Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Formule de Héron Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire d’un triangle.

14:43

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons étudier la formule de Héron. Et ce que nous allons faire est apprendre à utiliser cette formule pour calculer l’aire d’un triangle.

La formule de Héron permet de calculer l’aire d’un triangle lorsque les longueurs des trois côtés sont connues. Au-delà de l’aire d’un triangle, nous apprendrons également à calculer l’aire de figures composées en l’utilisant. Vous pensez peut-être que son nom est assez amusant, la formule de Héron. Je vous rassure, elle n’a pas été établie par un héron! La formule de Héron porte le nom du mathématicien d’Alexandrie qui l’a démontrée. Avant de commencer à l’utiliser dans quelques exemples, nous allons d’abord donner son expression.

La formule de Héron stipule donc que 𝐴, l’aire, est égale à racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les longueurs des côtés du triangle. Très bien. Mais que représente 𝑠? Nous ne l’avons encore jamais rencontré. Eh bien, 𝑠 est en fait le demi-périmètre. Il est donc égal à la moitié du périmètre du triangle et nous pouvons donner sa formule. 𝑠, le demi-périmètre, est égal à 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐 sur deux. Cela est logique car 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐 est le périmètre du triangle. Et si on le divise par deux, on obtient la moitié du périmètre ou le demi-périmètre.

Mais dans quel contexte utilise-t-on la formule de Héron? La formule de Héron est vraiment utile car elle nous permet de calculer l’aire d’un triangle lorsque nous connaissons uniquement ses trois longueurs de côté. Cela signifie que nous n’avons pas besoin de calculer d’autres angles ou d’autres longueurs, hauteurs, côtés en utilisant le théorème de Pythagore, rien de tout ça. Les longueurs des trois côtés sont suffisantes pour calculer l’aire de notre triangle.

Super. Donc nous connaissons maintenant la formule de Héron. Et nous savons comment l’utiliser. Étudions alors quelques exemples. Dans le premier exemple, nous devons simplement substituer trois valeurs dans la formule de Héron.

L’aire du triangle dont les côtés mesurent trois centimètres, six centimètres et sept centimètres est égale à quelque chose centimètres carrés. La question nous demande donc de calculer l’aire du triangle. Et les informations dont nous disposons sont les trois longueurs de côté. Nous savons alors que si nous souhaitons trouver l’aire à partir des trois longueurs de côté, nous pouvons utiliser la formule de Héron. Elle nous dit que pour un triangle de côtés a, b et c, l’aire est égale à racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑠 représente le demi-périmètre, qui est égal à la moitié du périmètre du triangle. Et nous avons sa formule; 𝑠 égale 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐 sur deux.

Très bien. Maintenant que nous avons rappelé la formule de Héron et la formule du demi-périmètre. Nous pouvons les utiliser pour calculer l’aire de notre triangle. Commençons par calculer 𝑠, le demi-périmètre ; il est égal à trois plus six plus sept sur deux, ce qui fait 16 sur deux, soit huit. Le demi-périmètre est donc de huit centimètres. Nous avons maintenant la valeur du demi-périmètre. Et nous pouvons la substituer dans la formule de Héron. On obtient que l’aire est égale à racine carrée de huit fois huit moins trois fois huit moins six fois huit moins sept. En raison de la façon dont cette formule est définie, peu importe quel côté est 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 et on obtient donc racine carrée de huit fois cinq fois deux fois un, ce qui est égal à racine carrée de 80.

On simplifie maintenant racine carrée de 80. Et on obtient racine carrée de 16 fois racine carrée de cinq. Car une des propriétés des racines est en effet que racine carrée de 𝑎 fois racine carrée de 𝑏 égale racine carrée de 𝑎 fois 𝑏. Nous pouvons donc conclure que l’aire du triangle dont les côtés mesurent trois, six et sept centimètres est égale à quatre racine carrée de cinq centimètres carrés.

Voilà donc notre premier exemple. Nous allons maintenant passer à l’exemple suivant, qui est similaire malgré une notation légèrement différente.

𝐴𝐵𝐶 est un triangle, où 𝐵𝐶 égale 28 centimètres, 𝐴𝐶 égale 20 centimètres et 𝐴𝐵 égale 24 centimètres. Calculez l’aire de 𝐴𝐵𝐶 en donnant votre réponse au centimètre carré près.

La première chose à faire est de tracer un schéma rapide pour visualiser ce qui se passe. Nous avons donc un triangle. Et dans ce triangle, nous connaissons les longueurs de chacun des trois côtés. Comme nous connaissons les longueurs de tous les côtés du triangle et que nous souhaitons calculer son aire, nous allons utiliser la formule de Héron. Rappelons-la rapidement: pour un triangle de côtés de longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐, l’aire de ce triangle est égale à racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑠 est le demi-périmètre, ou la moitié du périmètre du triangle. Et nous pouvons le calculer en additionnant les longueurs de chacun des côtés, 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐, puis en le divisant par deux.

