Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la formule de Héron pour déterminer l’aire d’un triangle.
Avant d’introduire la formule de Héron en détail, rappelons deux autres formules que nous pouvons utiliser pour trouver l’aire, , d’un triangle. La formule que l’on choisit dépend des informations dont on dispose sur le triangle.
On rappelle que pour calculer l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur de la base et la hauteur, on peut utiliser la formule suivante : où est la longueur de la base et est la longueur de la hauteur. Pour trouver l'aire du triangle ci-dessous, nous pouvons remplacer 12 cm dans cette formule pour et 4 cm pour : 
On rappelle également que est une autre formule que l’on peut utiliser pour calculer l’aire d’un triangle. Pour celle-ci, , et sont les longueurs de deux côtés du triangle, et est la mesure de l’angle intérieur, ou de l’angle formé par les côtés de longueurs et .
On peut utiliser cette formule pour déterminer l’aire de tout triangle qui possède un angle de mesure connue et qui est formé de deux côtés de longueurs connues. Pour trouver l'aire du triangle suivant, on peut substituer 15 cm et 18 cm dans la formule de and et pour : 
On suppose maintenant que l’on connaît les longueurs des trois côtés d’un triangle, mais aucune des mesures de ses angles. Avec uniquement ces informations, on ne peut utiliser ni la formule ni la formule pour calculer l’aire du triangle. On peut cependant utiliser la formule de Héron.
Définition : Formule de Héron
La formule de Héron stipule que l’aire, , d’un triangle de côtés de longueurs , et est où est le demi-périmètre du triangle ou la moitié de son périmètre. Le demi-périmètre du triangle est donné par la formule 
On teste la formule de Héron pour s’assurer que l’on obtient la même aire pour un triangle équilatéral de côté de longueur 2 cm que celle que l’on obtient en utilisant la formule
Dans cette formule, la variable est la longueur du côté du triangle. En remplaçant dans cette formule donne
On obtient pour l’aire du triangle. Pour effectuer la comparaison, on va maintenant utiliser la formule de Héron pour trouver l’aire. Pour ce faire, on doit d’abord calculer le demi-périmètre :
La formule de Héron donne alors
On voit que l’aire du triangle est , la même réponse que l’on a obtenue précédemment. C’est ce à quoi on s’attendait.
Dans les exemples qui suivent, nous allons étudier d’autres cas où la formule de Héron est utilisée pour calculer non seulement l’aire des triangles, mais aussi l’aire de figures composées de triangles.
Exemple 1: Déterminer l’aire d’un triangle en utilisant la formule de Héron
L'aire du triangle dont la longueur des côtés est 3 cm, 6 cm et 7 cm est équal à cm2.
Réponse
Dans ce problème, on connaît seulement les longueurs des trois côtés du triangle. Comme on ne connaît ni la hauteur du triangle ni aucune mesure de ses angles, on doit utiliser la formule de Héron pour déterminer son aire. On rappelle que la formule de Héron stipule que l’aire d’un triangle de côtés de longueurs , et est où est le demi-périmètre du triangle ou la moitié de son périmètre. Le demi-périmètre peut être trouvé en utilisant la formule
On commence par calculer le demi-périmètre du triangle. On doit substituer chacune des longueurs des côtés du triangle dans la formule du demi-périmètre soit , , ou . Peu importe la longueur du côté que l’on substitue à chaque variable. On remplace ici par , et puis on simplifie pour obtenir le demi-périmètre de
On peut maintenant substituer les valeurs dans la formule de Héron pour trouver l’aire du triangle.
Puisque , , et , la formule de Héron nous donne
Ainsi, on peut dire que l'aire du triangle dont la longueur des côtés est 3 cm, 6 cm et 7 cm est cm2.
Dans l’exemple suivant, nous allons également calculer l’aire d’un triangle dont les trois longueurs de côtés sont connues en utilisant la formule de Héron.
Exemple 2: Déterminer l’aire d’un triangle en utilisant la formule de Héron
est un triangle, où , et . Déterminez l’aire de en donnant votre réponse au centimètre carré près.
Réponse
On commence par dessiner le triangle . On sait que , et .
Comme on connaît les longueurs des trois côtés du triangle, on peut utiliser la formule de Héron pour déterminer son aire. Selon la formule de Héron, l’aire, , d’un triangle de côtés de longueurs , et est où est le demi-périmètre du triangle. Le demi-périmètre peut être calculé à l’aide de la formule suivante :
En remplaçant , et dans la formule du demi-périmètre on obtient
Maintenant, comme , , et , la formule de Héron indique que l’aire du triangle est
L’aire du triangle au centimètre carré près est 235 cm2.
Nous allons maintenant utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire d’un losange. Nous rappelons que les côtés d’un losange ont tous la même longueur.
Exemple 3: Déterminer l’aire d’un losange à l’aide de la formule de Héron
Le périmètre du losange donné est 292 cm et la longueur de est 116 cm. Utilisez la formule de Héron pour calculer l’aire du losange en donnant votre réponse au millième près.
