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Si 𝐴 est une matrice d’ordre trois trois telle que le déterminant de 𝐴 est deux, alors déterminez le déterminant de deux 𝐴.
Nous rappelons la propriété des déterminants qui dit que pour toute matrice carrée 𝐴 d’ordre 𝑛 𝑛 et un scalaire 𝑘, le déterminant de 𝑘𝐴 est égal à 𝑘 à la puissance 𝑛 fois le déterminant de 𝐴. Dans cette question, on nous dit que la matrice 𝐴 est d’ordre trois trois, ce qui signifie qu’elle a trois lignes et trois colonnes. On nous dit aussi que le déterminant de la matrice 𝐴 vaut deux.
Pour répondre à cette question, nous devons trouver le déterminant de deux 𝐴. Puisque 𝐴 est une matrice trois trois, 𝑛 est égal à trois. Nous utiliserons un scalaire 𝑘 de deux. Par conséquent, selon la propriété des déterminants, en utilisant 𝑛 est égal à trois et 𝑘 est égal à deux, nous constatons que le déterminant de deux 𝐴 vaut deux à la puissance trois fois le déterminant de 𝐴. Soit huit fois le déterminant de 𝐴. Or, le déterminant de 𝐴 vaut deux. Par conséquent, le déterminant de deux 𝐴 est égal au produit de huit et deux, qui est 16.
En conclusion, étant donné une matrice trois trois 𝐴 avec un déterminant de deux, le déterminant de deux 𝐴 vaut 16.