La première chose que nous allons donc faire est de calculer 𝑠. On doit pour cela additionner les longueurs des trois côtés, donc 28 plus 20 plus 24, puis diviser cela par deux. Et on obtient un demi-périmètre de 36 centimètres. Par conséquent, l’aire est égale à racine carrée de 36 fois 36 moins 28 fois 36 moins 20 fois 36 moins 24, ce qui fait racine carrée de 55 296. Et cela est égal à 235,1510153. Mais s’agit-il de la réponse finale? Eh bien, non, car si nous revenons à la question, nous voyons que nous devons donner une réponse au centimètre carré près. Nous pouvons donc conclure que l’aire du triangle est égale à 235 centimètres carrés au centimètre carré le plus proche.

Nous avons jusqu’à présent vu quelques exemples d’utilisation de la formule de Héron pour calculer l’aire d’un triangle. Nous allons maintenant nous pencher sur une question où nous devons utiliser la formule de Héron pour calculer l’aire d’un losange.

Le périmètre du losange ci-dessous est de 292 centimètres et la longueur de 𝐴𝐶 est de 116 centimètres. Utilisez la formule de Héron pour calculer l’aire du losange, en donnant votre réponse au millième près.

Commençons par rappeler la formule de Héron. Pour un triangle côtés , son aire est égale à racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑠 est le demi-périmètre que l’on peut calculer en additionnant les longueurs de chacun des côtés du triangle, 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐, puis en le divisant par deux. Cette formule est très utile. Nous revenons maintenant au schéma et nous voyons que nous avons un losange. En observant la diagonale du losange, nous voyons qu’elle le divise en deux triangles superposables. Nous ne connaissons cependant qu’un seul côté de ce triangle. Mais nous pouvons utiliser le périmètre du losange pour nous aider à déterminer les longueurs des autres côtés. Dans un losange, chaque côté est en effet de même longueur.

Donc, si on appelle 𝑥 la longueur d’un des côtés du losange, on peut dire que 𝑥 est égal à 292 divisé par quatre. Soit 73. Chaque côté du losange mesure 73 centimètres. Et plus important encore, si nous regardons le triangle orange, nous avons maintenant un triangle dont nous connaissons les longueurs des trois côtés: 116, 73 et 73. La première chose que nous allons donc faire est de calculer son demi-périmètre. Et on additionne pour cela les longueurs des côtés, donc 116 plus 73 plus 73, puis on divise par deux. Cela nous donne un demi-périmètre de 131 centimètres.

Très bien. Nous pouvons maintenant substituer le demi-périmètre et les longueurs des côté dans la formule de Héron. On obtient alors que l’aire est égale à racine carrée de 131 fois 131 moins 116 fois 131 moins 73 fois 131 moins 73, ce qui est égal à 2 571,0425 et cetera. Nous pourrions penser: « Super! Nous avons calculé l’aire. Pouvons-nous conclure? » Malheureusement non. Et pourquoi donc? Eh bien si nous revenons à notre losange, il est en fait constitué de deux triangles superposables. Nous devons donc multiplier l’aire par deux. Nous obtenons alors 5 142,08518 et cetera. Et concernant le degré de précision, nous rappelons que la question demande une réponse au millième près. Après arrondi, nous pouvons donc conclure que l’aire du losange est de 5 142,085 centimètres carrés, et ce au millième près.

Nous avons maintenant étudié plusieurs questions. Et il nous reste deux autres exemples. Dans le prochain exemple, nous allons étudier une figure composée qui est donc plus complexe. Et nous utiliserons la formule de Héron pour calculer son aire, ce qui correspond à l’un des objectifs de la leçon. Le dernier exemple sera un problème à résoudre où nous devrons déterminer le rayon d’un cercle.

Calculez l’aire de la figure ci-dessous en utilisant la formule de Héron et en donnant votre réponse au millième près.

Commençons par rappeler la formule de Héron. Elle nous permet de calculer l’aire d’un triangle si nous connaissons les trois longueurs de côté. Ainsi, pour le triangle de côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐 par exemple, son aire est égale à racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑠 est le demi-périmètre que l’on peut trouver en additionnant les trois longueurs de côté, 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐, puis en le divisant par deux.

En observant la figure, nous voyons qu’elle est composée de deux triangles, le triangle 𝐴 et le triangle 𝐵. Nous commençons donc par le triangle 𝐵. Nous connaissons en effet les trois côtés de ce triangle. Et la première chose que nous faisons est de calculer le demi-périmètre du triangle 𝐵. Il est égal à la somme des trois longueurs de côtés sur deux, donc 20 plus 23 plus 16 sur deux, ce qui nous donne un demi-périmètre de 29,5 centimètres.

Très bien. Nous pouvons donc maintenant substituer ces valeurs dans la formule de Héron pour trouver l’aire du triangle 𝐵. L’aire du triangle est donc égale à racine carrée de 29,5 fois 29,5 moins 20 fois 29,5 moins 23 fois 29,5 moins 16, ce qui est égal à 156,818166 et cetera centimètres carrés. OK. Nous n’arrondissons pas encore car nous ne souhaitons pas faire d’erreur d’arrondi avant la réponse finale. Nous avons donc l’aire du triangle 𝐵.

