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Trois cercles tangents ont des rayons de 200, 120 et 110. Déterminez l'aire du triangle formé en reliant les centres des cercles. Donnez ta réponse au centième près.
On nous donne les rayons de trois cercles tangents. Commençons donc par représenter les cercles. Nous voulons calculer l’aire du triangle formé en reliant les centres des cercles. Et pour calculer l’aire de ce triangle, nous pouvons utiliser la formule de Héron. Elle stipule que pour un triangle avec des longueurs de côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐, l’aire est égale à la racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑠 est le demi-périmètre. Il s’agit de la moitié de la somme des longueurs des côtés.
Notre première étape consiste t à déterminer les longueurs des côtés de notre triangle. Et ce sont chacun la somme des rayons de deux cercles. Ainsi, par exemple, en appelant la longueur du premier côté 𝑎, sa valeur est la somme du rayon du plus grand cercle, 200 centimètres, et de celui du deuxième plus grand cercle, 120 centimètres, soit 320 centimètres. De même, notre côté suivant 𝑏 est la somme du plus grand rayon, 200 centimètres, et du plus petit rayon, 110 centimètres. Et ça fait 310 centimètres. La longueur de notre troisième côté 𝑐 du triangle est la somme des deux plus petits rayons. Cela fait 120 plus 110 centimètres, soit 230 centimètres.
Ainsi, avec nos longueurs des côtés de 320, 310 et 230 centimètres, nous pouvons maintenant calculer le demi-périmètre 𝑠 à utiliser dans la formule de Heron. On a 320, qui est 𝑎, plus 310, qui est 𝑏, plus 230, qui est 𝑐, le tout sur deux. Et ça nous donne 860 sur deux, soit 430. Donc 𝑠 est égal à 430.
Alors maintenant, nous pouvons utiliser les valeurs que nous avons calculées dans la formule de Héron pour calculer l’aire du triangle. Nous avons donc l’aire 𝑎 est égale à la racine carrée de 430 fois 110 fois 120 fois 200. Qui est égal à la racine carrée positive, puisque l’aire est toujours positive, de 1 135 200 000, ce qui est approximativement égal à 33 692,72919 et qui au centième près est 33 692,73.
Par conséquent, l’aire du triangle formé en reliant les centres des trois cercles tangents, au centième près, est de 33 692,73 centimètres carrés.
