux manières. Nous pourrions déterminer l’inverse de chaque matrice et vérifier si elle correspond à l’originale de l’autre matrice. Alternativement, nous pourrions déterminer le produit des matrices et voir si nous obtenons la matrice identité. Regardons cette dernière méthode.

Nous allons multiplier un, deux, trois, quatre par un, un demi, un tiers, un quart. Et nous nous rappelons que pour ce faire, nous commençons par déterminer le produit scalaire des éléments de la première ligne dans la première matrice par les éléments de la première colonne dans la seconde matrice. Donc, c’est le produit scalaire de un, deux et un, un tiers. C’est un multiplié par un plus deux multiplié par un tiers. Ça fait cinq tiers. Ensuite, nous trouvons le produit scalaire des éléments de la première ligne dans notre première matrice et de la seconde colonne dans notre seconde matrice. Donc, c’est un multiplié par un demi plus deux multiplié par un quart, ce qui fait un.

Maintenant, nous trouvons le produit scalaire des éléments de la seconde ligne dans notre première matrice et la première colonne dans notre seconde matrice. C’est trois fois un plus quatre fois un tiers, soit 13 sur trois. Enfin, le produit scalaire de trois, quatre et un demi, un quart. C’est trois fois un demi plus quatre fois un tiers, soit cinq sur deux. Et donc, nous voyons que lorsque nous multiplions la matrice un, deux, trois, quatre par la matrice un, un demi, un tiers, un quart, nous obtenons une matrice deux par deux de cinq tiers, un, treize troisièmes et cinq sur deux. Ce n’est clairement pas égal à la matrice identité un, zéro, zéro, un. Et donc, nous pouvons dire non, les deux matrices ne sont pas inverses multiplicatives l’une de l’autre.

Nous allons maintenant calculer l’inverse multiplicative d’une matrice deux par deux.

Déterminer l’inverse multiplicative de la matrice 𝐴 est égal à moins quatre, moins 10, trois, cinq, si possible.

Rappelez-vous, pour déterminer l’inverse multiplicative ou l’inverse d’une matrice deux par deux 𝐴 est égal à 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, nous multiplions un sur le déterminant de 𝐴 par la matrice 𝑑, moins 𝑐, moins 𝑏, 𝑎. N’oubliez pas que cela signifie que si le déterminant de 𝐴 est égal à zéro, nous effectuons le calcul un divisé par zéro, ce qui n’est pas défini. Et cela signifie que l’inverse n’existe pas. Commençons donc par calculer le déterminant de notre matrice 𝐴 est égal à moins quatre, moins 10, trois, cinq.

Pour déterminer son déterminant, on multiplie l’élément en haut à gauche par l’élément en bas à droite. Et puis on soustrait le produit des éléments en haut à droite par en bas à gauche. Ainsi, le déterminant de notre matrice est moins quatre fois cinq moins moins 10 fois trois. C’est moins 20 moins moins 30, ce qui est moins 20 plus 30. Et nous voyons donc que le déterminant de notre matrice 𝐴 est 10. Ce n’est clairement pas égal à zéro. Donc, l’inverse de notre matrice 𝐴 existe. La formule nous dit de multiplier un sur le déterminant de 𝐴, donc c’est un sur 10, par une matrice deux par deux qui se trouve en commutant les éléments en haut à gauche et en bas à droite puis en changeant le signe des deux autres éléments.

Donc, l’inverse de 𝐴 est un dixième fois cinq, 10, moins trois, moins quatre. Et nous savons que nous pouvons multiplier une matrice par un scalaire en multipliant simplement chacun de ses éléments. Un dixième fois cinq est égal à cinq dixièmes. Un dixième fois 10 est dix dixièmes. Moins trois fois un dixième est moins trois dixièmes. Et un dixième fois moins quatre est moins quatre dixièmes. Tout ce qui reste pour évaluer l’inverse multiplicative de notre matrice 𝐴 est de simplifier chacune de ces fractions. Et donc, nous voyons que l’inverse de notre matrice 𝐴 est un demi, un, moins trois sur 10, moins deux cinquièmes.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment combiner ce processus avec une autre opération sur les matrices.

Considérons les matrices 𝐴 et 𝐵. Déterminez l’inverse de 𝐴 plus 𝐵. Ici, 𝐴 est donnée comme matrice moins trois, moins deux, moins cinq, moins sept. Et 𝐵 est moins un, deux, huit, neuf.

Cette expression signifie ici déterminer l’inverse de la somme de ces deux matrices. Commençons donc simplement par calculer la somme de 𝐴 et 𝐵. Nous le faisons en ajoutant les éléments sur chaque ligne et chaque colonne. Ainsi, l’élément dans la première ligne et la première colonne est moins trois plus moins un, qui est moins quatre. Le second élément de la première ligne est moins deux plus deux, ce qui est zéro. Nous ajoutons ensuite cinq et moins huit pour obtenir trois. Et enfin, nous ajoutons sept et moins neuf pour obtenir deux. Ainsi, la somme de nos deux matrices est la matrice deux par deux moins quatre, zéro, trois, deux.

