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Sachant que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus neuf est égal à zéro, quelle est la valeur de 𝐿 au carré plus 𝑀 au carré ?
Eh bien, pour résoudre ce problème, nous devons trouver 𝐿 et 𝑀. Nous voulons donc trouver les racines de l’équation. Il existe en fait plusieurs façons de le faire. Nous pourrions factoriser ou utiliser la formule des racines du second degré ou compléter le carré et il existe également d’autres méthodes. Pour cette question, nous allons utiliser la première méthode que j’ai mentionnée. Et cette méthode est de factoriser car en observant l’équation, je peux voir que nous allons pouvoir factoriser ce que nous avons ici.
Ainsi, lorsque nous cherchons à factoriser une expression du second degré, nous cherchons un couple de valeurs. Et ces deux valeurs doivent respecter deux contraintes. Leur somme doit être égale au coefficient de 𝑥. Donc dans ce cas, c’est plus 10 car nous devons prendre en compte le signe. Et puis leur produit doit nous donner la valeur numérique à la fin soit dans ce cas, plus neuf.
Et lorsque nous factorisons une expression du second degré, nous avons deux parenthèses. Et dans chacun de ces deux parenthèses, la première valeur va être égale à 𝑥. Et c’est parce que le premier terme de l’expression du second degré est 𝑥 au carré. Ainsi, si nous avions 𝑥 multiplié par 𝑥, cela nous donnerait bien notre 𝑥 au carré. Ensuite, les autres termes entre parenthèses dépendront de la somme et du produit des nombres qu’on vient de mentionner.
Eh bien, dans ce problème, nous pouvons remarquer que les deux nombres vont être moins neuf et moins un. Et c’est parce que moins neuf multiplié par moins un est égal à neuf. Et comme leur produit est positif, ils doivent tous deux être soit positifs soit négatifs. Mais nous savons que les deux vont être positifs car si nous ajoutons plus neuf et plus un, nous obtenons moins 10.
Très bien, nous avons factorisé l’expression du second degré. Mais est-ce que cela signifie que nous avons résolu la question ? Eh bien non, car ce que nous devons faire maintenant, c’est trouver les racines. Eh bien, les racines ou les solutions de l’équation vont être moins neuf ou moins un. Et nous savons que les racines vont être moins neuf ou moins un parce que ce qu’elles doivent être, ce sont les valeurs de 𝑥 qui rendront chacune des deux parenthèses égale à zéro. Et c’est parce nous avons zéro dans le membre droit. Cela signifie donc que l’une des parenthèses doit être égale à zéro. Et en effet, moins neuf plus neuf est égal à zéro et moins un plus un est égal à zéro.
Par conséquent, ce que nous allons faire, c’est que nous allons poser que 𝐿 est égal à moins neuf et que 𝑀 est égal à moins un parce que ce sont les racines de l’équation. Maintenant, ce que nous voulons faire, c’est trouver la valeur de 𝐿 au carré plus 𝑀 au carré. Et comme que nous essayons de trouver la valeur de 𝐿 au carré plus 𝑀 au carré, l’ordre dans lequel nous avons attribué ces valeurs n’a pas d’importance. Ainsi, ce que nous allons obtenir, c’est que 𝐿 au carré plus 𝑀 au carré va être égal à moins neuf au carré plus moins un au carré, ce qui va être égal à 81 plus un. Et c’est parce qu’une valeur négative multipliée par une valeur négative donne une valeur positive. Nous avons donc 81 plus un.
Nous pouvons donc dire que si 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus neuf est égal à zéro, alors la valeur de 𝐿 au carré plus 𝑀 au carré est de 82. Nous sommes donc arrivés à notre réponse finale.
Mais ce que nous allons faire maintenant c’est simplement de la vérifier. Et nous allons la vérifier en utilisant une autre méthode pour résoudre notre équation. Et cette autre méthode s’appelle la formule des racines du second degré. Eh bien, la méthode que nous allons utiliser pour la vérification est d’utiliser la formule des racines. La formule des racines est en effet un moyen de résoudre des équations du second degré.
Ainsi, on a 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Et ceci s’applique quand nous avons une expression du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Eh bien, nous pouvons voir à partir de l’équation du second degré que 𝑎 va être égal à un car le coefficient de 𝑥 au carré est un, 𝑏 est égal à 10 et 𝑐 est égal à neuf. Donc, pour la méthode de vérification, ce que nous allons faire, c’est de remplacer par ces valeurs dans la formule des racines. Et lorsque nous faisons cela, nous obtenons que 𝑥 est égal à moins 10 plus ou moins la racine carrée de 10 au carré moins quatre multiplié par un multiplié par neuf sur deux multiplié par un.
Nous allons donc obtenir 𝑥 est égal à moins 10 plus ou moins la racine carrée de 100 moins 36 sur deux. Cela va donc donner que 𝑥 est égal à moins 10 plus huit sur deux ou moins 10 moins huit sur deux, ce qui nous donne nos deux solutions soit 𝑥 est égal à moins un ou moins neuf, ce que nous avons obtenu avec la première méthode. Notre réponse est donc tout à fait juste. Nous n’avons pas besoin de faire le reste du calcul car nous aboutirions au même résultat. Nous savons donc avec certitude que la bonne réponse est 82.
