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Fiche explicative de la leçon : Formule de Héron Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la formule de Héron pour déterminer l’aire d’un triangle.

Avant d’introduire la formule de Héron en détail, rappelons deux autres formules que nous pouvons utiliser pour trouver l’aire, 𝐴, d’un triangle. La formule que l’on choisit dépend des informations dont on dispose sur le triangle.

On rappelle que pour calculer l’aire d’un triangle dont on connaît la longueur de la base et la hauteur, on peut utiliser la formule suivante:𝐴=12𝑏,𝑏 est la longueur de la base et est la longueur de la hauteur. Pour trouver l'aire du triangle ci-dessous, nous pouvons remplacer 12 cm dans cette formule pour 𝑏 et 4 cm pour :

𝐴=12(4)(12)=24.cm

On rappelle également que 𝐴=12𝑎𝑏𝐶sin est une autre formule que l’on peut utiliser pour calculer l’aire d’un triangle. Pour celle-ci, , 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs de deux côtés du triangle, et 𝐶 est la mesure de l’angle intérieur, ou de l’angle formé par les côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏.

On peut utiliser cette formule pour déterminer l’aire de tout triangle qui possède un angle de mesure connue et qui est formé de deux côtés de longueurs connues. Pour trouver l'aire du triangle suivant, on peut substituer 15 cm et 18 cm dans la formule de 𝑎 and 𝑏 et 30 pour 𝐶:

𝐴=12(15)(18)(30)=12(15)(18)12=67,5.sincm

On suppose maintenant que l’on connaît les longueurs des trois côtés d’un triangle, mais aucune des mesures de ses angles. Avec uniquement ces informations, on ne peut utiliser ni la formule 𝐴=12𝑏 ni la formule 𝐴=12𝑎𝑏𝐶sin pour calculer l’aire du triangle. On peut cependant utiliser la formule de Héron.

Définition : Formule de Héron

La formule de Héron stipule que l’aire, 𝐴, d’un triangle de côtés de longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 est 𝐴=𝑑(𝑑𝑎)(𝑑𝑏)(𝑑𝑐),𝑑 est le demi-périmètre du triangle ou la moitié de son périmètre. Le demi-périmètre du triangle est donné par la formule

𝑑=𝑎+𝑏+𝑐2.

On teste la formule de Héron pour s’assurer que l’on obtient la même aire 𝐴 pour un triangle équilatéral de côté de longueur 2 cm que celle que l’on obtient en utilisant la formule 𝐴=34𝑎.

Dans cette formule, la variable 𝑎 est la longueur du côté du triangle. En remplaçant 𝑎=2 dans cette formule donne 𝐴=34(2)=34(4)=3.cm

On obtient 3cm pour l’aire du triangle. Pour effectuer la comparaison, on va maintenant utiliser la formule de Héron pour trouver l’aire. Pour ce faire, on doit d’abord calculer le demi-périmètre:𝑑=2+2+22=62=3.cm

La formule de Héron donne alors 𝐴=3(32)(32)(32)=3(1)(1)(1)=3.cm

On voit que l’aire du triangle est 3cm, la même réponse que l’on a obtenue précédemment. C’est ce à quoi on s’attendait.

Dans les exemples qui suivent, nous allons étudier d’autres cas où la formule de Héron est utilisée pour calculer non seulement l’aire des triangles, mais aussi l’aire de figures composées de triangles.

Exemple 1: Déterminer l’aire d’un triangle en utilisant la formule de Héron

L'aire du triangle dont la longueur des côtés est 3 cm, 6 cm et 7 cm est équal à cm2.

Réponse

Dans ce problème, on connaît seulement les longueurs des trois côtés du triangle. Comme on ne connaît ni la hauteur du triangle ni aucune mesure de ses angles, on doit utiliser la formule de Héron pour déterminer son aire. On rappelle que la formule de Héron stipule que l’aire 𝐴 d’un triangle de côtés de longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 est 𝐴=𝑑(𝑑𝑎)(𝑑𝑏)(𝑑𝑐),𝑑 est le demi-périmètre du triangle ou la moitié de son périmètre. Le demi-périmètre peut être trouvé en utilisant la formule 𝑑=𝑎+𝑏+𝑐2.

On commence par calculer le demi-périmètre du triangle. On doit substituer chacune des longueurs des côtés du triangle dans la formule du demi-périmètre soit 𝑎, 𝑏, ou 𝑐. Peu importe la longueur du côté que l’on substitue à chaque variable. On remplace ici par 𝑎=3, 𝑏=6 et 𝑐=7 puis on simplifie pour obtenir le demi-périmètre de 𝑑=3+6+72=162=8.cm

On peut maintenant substituer les valeurs dans la formule de Héron pour trouver l’aire du triangle.

Puisque 𝑎=3, 𝑏=6, 𝑐=7 et 𝑑=8, la formule de Héron nous donne 𝐴=8(83)(86)(87)=8(5)(2)(1)=80=45.cm

Ainsi, on peut dire que l'aire du triangle dont la longueur des côtés est 3 cm, 6 cm et 7 cm est 45 cm2.