Passons maintenant au triangle 𝐴. Pour le triangle 𝐴, nous ne connaissons que deux longueurs de côté, nous devons donc déterminer la troisième pour pouvoir calculer l’aire du triangle. Soit 𝑥 la longueur du troisième côté. Comme A est un triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Il stipule que pour tout triangle rectangle, 𝑎 carré plus 𝑏 carré égale 𝑐 carré, où 𝑐 est l’hypoténuse ou le côté le plus long. Nous devons cependant réarranger cette formule car le côté que nous cherchons est le côté le plus court. On obtient donc 𝑥 carré égale 20 au carré moins 16 au carré. Soit 𝑥 égale racine carrée de 144. Par conséquent, la longueur 𝑥 est de 12 centimètres.

Nous connaissons maintenant les trois longueurs de côté de notre triangle. Et nous pourrions utiliser la formule de Héron. Cependant, en raison du type de triangle, nous rappelons plutôt que l’aire d’un triangle est égale à un demi de sa base fois sa hauteur, car nous connaissons ces deux longueurs. Par conséquent, l’aire du triangle 𝐴 est égale à un demi fois 12 fois 16, ce qui est égal à 96 centimètres carrés. L’étape finale pour calculer l’aire totale est maintenant d’additionner les aires des deux triangles. Nous obtenons alors 252,8181 etc. La question demande cependant une réponse au millième, la réponse finale est donc 252,818 centimètres carrés au millième près.

Très bien. Nous allons maintenant passer à notre dernier exemple.

Les longueurs de côté d’un triangle sont 12 centimètres, cinq centimètres et 11 centimètres. Calculez le rayon du cercle intérieur touchant ses côtés en utilisant la formule 𝑟 égale aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 sur 𝑝, où 𝑝 est égal à la moitié du périmètre du triangle.

Pour pouvoir utiliser cette formule du rayon du cercle, nous devons trouver l’aire du triangle. Et nous connaissons les longueurs de ses trois côtés: 12, cinq et 11. Si nous connaissons les trois longueurs de côté d’un triangle, alors nous pouvons utiliser la formule de Héron pour calculer son aire. Et elle nous dit que l’aire est égale à racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les longueurs de côté du triangle. Et 𝑠 est égal à 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐 sur deux car il s’agit du demi-périmètre du triangle. Cela rejoint la formule du rayon qui indique qu’il est égal à l’aire du triangle sur 𝑝, où 𝑝 est égal à la moitié du périmètre du triangle. est donc égal à 𝑠 car ils représentent tous les deux le demi-périmètre ou la moitié du périmètre du triangle.

La première chose que nous devons faire est de calculer l’aire du triangle. Et pour cela, nous devons d’abord calculer le demi-périmètre 𝑝, la moitié du périmètre du triangle. Il est égal à 12 plus cinq plus 11 sur deux. Soit 14 centimètres. Très bien, nous pouvons donc maintenant substituer ces valeurs dans la formule de Héron. On obtient alors que l’aire est égale à racine carrée de 14 fois 14 moins 12 fois 14 moins cinq fois 14 moins 11, ce qui est égal à racine carrée de 756. En simplifiant, on obtient six racine carrée de 21. Nous le conservons sous forme de racine par précision et l’unité de cette valeur est le centimètre carré car elle représente une aire.

Très bien. Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour la formule du rayon. Nous traçons un petit schéma parce que ce que nous essayons de trouver est le rayon du cercle intérieur qui touche les côtés de notre triangle. Nous pouvons donc dire que le rayon est égal à six racine carrée de 21 sur 14. Car le demi-périmètre était égal à 14. Et nous avions déjà dit qu’il était égal à 𝑝. Nous pouvons donc donner notre réponse finale: le rayon du cercle intérieur est de trois sur sept racine carrée de 21 centimètres.

Nous avons donc étudié une série d’exemples couvrant tous les objectifs de la leçon. Et nous allons maintenant terminer par simplement récapituler les points clés. Eh bien, le premier et principal point clé est la formule de Héron. Elle nous permet de calculer l’aire d’un triangle lorsque nous connaissons les trois longueurs de côté. 𝐴 égale racine carrée de 𝑠 fois 𝑠 moins 𝑎 fois 𝑠 moins 𝑏 fois 𝑠 moins 𝑐, où 𝑠 est le demi-périmètre. Il est donc égal à la moitié du périmètre du triangle. Et on l’obtient en additionnant les longueurs de côtés, donc 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐, puis en le divisant par deux.

Nous avons également présenté une adaptation intéressante de la formule de Héron permettant de calculer le rayon du cercle intérieur touchant les côtés d’un triangle. Et cette formule donne 𝑟 égale l’aire du triangle, que l’on peut trouver en utilisant la formule de Héron, sur 𝑝, ou en fait 𝑠, car il s’agit du demi-périmètre ou de la moitié du périmètre du triangle.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.