Fiche explicative de la leçon: Inverse d’une matrice 2 × 2 Mathématiques • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à vérifier si une matrice admet un inverse, puis à déterminer son inverse, si possible.

Lorsque nous travaillons avec des systèmes aux nombres réels, nous savons que multiplier tout nombre non nul par son inverse donne 1. 1 est un nombre réel particulier, car multiplier un nombre par 1 ne change pas le nombre. En ce sens, 1 est appelé identité multiplicative. L’inverse d’un nombre non nul est appelé l’inverse de la multiplication.

Nous pouvons voir l’utilité de l’inverse de la multiplication lorsque nous résolvons une équation linéaire pour trouver une constante inconnue. Par exemple, considérons le problème de déterminer la valeur de qui vérifie l’équation

Nous pouvons résoudre cette équation simplement en divisant les deux membres de l’équation par 3. Diviser par 3 est la même chose que multiplier par , qui est l’inverse de 3. Ce qui se passe réellement ici, c’est que nous multiplions les deux membres de l’équation par l’inverse de 3, qui est le coefficient de la constante inconnue . Cela conduit à

En multipliant 3 par son inverse, on obtient 1, qui est l’identité multiplicative. Ainsi, le membre gauche de l’équation devient , qui est le même que . Cela conduit à , qui donne la valeur de la constante inconnue.

Maintenant, pensons à un type de problème similaire en utilisant les opérations matricielles. Disons que nous avons deux matrices et et que nous voulons trouver une matrice inconnue qui vérifie l’équation matricielle

En repensant au processus de solution dans le contexte d’opérations par nombres réels, nous aimerions « diviser » les deux membres par . Mais nous ne connaissons pas de notion de division dans les opérations matricielles. Au lieu de la division, on peut penser à multiplier les deux membres de l’équation par « l’inverse » de , seulement si un objet tel que la réciproque ou l’inverse d’une matrice peut être défini.

Le but de cette fiche explicative est de comprendre précisément quand il est possible de trouver un inverse d’une matrice et d’apprendre à calculer l’inverse lorsque c’est possible. Afin de discuter l’inverse d’une matrice, nous devons d’abord comprendre l’identité multiplicative.

On rappelle que la matrice identité, notée ou , est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux égalent 1. Nous savons que multiplier une matrice par une matrice identité d’ordre compatible ne change pas la matrice. Par conséquent, la matrice identité est l’identité multiplicative pour le produit matriciel. Cela signifie que nous pouvons définir l’inverse (de la multiplication) d’une matrice de sorte que multiplier une matrice par son inverse donne la matrice identité. En particulier, nous aurons besoin de la matrice identité notée afin de définir l’inverse d’une matrice .

On rappelle que la multiplication d’une matrice par une matrice donne une matrice . Comme les deux et sont des matrices , cela signifie que l’inverse , s’il existe, doit aussi être une matrice . En fait, cette définition de l’inverse de la matrice s’applique aux matrices plus grandes, tant qu’elles sont carrées, en remplaçant 2 par dans l’énoncé. Nous allons nous concentrer sur le cas dans cette fiche explicative.

On voit que la réciproque ou l’inverse d’une matrice est défini de telle sorte que multiplier une matrice par son inverse donne la matrice identité. De cette manière, l’inverse d’une matrice est similaire à l’inverse d’un nombre réel non nul.

Nous savons que le produit matriciel n’est pas commutatif, ce qui signifie que l’ordre de la multiplication est important. Ainsi, nous voulons que et égalent l’identité.

Cette définition nous dit que l’inverse d’une matrice est une autre matrice de sorte que la multiplication des deux matrices dans les deux ordres donne la matrice identité . Si une telle matrice existe, on peut immédiatement constater que la matrice d’origine est conforme à la définition de l’inverse de . Cela conduit à la propriété suivante.

Avant de discuter de la manière de déterminer l’inverse d’une matrice, nous devons comprendre quand une matrice n’est pas inversible. Dans le contexte des opérations par nombres réels, le seul nombre réel non inversible est 0. L’analogue du nombre réel 0 est la matrice nulle, notée , dont les coefficients sont tous égaux à 0. S’il est vrai que la matrice nulle n’est pas inversible, il existe de plus grandes familles de matrices non inversibles.