Dans l’exemple suivant, nous allons également calculer l’aire d’un triangle dont les trois longueurs de côtés sont connues en utilisant la formule de Héron.

Exemple 2: Déterminer l’aire d’un triangle en utilisant la formule de Héron

𝐴𝐵𝐶 est un triangle, où 𝐵𝐶=28cm, 𝐴𝐶=20cm et 𝐴𝐵=24cm. Déterminez l’aire de 𝐴𝐵𝐶 en donnant votre réponse au centimètre carré près.

Réponse

On commence par dessiner le triangle 𝐴𝐵𝐶. On sait que 𝐵𝐶=28cm, 𝐴𝐶=20cm et 𝐴𝐵=24cm.

Comme on connaît les longueurs des trois côtés du triangle, on peut utiliser la formule de Héron pour déterminer son aire. Selon la formule de Héron, l’aire, 𝐴, d’un triangle de côtés de longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 est 𝐴=𝑑(𝑑𝑎)(𝑑𝑏)(𝑑𝑐),𝑑 est le demi-périmètre du triangle. Le demi-périmètre peut être calculé à l’aide de la formule suivante:𝑑=𝑎+𝑏+𝑐2.

En remplaçant 𝑎=28, 𝑏=20 et 𝑐=24 dans la formule du demi-périmètre on obtient 𝑑=28+20+242=722=36.cm

Maintenant, comme 𝑎=28, 𝑏=20, 𝑐=24 et 𝑑=36, la formule de Héron indique que l’aire du triangle est 𝐴=36(3628)(3620)(3624)=36(8)(16)(12)=55296=235,151015.cm

L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 au centimètre carré près est 235 cm2.

Nous allons maintenant utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire d’un losange. Nous rappelons que les côtés d’un losange ont tous la même longueur.

Exemple 3: Déterminer l’aire d’un losange à l’aide de la formule de Héron

Le périmètre du losange donné est 292 cm et la longueur de 𝐴𝐶 est 116 cm. Utilisez la formule de Héron pour calculer l’aire du losange en donnant votre réponse au millième près.

Réponse

On rappelle que la formule de Héron est 𝐴=𝑑(𝑑𝑎)(𝑑𝑏)(𝑑𝑐),𝐴 est l’aire d’un triangle de côtés de longueur 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et un demi-périmètre 𝑑. Le demi-périmètre est donné par la formule 𝑑=𝑎+𝑏+𝑐2.

Afin d’utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire du losange donné, on doit décomposer le losange en deux triangles:le triangle 𝐴𝐵𝐶 et le triangle 𝐴𝐷𝐶. Comme un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur, chacun des côtés du losange 𝐴𝐵𝐶𝐷 doit avoir une longueur de 2924=73.cm

Donc, on sait que les longueurs des côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶 sont 𝐴𝐵=73,𝐵𝐶=73,𝐴𝐶=116.cmcmetcm

Avec ces informations, on peut utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire du triangle. On peut commencer par trouver son demi-périmètre:𝑑=73+116+732=2622=131.cm

On peut ensuite remplacer par 𝑎=73, 𝑏=116, 𝑐=73 et 𝑑=131 dans la formule de Héron pour obtenir l’aire de 𝐴=131(13173)(131116)(13173)=131(58)(15)(58)=6610260.cm

On sait que le triangle 𝐴𝐷𝐶 a la même aire que le triangle 𝐴𝐵𝐶, car les deux triangles ont les côtés de même longueur. Donc, comme le losange 𝐴𝐵𝐶𝐷 est composé des deux triangles, l’aire du losange est égale à 26610260=5142,085180.cm

L’aire du losange au millième près est 5‎ ‎142,085 cm2.

Dans l’exemple qui suit, nous allons calculer l’aire d’une figure composée de deux triangles en utilisant la formule de Héron. Un des deux triangles est un triangle rectangle, et nous allons devoir utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l’un de ses côtés.

Exemple 4: Déterminer l’aire d’un quadrilatère à l’aide de la formule de Héron

Calculez l’aire de la figure ci-dessous à l’aide de la formule de Héron en donnant votre réponse au millième près.

Réponse

On sait que la formule de Héron est 𝐴=𝑑(𝑑𝑎)(𝑑𝑏)(𝑑𝑐),𝐴 est l’aire d’un triangle qui a des côtés de longueur 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et un demi-périmètre de 𝑑. On sait aussi que le demi-périmètre peut être calculé avec la formule 𝑑=𝑎+𝑏+𝑐2.

Afin d’utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire de la figure, on doit la décomposer en deux triangles.

L’un des triangles en lesquels la figure peut être décomposée a des côtés de longueur 16 cm, 20 cm et 23 cm. On commence par trouver l’aire de ce triangle en utilisant la formule de Héron. En substituant les longueurs des trois côtés du triangle dans la formule du demi-périmètre, on obtient 𝑑=16+20+232=592=29,5.cm

Substituer ensuite les longueurs des trois côtés du triangle et son demi-périmètre dans la formule de Héron donne 𝐴=29,5(29,516)(29,520)(29,523)=29,5(13,5)(9,5)(6,5)=245919375=15681,8166.cm

En observant l’autre triangle, on peut voir qu’il s’agit d’un triangle rectangle avec un côté de longueur 16 cm et une hypoténuse de longueur 20 cm. Cependant, on ne connaît pas la longueur du troisième côté du triangle.

