Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Fiche explicative de la leçon : Points critiques et extremums locaux d’une fonction Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver les points critiques d’une fonction et à identifier la nature des extrema locaux en utilisant le test de la dérivée première.

Il est possible de définir un maximum ou un minimum local sans avoir recours à la dérivée.

Définition : Maximum et minimum locaux

Soit 𝑓 une fonction définie sur un certain intervalle et présentant un extremum local en 𝑥=𝑎. Pour un 𝛿>0 suffisamment petit et pour tout 𝑥 de l’intervalle ]𝑎𝛿;𝑎+𝛿[,

  • si 𝑓(𝑥)𝑓(𝑎), alors 𝑥=𝑎 est un maximum local;
  • si 𝑓(𝑥)𝑓(𝑎), alors 𝑥=𝑎 est un minimum local.

Ces définitions sont intuitives;elles signifient qu’en 𝑥=𝑎, la valeur de la fonction est la plus grande ou la plus petite possible pour 𝑥 restreint à un intervalle suffisamment petit autour de 𝑥=𝑎, selon s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum local. En pratique, il est cependant plus facile de déterminer les maxima et minima locaux d’une fonction en trouvant d’abord ses points critiques et en déterminant ensuite leurs natures grâce au test de la dérivée première.

Il nous faut donc définir ce qu’est un point critique.

Définition : Point critique

Le point (𝑥;𝑦) est un point critique de 𝑦=𝑓(𝑥) si 𝑥 appartient à l'ensemble de définition de la fonction 𝑓(𝑥) et si 𝑓(𝑥)=0𝑓(𝑥).ounestpasdénie

Il existe trois types de points critiques:les minima locaux, les maxima locaux et les points d’inflexion.

Pour déterminer les points critiques d’une fonction, on pose sa dérivée première égale à zéro, puis on résout cette équation pour trouver les valeurs de 𝑥. On doit aussi vérifier s’il existe des valeurs de 𝑥 appartenant à l’ensemble de définition de la fonction pour lesquelles sa dérivée première n’est pas définie. On remplace ensuite la variable 𝑥 dans la fonction 𝑦=𝑓(𝑥) pour trouver les valeurs de 𝑦 correspondantes et l’on obtient ainsi les coordonnées (𝑥;𝑦) des points critiques.

Pour une fonction dérivable, lorsque la dérivée s’annule, les points critiques sont aussi appelés points stationnaires. En ces points, la fonction n’est ni croissante ni décroissante, d’où le nom de stationnaire.

Soit la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥 définie sur l’ensemble des réels . La dérivée première de cette fonction est 𝑓(𝑥)=2𝑥2.

Puisque cette dérivée est définie pour tout 𝑥, il nous suffit, pour trouver les points critiques, de déterminer les valeurs de 𝑥 pour lesquelles elle s’annule. On doit donc résoudre l’équation 2𝑥2=0𝑥=1.

Il y a donc un point critique en 𝑥=1. On peut évaluer la fonction en ce point pour trouver 𝑓(1)=(1)2(1)=1.

Donc, (1;1) est un point critique de notre fonction.

Examinons maintenant le cas d’un point critique donné par une dérivée première non pas nulle mais non définie. Soit la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥=𝑥.

Sa dérivée première est 𝑓(𝑥)=12𝑥=12𝑥,une expression qui ne peut être nulle mais qui est n’est pas définie en 𝑥=0, car on aurait alors une division par zéro. Cependant, la fonction elle-même est définie en ce point;en effet, 𝑓(0)=0, donc (0;0) est un point critique de cette fonction.

Pour déterminer si un point critique est un maximum local, un minimum local ou un point d’inflexion, on peut utiliser le test de la dérivée première;celui-ci consiste à étudier le signe de la dérivée première au voisinage du point critique.

Le test de la dérivée première nous donne les renseignements suivants.

Définition : Test de la dérivée première

Soit 𝑓 une fonction définie sur un certain intervalle contenant le point critique 𝑥=𝑎. Alors, pour un 𝜖>0 suffisamment petit,

  1. si 𝑓(𝑎𝜖)>0 et 𝑓(𝑎+𝜖)<0 (i.e., 𝑓(𝑥) est positive à gauche de 𝑥=𝑎 et négative à droite), alors 𝑥=𝑎 est un maximum local;
  2. si 𝑓(𝑎𝜖)<0 et 𝑓(𝑎+𝜖)>0 (i.e., 𝑓(𝑥) est négative à gauche de 𝑥=𝑎 et positive à droite), alors 𝑥=𝑎 est un minimum local;
  3. si 𝑓(𝑎𝜖)>0 et 𝑓(𝑎+𝜖)>0 ou 𝑓(𝑎𝜖)<0 et 𝑓(𝑎+𝜖)<0 (i.e., 𝑓(𝑥) est du même signe à gauche et à droite de 𝑥=𝑎), alors 𝑥=𝑎 est un point d’inflexion.