Réponse
On rappelle que la formule de Héron est où est l’aire d’un triangle de côtés de longueur , et et un demi-périmètre . Le demi-périmètre est donné par la formule
Afin d’utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire du losange donné, on doit décomposer le losange en deux triangles : le triangle et le triangle . Comme un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur, chacun des côtés du losange doit avoir une longueur de
Donc, on sait que les longueurs des côtés du triangle sont
Avec ces informations, on peut utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire du triangle. On peut commencer par trouver son demi-périmètre :
On peut ensuite remplacer par , , et dans la formule de Héron pour obtenir l’aire de
On sait que le triangle a la même aire que le triangle , car les deux triangles ont les côtés de même longueur. Donc, comme le losange est composé des deux triangles, l’aire du losange est égale à
L’aire du losange au millième près est 5 142,085 cm2.
Dans l’exemple qui suit, nous allons calculer l’aire d’une figure composée de deux triangles en utilisant la formule de Héron. Un des deux triangles est un triangle rectangle, et nous allons devoir utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l’un de ses côtés.
Exemple 4: Déterminer l’aire d’un quadrilatère à l’aide de la formule de Héron
Calculez l’aire de la figure ci-dessous à l’aide de la formule de Héron en donnant votre réponse au millième près.
Réponse
On sait que la formule de Héron est où est l’aire d’un triangle qui a des côtés de longueur , et et un demi-périmètre de . On sait aussi que le demi-périmètre peut être calculé avec la formule
Afin d’utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire de la figure, on doit la décomposer en deux triangles.
L’un des triangles en lesquels la figure peut être décomposée a des côtés de longueur 16 cm, 20 cm et 23 cm. On commence par trouver l’aire de ce triangle en utilisant la formule de Héron. En substituant les longueurs des trois côtés du triangle dans la formule du demi-périmètre, on obtient
Substituer ensuite les longueurs des trois côtés du triangle et son demi-périmètre dans la formule de Héron donne
En observant l’autre triangle, on peut voir qu’il s’agit d’un triangle rectangle avec un côté de longueur 16 cm et une hypoténuse de longueur 20 cm. Cependant, on ne connaît pas la longueur du troisième côté du triangle.
Afin de déterminer sa longueur, on peut utiliser le théorème de Pythagore, qui stipule que si un triangle rectangle a des côtés opposé et adjacent de longueurs et et une hypoténuse de longueur , alors
On peut remplacer par et , puis déterminer pour calculer la longueur comme suit :
On note que l’on doit seulement conserver la racine positive de 144, car une longueur ne peut pas être négative. Donc, les longueurs des trois côtés du deuxième triangle sont
Maintenant que l’on connaît les longueurs des trois côtés, on calcule l’aire du triangle. On peut d’abord substituer les longueurs des côtés dans la formule du demi-périmètre pour obtenir
On peut ensuite substituer les longueurs des côtés et le demi-périmètre dans la formule de Héron pour obtenir
On remarque que l’on aurait aussi pu utiliser la formule pour déterminer l’aire du triangle, car il s’agit d’un triangle rectangle avec une base de 12 cm et une hauteur de 16 cm. Cette formule donne également une aire de
La combinaison des aires des deux triangles donne une aire totale de .
L’aire de la figure au millième près est égale à 252,818 cm2.
Dans le dernier exemple, nous allons utiliser la formule de Héron pour trouver le rayon d’un cercle inscrit dans un triangle.
Exemple 5: Utiliser la formule de Héron pour déterminer le rayon d’un cercle à l’intérieur d’un triangle
Les longueurs des côtés d’un triangle sont 12 cm, 5 cm et 11 cm. Déterminez le rayon du cercle intérieur qui touche les côtés en utilisant la formule suivante : , où est la moitié du périmètre du triangle.
Réponse
D’après la formule, afin de calculer le rayon du cercle intérieur touchant les côtés du triangle décrit dans le problème, on doit connaître l’aire du triangle et la moitié de son périmètre.
Comme on connaît les longueurs des côtés du triangle, on peut utiliser la formule de Héron pour calculer son aire. On rappelle que la formule de Héron stipule que l’aire d’un triangle de côtés de longueurs , et et de demi-périmètre est
Le demi-périmètre peut être trouvé en utilisant la formule
On commence par déterminer le demi-périmètre du triangle. On remarque qu’il s’agit de la valeur de dans car c’est la moitié du périmètre du triangle. En utilisant les longueurs des côtés du triangle : 12 cm, 5 cm et 11 cm, son demi-périmètre est
On peut maintenant substituer les longueurs des côtés du triangle dans la formule de Héron pour , et et son demi-périmètre pour , ce qui donne
Comme on a maintenant établi que la moitié du périmètre du triangle décrit dans le problème est 14 cm et que son aire est , on peut utiliser la formule pour calculer le rayon du cercle intérieur touchant les côtés du triangle. Substituer dans la formule donne
Le rayon du cercle vaut .
On conclut maintenant en récapitulant quelques points clés.
Points clés
- La formule de Héron stipule que l’aire d’un triangle de côtés de longueurs , et est où est le demi-périmètre du triangle ou la moitié de son périmètre.
- Le demi-périmètre d’un triangle est donné par la formule suivante : où , et sont les longueurs de ses côtés.
- Le rayon du cercle intérieur touchant les côtés d’un triangle peut être calculé en utilisant la formule où est la moitié du périmètre du triangle.