Afin de déterminer sa longueur, on peut utiliser le théorème de Pythagore, qui stipule que si un triangle rectangle a des côtés opposé et adjacent de longueurs 𝑎 et 𝑏 et une hypoténuse de longueur 𝑐, alors 𝑎+𝑏=𝑐.

On peut remplacer par 𝑎=16 et 𝑐=20, puis déterminer 𝑏 pour calculer la longueur comme suit:16+𝑏=20,256+𝑏=400,𝑏=144,𝑏=12.cm

On note que l’on doit seulement conserver la racine positive de 144, car une longueur ne peut pas être négative. Donc, les longueurs des trois côtés du deuxième triangle sont 12,16,20.cmcmetcm

Maintenant que l’on connaît les longueurs des trois côtés, on calcule l’aire du triangle. On peut d’abord substituer les longueurs des côtés dans la formule du demi-périmètre pour obtenir 𝑑=12+16+202=482=24.cm

On peut ensuite substituer les longueurs des côtés et le demi-périmètre dans la formule de Héron pour obtenir 𝐴=24(2412)(2416)(2420)=24(12)(8)(4)=9216=96.cm

On remarque que l’on aurait aussi pu utiliser la formule 𝐴=12𝑏 pour déterminer l’aire du triangle, car il s’agit d’un triangle rectangle avec une base de 12 cm et une hauteur de 16 cm. Cette formule donne également une aire de 𝐴=12(12)(16)=96.cm

La combinaison des aires des deux triangles donne une aire totale de 156,818166+96=252,818166cm.

L’aire de la figure au millième près est égale à 252,818 cm2.

Dans le dernier exemple, nous allons utiliser la formule de Héron pour trouver le rayon d’un cercle inscrit dans un triangle.

Exemple 5: Utiliser la formule de Héron pour déterminer le rayon d’un cercle à l’intérieur d’un triangle

Les longueurs des côtés d’un triangle sont 12 cm, 5 cm et 11 cm. Déterminez le rayon du cercle intérieur qui touche les côtés en utilisant la formule suivante:𝑟=𝐴𝐵𝐶𝑃Aire, 𝑃 est la moitié du périmètre du triangle.

Réponse

D’après la formule, 𝑟=𝐴𝐵𝐶𝑃,Aire afin de calculer le rayon du cercle intérieur touchant les côtés du triangle décrit dans le problème, on doit connaître l’aire du triangle et la moitié de son périmètre.

Comme on connaît les longueurs des côtés du triangle, on peut utiliser la formule de Héron pour calculer son aire. On rappelle que la formule de Héron stipule que l’aire 𝐴 d’un triangle de côtés de longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et de demi-périmètre 𝑑 est 𝐴=𝑑(𝑑𝑎)(𝑑𝑏)(𝑑𝑐).

Le demi-périmètre peut être trouvé en utilisant la formule 𝑑=𝑎+𝑏+𝑐2.

On commence par déterminer le demi-périmètre du triangle. On remarque qu’il s’agit de la valeur de 𝑃 dans 𝑟=𝐴𝐵𝐶𝑃,Aire car c’est la moitié du périmètre du triangle. En utilisant les longueurs des côtés du triangle:12 cm, 5 cm et 11 cm, son demi-périmètre est 𝑑=12+5+112=282=14.cm

On peut maintenant substituer les longueurs des côtés du triangle dans la formule de Héron pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et son demi-périmètre pour 𝑑, ce qui donne 𝐴=14(1412)(145)(1411)=14(2)(9)(3)=756=621.cm

Comme on a maintenant établi que la moitié du périmètre du triangle décrit dans le problème est 14 cm et que son aire est 621cm, on peut utiliser la formule 𝑟=𝐴𝐵𝐶𝑃Aire pour calculer le rayon du cercle intérieur touchant les côtés du triangle. Substituer dans la formule donne 𝑟=62114=3721.cm

Le rayon du cercle vaut 3721cm.

On conclut maintenant en récapitulant quelques points clés.

Points clés

  • La formule de Héron stipule que l’aire 𝐴 d’un triangle de côtés de longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 est 𝐴=𝑑(𝑑𝑎)(𝑑𝑏)(𝑑𝑐),𝑑 est le demi-périmètre du triangle ou la moitié de son périmètre.
  • Le demi-périmètre d’un triangle est donné par la formule suivante:𝑑=𝑎+𝑏+𝑐2,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les longueurs de ses côtés.
  • Le rayon du cercle intérieur touchant les côtés d’un triangle peut être calculé en utilisant la formule 𝑟=𝐴𝐵𝐶𝑃,Aire𝑃 est la moitié du périmètre du triangle.

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