Nous devons maintenant déterminer l’inverse de cette matrice. Et donc, nous rappelons que pour une matrice deux par deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son inverse est un sur le déterminant de 𝐴 fois 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎. Maintenant, le déterminant de 𝐴 est en fait 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. C’est le produit des éléments en haut à gauche et en bas à droite de notre matrice moins le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche. Notez, bien sûr, cela signifie que si le déterminant est égal à zéro, nous effectuons le calcul un divisé par zéro, ce qui n’est pas défini. Et donc, notre matrice n’a pas d’inverse.

Commençons donc par calculer le déterminant de notre matrice 𝐴 plus 𝐵. C’est moins quatre fois deux moins zéro fois trois, ce qui est tout simplement moins huit. Donc, nous savons que l’inverse de la somme de nos deux matrices existe, et nous sommes maintenant prêts à la calculer. C’est un sur le déterminant de notre matrice, donc un sur moins huit. Et puis nous échangeons l’élément en haut à gauche avec l’élément en bas à droite et changeons le signe des deux autres éléments. Ainsi, l’inverse de 𝐴 plus 𝐵 est un sur moins huit fois deux, zéro, moins trois, moins quatre. Maintenant, bien sûr, un divisé par moins huit est égal à moins un huitième. Et nous savons que nous pouvons multiplier une matrice par un scalaire en multipliant chacun de ses éléments individuels.

Moins un huitième multiplié par deux est moins un quart ou moins 0.25. Moins un huitième multiplié par zéro est, bien sûr, nul. Ensuite, nous multiplions moins un huitième par moins trois. Eh bien, un négatif multiplié par un négatif est positif. Ainsi, nous obtenons trois huitièmes, ce qui correspond à 0.375. Enfin, nous multiplions moins quatre par moins un huitième, et nous obtenons un demi ou 0.5. Et donc, l’inverse de notre matrice 𝐴 plus 𝐵 est moins 0.25, zéro, 3.75 [0.375] et 0.5. Notez, bien sûr, que nous pourrions vérifier notre solution en nous assurant que lorsque nous effectuons le produit de la matrice 𝐴 plus 𝐵 et son inverse, nous obtenons la matrice identité. C’est la matrice un, zéro, zéro, un.

Dans notre dernier exemple, nous verrons ce que nous voulons dire lorsque nous disons qu’une matrice est singulière et comment cette définition peut nous aider à résoudre des problèmes.

Trouvez l’ensemble des valeurs réelles 𝑥 qui rendent la matrice deux par deux 𝑥 moins trois, huit, deux, 𝑥 plus trois singulière.

Commençons par définir le mot singulière lorsqu’il s’agit de matrices. Nous disons qu’une matrice est singulière si elle n’est pas inversible ; elle n’a pas d’inverse. Nous savons qu’une matrice est inversible si son déterminant n’est pas égal à zéro, et l’inverse est également vrai. Donc, en d’autres termes, une matrice est singulière si son déterminant est égal à zéro. Dans ce cas, alors, nous devons déterminer l’ensemble des valeurs réelles 𝑥 telles que le déterminant de notre matrice est égal à zéro. Le déterminant d’une matrice deux par deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 est 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐. Nous soustrayons le produit des éléments en haut à droite et en bas à gauche du produit de ceux en haut à gauche et en bas à droite.

Donc, dans ce cas, c’est 𝑥 moins trois fois 𝑥 plus trois moins huit fois deux. Si nous distribuons ces parenthèses, nous obtenons 𝑥 fois 𝑥, qui est 𝑥 au carré, plus trois 𝑥 moins trois 𝑥 moins trois fois trois, ce qui est neuf. Cela se simplifie en 𝑥 carré moins neuf. Et huit multiplié par deux est 16. Donc, le déterminant de notre matrice est 𝑥 au carré moins neuf moins 16, qui est 𝑥 au carré moins 25. Nous essayons de déterminer l’ensemble des valeurs de 𝑥 qui rendent notre matrice singulière. En d’autres termes, quelles valeurs de 𝑥 rendent le déterminant nul ? Donc, définissons notre expression pour le déterminant égal à zéro et résolvons en 𝑥. Autrement dit, 𝑥 au carré moins 25 est égal à zéro.

Ajouter 25 aux deux côtés de cette équation nous donne 𝑥 au carré égal à 25. Et puis nous prendrons la racine carrée des deux côtés de nos équations, en nous souvenant de prendre la racine carrée positive et négative de 25. Cela nous donne 𝑥 est égal à plus ou moins cinq. Nous pouvons utiliser ces accolades pour nous aider à représenter l’ensemble des valeurs qui rendent notre matrice singulière. Ce sont moins cinq et cinq. Notez qu’à ce stade, nous pourrions vérifier nos solutions en substituant chaque valeur de 𝑥 dans notre matrice d’origine puis en vérifiant que le déterminant est bien égal à zéro.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu qu’une matrice 𝑛 par 𝑛, une matrice carrée, est inversible s’il existe une deuxième matrice telle que le produit de cette matrice et son inverse est 𝐼, la matrice identité. Nous avons vu que si une matrice deux par deux est définie par 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, alors son inverse est un sur le déterminant de 𝐴 fois la matrice 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐, 𝑎. Et nous calculons bien sûr le déterminant de 𝐴 en trouvant le produit 𝑎𝑑 et en soustrayant le produit 𝑏𝑐. Enfin, nous avons vu qu’une matrice est dite singulière si elle n’a pas d’inverse. En d’autres termes, si le déterminant de cette matrice est égal à zéro.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité