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Fiche explicative de la leçon : Inverse d’une matrice 2 × 2 Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à vérifier si une matrice 2×2 admet un inverse, puis à déterminer son inverse, si possible.

Lorsque nous travaillons avec des systèmes aux nombres réels, nous savons que multiplier tout nombre non nul par son inverse donne 1. 1 est un nombre réel particulier, car multiplier un nombre par 1 ne change pas le nombre. En ce sens, 1 est appelé identité multiplicative. L’inverse d’un nombre non nul est appelé l’inverse de la multiplication.

Nous pouvons voir l’utilité de l’inverse de la multiplication lorsque nous résolvons une équation linéaire pour trouver une constante inconnue. Par exemple, considérons le problème de déterminer la valeur de 𝑥 qui vérifie l’équation 3𝑥=6.

Nous pouvons résoudre cette équation simplement en divisant les deux membres de l’équation par 3. Diviser par 3 est la même chose que multiplier par 13, qui est l’inverse de 3. Ce qui se passe réellement ici, c’est que nous multiplions les deux membres de l’équation par l’inverse de 3, qui est le coefficient de la constante inconnue 𝑥. Cela conduit à 13×3×𝑥=13×6.

En multipliant 3 par son inverse, on obtient 1, qui est l’identité multiplicative. Ainsi, le membre gauche de l’équation devient 1×𝑥, qui est le même que 𝑥. Cela conduit à 𝑥=2, qui donne la valeur de la constante inconnue.

Maintenant, pensons à un type de problème similaire en utilisant les opérations matricielles. Disons que nous avons deux matrices 𝐴 et 𝐵 et que nous voulons trouver une matrice inconnue 𝑋 qui vérifie l’équation matricielle 𝐴𝑋=𝐵.

En repensant au processus de solution dans le contexte d’opérations par nombres réels, nous aimerions « diviser » les deux membres par 𝐴. Mais nous ne connaissons pas de notion de division dans les opérations matricielles. Au lieu de la division, on peut penser à multiplier les deux membres de l’équation par « l’inverse » de 𝐴, seulement si un objet tel que la réciproque ou l’inverse d’une matrice peut être défini.

Le but de cette fiche explicative est de comprendre précisément quand il est possible de trouver un inverse d’une matrice 2×2 et d’apprendre à calculer l’inverse lorsque c’est possible. Afin de discuter l’inverse d’une matrice, nous devons d’abord comprendre l’identité multiplicative.

On rappelle que la matrice identité, notée 𝐼 ou 𝐼, est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux égalent 1. Nous savons que multiplier une matrice par une matrice identité d’ordre compatible ne change pas la matrice. Par conséquent, la matrice identité est l’identité multiplicative pour le produit matriciel. Cela signifie que nous pouvons définir l’inverse (de la multiplication) d’une matrice de sorte que multiplier une matrice par son inverse donne la matrice identité. En particulier, nous aurons besoin de la matrice identité 2×2 notée 𝐼=1001 afin de définir l’inverse d’une matrice 2×2.

Définition : Inverse d’une matrice

Soit 𝐴 une matrice 2×2. L’inverse de 𝐴, noté 𝐴, est une matrice qui vérifie 𝐴𝐴=𝐼,𝐴𝐴=𝐼.

Si une telle matrice existe, on dit que cette matrice 𝐴 est inversible.

Si une telle matrice n’existe pas, on dit que cette matrice 𝐴 n’est pas inversible.

On rappelle que la multiplication d’une matrice 𝑚×𝑛 par une matrice 𝑛×𝑘 donne une matrice 𝑚×𝑘. Comme les deux 𝐴 et 𝐼 sont des matrices 2×2, cela signifie que l’inverse 𝐴, s’il existe, doit aussi être une matrice 2×2. En fait, cette définition de l’inverse de la matrice s’applique aux matrices plus grandes, tant qu’elles sont carrées, en remplaçant 2 par 𝑛 dans l’énoncé. Nous allons nous concentrer sur le cas 𝑛=2 dans cette fiche explicative.

On voit que la réciproque ou l’inverse d’une matrice est défini de telle sorte que multiplier une matrice par son inverse donne la matrice identité. De cette manière, l’inverse d’une matrice est similaire à l’inverse d’un nombre réel non nul.

Nous savons que le produit matriciel n’est pas commutatif, ce qui signifie que l’ordre de la multiplication est important. Ainsi, nous voulons que 𝐴𝐴 et 𝐴𝐴 égalent l’identité.

Cette définition nous dit que l’inverse d’une matrice 2×2 est une autre matrice 2×2 de sorte que la multiplication des deux matrices dans les deux ordres donne la matrice identité 𝐼. Si une telle matrice 𝐴 existe, on peut immédiatement constater que la matrice d’origine 𝐴 est conforme à la définition de l’inverse de 𝐴. Cela conduit à la propriété suivante.

Propriété : Inverse de la matrice inverse

Soit 𝐴 une matrice inversible. Alors, 𝐴 est inversible et 𝐴=𝐴.

Avant de discuter de la manière de déterminer l’inverse d’une matrice, nous devons comprendre quand une matrice n’est pas inversible. Dans le contexte des opérations par nombres réels, le seul nombre réel non inversible est 0. L’analogue du nombre réel 0 est la matrice nulle, notée 𝑂, dont les coefficients sont tous égaux à 0. S’il est vrai que la matrice nulle n’est pas inversible, il existe de plus grandes familles de matrices non inversibles.

Propriété : Matrices singulières

Une matrice carrée n’est pas inversible si et seulement si son déterminant est égal à zéro. Les matrices ayant cette propriété sont appelées matrices singulières.

Pour comprendre cette affirmation, nous rappelons la propriété des déterminants d’une matrice. Étant données les matrices carrées 𝐵 et 𝐶 du même ordre, detdetdet(𝐵𝐶)=(𝐵)×(𝐶).

On peut utiliser cette propriété sur la première équation dans la définition de l’inverse de la matrice:Si 𝐴 est une matrice inversible, nous avons 𝐴𝐴=𝐼.

En prenant le déterminant des deux membres de cette équation, detdet𝐴𝐴=(𝐼).

Nous savons que le déterminant d’une matrice identité est égal à 1. En utilisant la propriété du déterminant, cette équation peut être écrite comme detdet(𝐴)×𝐴=1.

Puisque det(𝐴) est l’un des facteurs du membre gauche de l’équation, cette équation ne peut être vérifiée si det(𝐴)=0. En d’autres termes, la condition 𝐴𝐴=𝐼 ne peut être vraie pour aucune matrice 𝐴 si det(𝐴)=0. Cela prouve que 𝐴 n’est pas inversible si det(𝐴)=0.

Cet argument montre seulement qu’une matrice avec un déterminant zéro n’est pas inversible. Nous ne prouverons pas l’assertion inverse, qui stipule qu’une matrice avec un déterminant non nul est inversible. Au lieu de cela, nous développerons une formule pour trouver l’inverse des matrices non singulières, qui servira de preuve de l’existence d’un inverse.

Avant d’aller plus loin dans notre explication, passons à quelques exemples où nous déterminerons si une matrice donnée est inversible ou non.

Exemple 1: Déterminants et inversibilité

Est-ce que la matrice 3131 est inversible?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer si une matrice donnée est inversible. On rappelle qu’une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant n’est pas égal à zéro. On peut voir que l’ordre de la matrice donnée est 2×2, ce qui signifie qu’il s’agit d’une matrice carrée. Donc, nous devons vérifier son déterminant pour voir s’il est égal à zéro.

Rappelons que le déterminant d’une matrice 2×2 est donné par det𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎×𝑑𝑏×𝑐.

Cela conduit à det3131=3×11×(3)=6.

Nous pouvons voir que le déterminant de la matrice carrée donnée est non nul. Cela nous indique que cette matrice est inversible.

Par conséquent, la réponse correcte à la question dans cet exemple est oui.

Considérons un autre exemple où nous déterminons si une matrice donnée est inversible.

Exemple 2: Déterminants et inversibilité

Est-ce que la matrice 3131 est inversible?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer si une matrice donnée est inversible. On rappelle qu’une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant n’est pas égal à zéro. On peut voir que l’ordre de la matrice donnée est 2×2, ce qui signifie qu’il s’agit d’une matrice carrée. Donc, nous devons vérifier son déterminant pour voir s’il est égal à zéro.

Rappelons que le déterminant d’une matrice 2×2 est donné par det𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎×𝑑𝑏×𝑐.

Cela conduit à det3131=3×(1)1×(3)=0.

Nous pouvons voir que le déterminant de la matrice carrée donnée est égal à zéro. Cela nous indique que cette matrice n’est pas inversible.

Par conséquent, la réponse correcte à la question dans cet exemple est non.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver une condition pour une constante inconnue dans une matrice, sachant qu’une matrice est inversible.

Exemple 3: Déterminants et inversibilité

Sachant que la matrice 717𝑎 est inversible, indiquez la relation qui doit être correcte avec 𝑎.

Réponse

Dans cet exemple, on nous indique que la matrice est inversible. On rappelle qu’une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant n’est pas égal à zéro. On peut voir que l’ordre de la matrice donnée est 2×2, ce qui signifie qu’il s’agit d’une matrice carrée. Ainsi, nous devons nous assurer que son déterminant n’est pas égal à zéro pour nous assurer qu’il est inversible.

Rappelons que le déterminant d’une matrice 2×2 est donné par det𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎×𝑑𝑏×𝑐.

Cela conduit à det717𝑎=7×𝑎1×(7)=7𝑎+7.

Par conséquent, le déterminant de la matrice donnée est 7𝑎+7. La matrice étant inversible, cette valeur ne doit pas être égale à zéro. Cela conduit à 7𝑎+707𝑎7𝑎1.

Par conséquent, la relation qui doit être correcte est que 𝑎1.

Dans l’exemple suivant, nous trouverons toutes les valeurs possibles d’une inconnue dans une matrice lorsque la matrice est singulière.

Exemple 4: Déterminer les éléments inconnus d’une matrice singulière

Déterminez l’ensemble des valeurs réelles de (𝑥) qui rendent la matrice 𝑥382𝑥+3 singulière.

Réponse

Dans cet exemple, on nous indique que la matrice est singulière. On rappelle qu’une matrice singulière est une matrice carrée avec un déterminant nul. On peut voir que l’ordre de la matrice donnée est 2×2, ce qui signifie qu’il s’agit d’une matrice carrée. Donc, nous devons nous assurer que son déterminant est égal à zéro.

Rappelons que le déterminant d’une matrice 2×2 est donné par det𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎×𝑑𝑏×𝑐.

Cela conduit à det𝑥382𝑥+3=(𝑥3)×(𝑥+3)8×2.

Nous pouvons développer à travers les parenthèses dans cette expression en utilisant la formule de la différence des carrés, (𝑎+𝑏)(𝑎𝑏)=𝑎𝑏. En utilisant cette formule, on peut écrire le déterminant comme 𝑥316=𝑥25.

Par conséquent, le déterminant de la matrice donnée est 𝑥25. Comme il s’agit d’une matrice singulière, son déterminant doit être égal à zéro. Cela conduit à 𝑥25=0𝑥=25𝑥=±5.

Par conséquent, nous devons avoir soit 𝑥=5 ou 𝑥=5. L’ensemble des valeurs réelles de (𝑥) pour laquelle la matrice donnée est singulière est {5,5}.

Jusqu’à présent, nous avons considéré quelques exemples concernant l’existence de l’inverse de la matrice. Concentrons-nous maintenant sur l’inverse d’une matrice 2×2.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons si deux matrices données sont inverses l’une de l’autre.

Exemple 5: Vérifier si une matrice donnée est l’inverse d’une autre matrice donnée

Est-ce que les matrices 1234,1121314 sont des inverses l’une de l’autre?

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer si deux matrices données sont des inverses l’une de l’autre. Nous pouvons voir que ces deux matrices sont des matrices 2×2. Rappelons que, étant donnée une matrice 2×2notée 𝐴, son inverse de la multiplication, noté 𝐴, est la matrice qui vérifie 𝐴𝐴=𝐴𝐴=𝐼, si une telle matrice existe. Nous rappelons également que 𝐼 est la matrice identité 2×2 notée 1001. Si on peut obtenir la matrice identité en multipliant les matrices dans l’un ou l’autre ordre, alors on va savoir qu’elles sont des inverses l’une de l’autre. Calculons le produit matriciel dans l’ordre indiqué. 12341121314=1×1+2×131×12+2×143×1+4×133×12+4×14=53113352.

Nous pouvons voir que la matrice résultante n’est pas la matrice identité. Ainsi, les deux matrices ne sont pas des inverses l’une de l’autre.

La réponse à la question dans cet exemple est non.

Dans l’exemple précédent, nous avons vérifié si deux matrices données sont des inverses l’une de l’autre. En utilisant cette méthode, nous pouvons toujours vérifier si deux matrices données sont des inverses l’une de l’autre. Cependant, ce n’est pas une bonne façon de trouver l’inverse d’une matrice car nous devrions vérifier cela pour chaque matrice possible. Nous introduisons la formule pour l’inverse d’une matrice 2×2.

Formule : Inverse d’une matrice 2 × 2

Soit 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 telle que det𝐴0. Alors, 𝐴=1𝐴𝑑𝑏𝑐𝑎.det

Notez que nous pouvons obtenir l’inverse de 𝐴 par

  1. échanger les positions de 𝑎 et 𝑑.
  2. changer les signes de 𝑏 et 𝑐,
  3. et diviser par le déterminant.

Prouvons la validité de cette formule en calculant le produit matriciel 𝐴𝐴. Le produit matriciel 𝐴𝐴 est similaire et elle est omise. Nous avons 𝐴𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑1𝐴𝑑𝑏𝑐𝑎=1𝐴𝑎𝑏𝑐𝑑𝑑𝑏𝑐𝑎=1𝐴𝑎×𝑑+𝑏×(𝑐)𝑎×(𝑏)+𝑏×𝑎𝑐×𝑑+𝑑×(𝑐)𝑐×(𝑏)+𝑑×𝑎=1𝐴𝑎𝑑𝑏𝑐00𝑎𝑑𝑏𝑐=𝑎𝑑𝑏𝑐𝐴00𝑎𝑑𝑏𝑐𝐴=1001.detdetdetdetdetdet

En effet, la matrice multiplicative 𝐴 par la matrice 𝐴 telle que définie ci-dessus conduit à la matrice identité 𝐼. Avec la vérification de l’autre équation 𝐴𝐴=𝐼, qui est omise ici, nous avons prouvé que cette formule de l’inverse de la matrice est valide.

Arrêtons-nous ici un instant et posons une importante question de réflexion. Est-ce le seul inverse de la matrice possible de 𝐴?En d’autres termes, est-il possible qu’une matrice ait un inverse qui n’est pas donné par cette formule?C’est une question qui se rapporte à l’unicité de l’inverse de la matrice.

Reformulons un peu cette question. On sait déjà que, sachant qu’une matrice est non singulière, il existe une formule définissant l’inverse de la matrice. Donc, notre question consiste essentiellement à savoir si deux matrices différentes peuvent vérifier les équations 𝐴𝐴=𝐴𝐴=𝐼, pour une matrice inversible donnée 𝐴. Nous montrerons que ce n’est pas possible. Disons que les matrices 𝐵 et 𝐶 sont des inverses de 𝐴. Ensuite, nous devons avoir 𝐴𝐵=𝐵𝐴=𝐼,𝐴𝐶=𝐶𝐴=𝐼.

Cela signifie en particulier que 𝐴𝐵=𝐴𝐶.

On peut multiplier les deux membres de l’équation à partir de la gauche par 𝐵 pour écrire 𝐵𝐴𝐵=𝐵𝐴𝐶.

Puisque 𝐵 est l’inverse de 𝐴, on sait que 𝐵𝐴=𝐼, ce qui nous donne 𝐼𝐵=𝐼𝐶.

𝐼est l’identité multiplicative, alors 𝐵=𝐶.

Cela nous dit que 𝐵 et 𝐶 sont exactement la même matrice. Cela nous indique que si deux matrices sont des inverses d’une matrice donnée, elles doivent être égales. En d’autres termes, il n’y a qu’un seul inverse d’une matrice inversible. Étant donné que nous avons une formule pour l’inverse d’une matrice 2×2, cela doit être l’inverse de la matrice unique.

Dans l’exemple suivant, nous utiliserons cette formule pour calculer l’inverse d’une matrice 2×2.

Exemple 6: Déterminer l’inverse d’une matrice

Déterminez l’inverse de la matrice 𝐴=41035, si possible.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver l’inverse d’une matrice donnée 2×2, si possible. Rappelons que l’inverse d’une matrice carrée existe (c’est-à-dire que la matrice est inversible) si et seulement si son déterminant n’est pas égal à zéro. On peut voir que l’ordre de la matrice donnée est 2×2, ce qui signifie qu’il s’agit d’une matrice carrée. Ainsi, nous devons nous assurer que son déterminant n’est pas égal à zéro pour nous assurer qu’il est inversible.

Rappelons que le déterminant d’une matrice 2×2 est donné par det𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎×𝑑𝑏×𝑐.

Cela conduit à det𝐴=(4)×5(10)×3=10.

Par conséquent, le déterminant de la matrice donnée est 10. Comme le déterminant est non nul, nous savons que l’inverse d’une matrice existe. Déterminons l’inverse.

On rappelle que l’inverse de la matrice 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 avec det𝐴0 est donné par 𝐴=1𝐴𝑑𝑏𝑐𝑎.det

On peut voir d’après 𝐴=41035 que 𝑎=4,𝑏=10,𝑐=3,𝑑=5.

Nous avons également calculé det𝐴=10. En substituant ces valeurs dans la formule pour l’inverse de la matrice, on obtient 𝐴=11051034.

En calculant la multiplication scalaire, on obtient 𝐴=5101010310410=12131025.

Maintenant que nous savons trouver l’inverse d’une matrice 2×2, revenons au problème qui a motivé ce développement. Si on connaît l’inverse d’une matrice, on peut résoudre une équation matricielle 𝐴𝑋=𝐵 pour trouver la matrice inconnue 𝑋𝐴 et 𝐵 sont des matrices connues. Résoudre cette équation pour la matrice inconnue 𝑋, il faut multiplier à gauche de 𝐴𝑋 par la matrice inverse 𝐴 , si elle existe. Puisqu’il s’agit d’une équation, nous devons faire la même chose sur le membre droit de l’équation. Cela conduit à 𝐴𝐴𝑋=𝐴𝐵.

Nous savons 𝐴𝐴=𝐼, qui est la matrice identité. Cela mène à 𝑋=𝐴𝐵.

Comment : Résoudre des équations matricielles

Supposons que 𝐴 est une matrice inversible, et que 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices 2×2. La matrice 𝑋 vérifiant l’équation 𝐴𝑋=𝐵 est 𝑋=𝐴𝐵.

De même, la matrice 𝑋 vérifiant l’équation 𝑋𝐴=𝐵 est 𝑋=𝐵𝐴.

On voit que la solution de l’équation 𝐴𝑋=𝐵 est différente de la solution de 𝑋𝐴=𝐵 parce que le produit matriciel est non commutatif. Dans les deux cas, nous devons multiplier les deux membres de l’équation par l’inverse de 𝐴, mais peu importe de quel membre nous multiplions.

