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Déterminez, s'ils existent, le maximum local et le minimum local de 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins quatre fois le logarithme népérien de 𝑥.
Les maxima et minima locaux sont des exemples de points critiques. Et nous savons que pour une fonction 𝑓 de 𝑥, ses points critiques sont les points où sa dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, est égale à zéro ou est indéfinie. Nous devons donc trouver une expression de la dérivée première de cette fonction. Pour dériver chacun des deux premiers termes, on peut rappeler la règle des puissances. La dérivée de trois 𝑥 au carré est égale à trois multiplié par deux 𝑥. Et la dérivée de moins deux 𝑥 est égale à moins deux. Nous devons ensuite nous rappeler comment dériver un logarithme népérien. Eh bien, nous devons nous rappeler que la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme népérien de 𝑥 est égale à un sur 𝑥.
Ainsi, la dérivée de moins quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 est moins quatre multiplié par un sur 𝑥 ou moins quatre sur 𝑥. Nous avons alors l’expression de la dérivée première : 𝑓 prime de 𝑥 égale six 𝑥 moins deux moins quatre sur 𝑥. Nous posons ensuite cette expression égale à zéro, ce qui donne six 𝑥 moins deux moins quatre sur 𝑥 égal zéro. Et nous allons résoudre l’équation obtenue. Pour se débarrasser de la fraction, nous pouvons multiplier les deux membres de l’équation par 𝑥, ce qui donne six 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins quatre égal zéro, une équation du second degré en 𝑥. Nous pouvons simplifier en divisant par deux pour avoir trois 𝑥 au carré moins 𝑥 moins deux égal zéro. Et puis nous verrons si ce polynôme peut être factorisé. En fait, il peut l’être. Et comme le coefficient de 𝑥 au carré et le terme constant sont tous deux des nombres premiers, nous pouvons le faire en testant des valeurs
Nous trouvons que nos facteurs sont trois 𝑥 plus deux multipliés par 𝑥 moins un. Nous prenons ensuite chaque facteur et le mettons à zéro, puis résolvons l’équation linéaire résultante. Notre première équation, trois 𝑥 plus deux égal zéro, conduit à 𝑥 égale moins deux tiers. Et notre deuxième équation, 𝑥 moins un égal zéro, conduit à 𝑥 égale un. Nous trouvons donc deux valeurs de 𝑥 pour lesquelles cette fonction 𝑓 de 𝑥 a des points critiques. Rappelez-vous cependant que nous avons dit que les points critiques existent quand la dérivée première est égale à zéro ou n’existe pas. Donc, nous devons aussi vérifier s’il y a des valeurs de 𝑥 pour lesquelles notre dérivée première ne sera pas définie. Eh bien, comme nous avons ce facteur moins quatre sur 𝑥 dans la définition de 𝑓 prime de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥 n’existe pas lorsque 𝑥 est égal à zéro car la division par zéro est indéfinie.
Cependant, si nous regardons la fonction initiale 𝑓 de 𝑥, nous voyons qu’elle inclut le terme moins quatre fois le logarithme népérien de 𝑥. Et les logarithmes ne sont définis que pour les valeurs positives de 𝑥. Ainsi, l’ensemble de définition de notre fonction d’origine 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 supérieur à zéro. Cette valeur, 𝑥 égale zéro, n’est pas incluse dans l’ensemble de définition de notre fonction d’origine. Et par conséquent, nous ne devons pas nous inquiéter du fait que 𝑓 prime de 𝑥 ne soit pas définie pour cette valeur de 𝑥. Pour cette même raison, nous voyons que si 𝑥 égale moins deux tiers est une solution parfaitement valable pour l’équation du second degré, ce n’est pas une solution valable lorsque nous parlons de points critiques car cette valeur 𝑥 n’est pas dans le domaine de définition de la fonction initiale. Donc, en fait, nous constatons qu’il n’y a qu’une seule valeur 𝑥 en laquelle notre fonction 𝑓 de 𝑥 admet un point critique. C’est quand 𝑥 est égal à un.
Ensuite, nous devons évaluer la fonction en ce point critique. Nous remplaçons donc 𝑥 par un dans notre définition de 𝑓 de 𝑥, ce qui donne trois multiplié par un au carré moins deux multiplié par un moins quatre multiplié par le logarithme népérien de un. Maintenant, nous devons rappeler que le logarithme népérien de un vaut zéro. Donc, cela est égal à trois moins deux, c’est-à-dire un. Nous savons alors que notre fonction 𝑓 de 𝑥 admet un point critique, au point de coordonnées un, un. Mais nous ne savons pas encore s’il s’agit d’un minimum local ou d’un maximum local. Pour déterminer cela, nous devons considérer la forme de la fonction autour de ce point, ce que nous pouvons faire en effectuant le test de la dérivée première.
Nous savons que la dérivée première de notre fonction est égale à zéro au point critique. C’est lorsque 𝑥 est égal à un. Nous choisissons ensuite des valeurs de 𝑥 de chaque côté de notre point critique et considérons le signe de la dérivée première pour chacun de ces points. Généralement, nous essayons de choisir les valeurs entières les plus proches de chaque côté de nos points critiques, c’est-à-dire zéro et deux ici. Mais comme notre fonction n’est définie que pour 𝑥 strictement supérieur à zéro, Nous choisirons 𝑥 égale un demi pour être la valeur 𝑥 à gauche de notre point critique. Lorsque 𝑥 est égale à un demi, la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est égale à six multiplié par un demi moins deux moins quatre sur un demi. C’est trois moins deux moins quatre fois deux, soit huit, ce qui est égal à moins sept. Et donc, nous constatons que la dérivée première sera négative lorsque 𝑥 est égale à un demi. C’est à gauche du point critique.
Lorsque 𝑥 est égal à deux, 𝑓 prime de 𝑥 sera égale à six multiplié par deux moins deux moins quatre sur deux. Cela fait 12 moins deux moins deux, ce qui est égal à huit. Et donc, nous constatons que la dérivée première de notre fonction est positive à droite de notre point critique. Nous considérons ensuite la forme de la courbe. En voyageant de gauche à droite, la dérivée première passe de négative à zéro puis en positive. Et donc, nous voyons que ce point critique est un minimum local. Nous pouvons alors conclure que notre fonction 𝑓 de 𝑥 a un minimum local qui est égal à un, et il est atteint lorsque 𝑥 est également égal à un.