Pour comprendre cette affirmation, nous rappelons la propriété des déterminants d’une matrice. Étant données les matrices carrées et du même ordre,

On peut utiliser cette propriété sur la première équation dans la définition de l’inverse de la matrice : Si est une matrice inversible, nous avons

En prenant le déterminant des deux membres de cette équation,

Nous savons que le déterminant d’une matrice identité est égal à 1. En utilisant la propriété du déterminant, cette équation peut être écrite comme

Puisque est l’un des facteurs du membre gauche de l’équation, cette équation ne peut être vérifiée si . En d’autres termes, la condition ne peut être vraie pour aucune matrice si . Cela prouve que n’est pas inversible si .

Cet argument montre seulement qu’une matrice avec un déterminant zéro n’est pas inversible. Nous ne prouverons pas l’assertion inverse, qui stipule qu’une matrice avec un déterminant non nul est inversible. Au lieu de cela, nous développerons une formule pour trouver l’inverse des matrices non singulières, qui servira de preuve de l’existence d’un inverse.

Avant d’aller plus loin dans notre explication, passons à quelques exemples où nous déterminerons si une matrice donnée est inversible ou non.

Considérons un autre exemple où nous déterminons si une matrice donnée est inversible.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver une condition pour une constante inconnue dans une matrice, sachant qu’une matrice est inversible.

Dans l’exemple suivant, nous trouverons toutes les valeurs possibles d’une inconnue dans une matrice lorsque la matrice est singulière.

Jusqu’à présent, nous avons considéré quelques exemples concernant l’existence de l’inverse de la matrice. Concentrons-nous maintenant sur l’inverse d’une matrice .

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons si deux matrices données sont inverses l’une de l’autre.

Dans l’exemple précédent, nous avons vérifié si deux matrices données sont des inverses l’une de l’autre. En utilisant cette méthode, nous pouvons toujours vérifier si deux matrices données sont des inverses l’une de l’autre. Cependant, ce n’est pas une bonne façon de trouver l’inverse d’une matrice car nous devrions vérifier cela pour chaque matrice possible. Nous introduisons la formule pour l’inverse d’une matrice .

Notez que nous pouvons obtenir l’inverse de par

1. échanger les positions de et .
2. changer les signes de et ,
3. et diviser par le déterminant.

Prouvons la validité de cette formule en calculant le produit matriciel . Le produit matriciel est similaire et elle est omise. Nous avons

En effet, la matrice multiplicative par la matrice telle que définie ci-dessus conduit à la matrice identité . Avec la vérification de l’autre équation , qui est omise ici, nous avons prouvé que cette formule de l’inverse de la matrice est valide.

Arrêtons-nous ici un instant et posons une importante question de réflexion. Est-ce le seul inverse de la matrice possible de  ? En d’autres termes, est-il possible qu’une matrice ait un inverse qui n’est pas donné par cette formule ? C’est une question qui se rapporte à l’unicité de l’inverse de la matrice.

Reformulons un peu cette question. On sait déjà que, sachant qu’une matrice est non singulière, il existe une formule définissant l’inverse de la matrice. Donc, notre question consiste essentiellement à savoir si deux matrices différentes peuvent vérifier les équations pour une matrice inversible donnée . Nous montrerons que ce n’est pas possible. Disons que les matrices et sont des inverses de . Ensuite, nous devons avoir

Cela signifie en particulier que

On peut multiplier les deux membres de l’équation à partir de la gauche par pour écrire

Puisque est l’inverse de , on sait que , ce qui nous donne

est l’identité multiplicative, alors

Cela nous dit que et sont exactement la même matrice. Cela nous indique que si deux matrices sont des inverses d’une matrice donnée, elles doivent être égales. En d’autres termes, il n’y a qu’un seul inverse d’une matrice inversible. Étant donné que nous avons une formule pour l’inverse d’une matrice , cela doit être l’inverse de la matrice unique.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons cette formule pour calculer l’inverse d’une matrice .

Maintenant que nous savons trouver l’inverse d’une matrice , revenons au problème qui a motivé ce développement. Si on connaît l’inverse d’une matrice, on peut résoudre une équation matricielle pour trouver la matrice inconnue où et sont des matrices connues. Résoudre cette équation pour la matrice inconnue , il faut multiplier à gauche de par la matrice inverse , si elle existe. Puisqu’il s’agit d’une équation, nous devons faire la même chose sur le membre droit de l’équation. Cela conduit à

Nous savons , qui est la matrice identité. Cela mène à

On voit que la solution de l’équation est différente de la solution de parce que le produit matriciel est non commutatif. Dans les deux cas, nous devons multiplier les deux membres de l’équation par l’inverse de , mais peu importe de quel membre nous multiplions.

Dans notre dernier exemple, nous appliquerons nos connaissances sur l’inverse de la matrice pour résoudre une équation matricielle impliquant les matrices .

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.