Dans notre dernier exemple, nous appliquerons nos connaissances sur l’inverse de la matrice pour résoudre une équation matricielle impliquant les matrices 2×2.

Exemple 7: Résoudre des équations matricielles

En utilisant l’inverse de la matrice, résolvez ce qui suit pour déterminer 𝑋:𝑋3243=0230.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons résoudre une équation matricielle. Rappelons que nous pouvons résoudre une équation matricielle de la forme 𝐴𝑋=𝐵 ou 𝑋𝐴=𝐵 en utilisant l’inverse de la matrice 𝐴, si elle existe. Dans cet exemple, la matrice 𝐴 est la matrice sur le membre gauche de l’équation 𝐴=3243.

Vérifions d’abord si l’inverse de cette matrice existe. Rappelons que l’inverse d’une matrice carrée existe (c’est-à-dire que la matrice est inversible) si et seulement si son déterminant n’est pas égal à zéro. On peut voir que l’ordre de la matrice 𝐴 est 2×2, ce qui signifie qu’il s’agit d’une matrice carrée. Ainsi, nous devons nous assurer que son déterminant n’est pas égal à zéro pour nous assurer qu’il est inversible.

Rappelons que le déterminant d’une matrice 2×2 est donné par det𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎×𝑑𝑏×𝑐.

Cela conduit à det𝐴=(3)×(3)2×4=1.

Par conséquent, le déterminant de la matrice donnée est 1. Comme le déterminant est non nul, nous savons que l’inverse d’une matrice existe. Déterminons l’inverse.

On rappelle que l’inverse de la matrice 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 avec det𝐴0 est donné par 𝐴=1𝐴𝑑𝑏𝑐𝑎.det

On peut voir d’après 𝐴=3243 que 𝑎=3,𝑏=2,𝑐=4,𝑑=3.

On sait aussi que det𝐴=1, ce qui signifie que le facteur scalaire 1𝐴det dans la formule peut être négligé. En substituant ces valeurs dans la formule de l’inverse de la matrice, on obtient 𝐴=3243.

Maintenant que nous avons calculé l’inverse de la matrice, examinons comment résoudre l’équation. On note la matrice du membre droit de l’équation comme 𝐵, notre équation est sous la forme 𝑋𝐴=𝐵.

On peut multiplier 𝐴 à droite des deux membres de l’équation pour écrire 𝑋𝐴𝐴=𝐵𝐴.

Nous savons que 𝐴𝐴=𝐼, qui est la matrice identité. Étant donné que la multiplication par la matrice identité ne change pas la matrice, nous avons 𝑋=𝐵𝐴.

Par conséquent, nous devons trouver le produit matriciel 𝐵𝐴:𝐵𝐴=02303243=0×(3)+(2)×(4)0×(2)+(2)×(3)3×(3)+0×(4)3×(2)+0×(3)=8696.

Par conséquent, la réponse est 𝑋=8696.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Soit 𝐴 une matrice 2×2. L’inverse de 𝐴, noté 𝐴, est une matrice qui vérifie 𝐴𝐴=𝐼,𝐴𝐴=𝐼. Si une telle matrice existe, on dit que cette matrice 𝐴 est inversible. Si une telle matrice n’existe pas, on dit que la matrice 𝐴 n’est pas inversible.
  • Soit 𝐴 une matrice inversible. Alors 𝐴 est inversible et 𝐴=𝐴.
  • Une matrice singulière est une matrice carrée dont le déterminant est égal à zéro. Une matrice carrée n’est inversible que si elle est singulière.
  • Soit 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 telle que det𝐴0. Alors, , 𝐴=1𝐴𝑑𝑏𝑐𝑎.det
  • Supposons que 𝐴 est une matrice inversible et que les deux 𝐴 et 𝐵 sont des matrices 2×2. La matrice 𝑋 vérifiant l’équation 𝐴𝑋=𝐵 est 𝑋=𝐴𝐵. De même, la matrice 𝑋 vérifiant l’équation 𝑋𝐴=𝐵 est 𝑋=𝐵𝐴.

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