Ces propriétés sont une conséquence du théorème des accroissements finis.

Lorsqu’il s’agit de maxima et de minima locaux, les points marquant un changement de signe de la dérivée sont aussi appelés des points tournants;cependant, tous les points critiques ne sont pas des points tournants.

Si la fonction est définie sur un certain intervalle [𝑝;𝑞] et si 𝑥=𝑎 est le seul point critique sur cet intervalle, alors on doit vérifier le signe de la dérivée première pour 𝑥 compris dans les intervalles [𝑝;𝑎[ et ]𝑎;𝑞] et constater ainsi s’il y a un changement de signe. Si notre intervalle comprend 𝑁 points critiques 𝑥=𝑎,𝑎,,𝑎 tels que 𝑎<𝑎<<𝑎, alors on doit vérifier le signe de la dérivée première sur chacun des intervalles suivants:[𝑝;𝑎[,]𝑎;𝑎[,]𝑎;𝑎[,,]𝑎;𝑎[,]𝑎;𝑞].

Si la fonction est définie sur tout entier et a pour seul point critique 𝑥=𝑎, alors on doit vérifier le signe de la dérivée sur les intervalles ];𝑎[ et ]𝑎;+[. De la même manière, si la fonction admet 𝑁 points critiques, alors il faut déterminer le signe de la dérivée première sur chacun des intervalles suivants:];𝑎[,]𝑎;𝑎[,]𝑎;𝑎[,,]𝑎;𝑎[,]𝑎;+[.

Pour déterminer le signe de la dérivée première sur ces intervalles, on peut en fait se contenter de tester une seule valeur dans chacun d’entre eux. Cela suffira pour déterminer la nature de nos points critiques (maximum local, minimum local ou point d’inflexion).

Soit la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥+32𝑥6𝑥+1. On peut trouver ses points critiques en annulant sa dérivée première:𝑓(𝑥)=3𝑥+3𝑥6=0.

Ainsi, pour déterminer les points critiques, il nous faut résoudre l’équation du second degré suivante:3𝑥+3𝑥6=03𝑥+𝑥2=03(𝑥1)(𝑥+2)=0.

Donc, les points critiques se trouvent en 𝑥=1 et 𝑥=2. On peut aussi évaluer la fonction pour ces valeurs de 𝑥, ce qui nous donne 𝑓(1)=(1)+32(1)6(1)+1=52,𝑓(2)=(2)+32(2)6(2)+1=11.

Donc, les points critiques sont les points (2;11) et 1;52.

Appliquons maintenant le test de la dérivée première;on doit déterminer le signe de la dérivée pour des valeurs tests de 𝑥 comprises dans les intervalles ];2[, ]2;1[ et ]1;+[;on choisit 𝑥=3;0 et 2 respectivement. On évalue ensuite la dérivée première en chacun de ces points et on obtient 𝑓(3)=3(3)+3(3)6=12>0,𝑓(0)=3(0)+3(0)6=6<0,𝑓(2)=3(2)+3(2)6=12>0.

On peut regrouper ces résultats dans un tableau de variations montrant le signe de la dérivée première sur les intervalles délimités par les points critiques:

𝑥32012
𝑓(𝑥)> 00< 00> 0

On constate que le signe de la dérivée première passe du positif au négatif en 𝑥=2, tandis qu’il passe du négatif au positif en 𝑥=1.

Donc, on a un maximum local au point (2;11) et un minimum local au point 1;52. Aucun point critique de notre fonction n’est un point d’inflexion.

Imaginons maintenant que cette même fonction soit définie sur l’intervalle [0;5];pour déterminer les valeurs critiques, on s’y prendrait de la même façon que précédemment, mais l’on ignorerait celles qui n’appartiennent pas à l’intervalle donné. Ainsi, seule la valeur critique 𝑥=1 serait prise en compte, car elle appartient bien à l’ensemble de définition de notre fonction;pour appliquer le test de la dérivée première, il nous suffirait de déterminer le signe de la dérivée en une valeur de 𝑥 choisie dans l’intervalle [0;1[ et en une autre choisie dans l’intervalle ]1;5]. On obtiendrait les mêmes résultats que précédemment puisque les valeurs tests que l’on avait choisies lorsque la fonction était définie sur l’ensemble des réels ( 𝑥=0 et 𝑥=2 ) appartenaient à ces intervalles.

Passons maintenant à quelques exemples pour mettre en pratique et approfondir nos connaissances. Dans le premier exemple, il nous suffira de trouver les points critiques d’une fonction définie sur un intervalle;nous n’aurons pas à déterminer leur nature.

Exemple 1: Trouver le point critique d’une fonction cubique sur un intervalle donné

Déterminez les points critiques de la fonction 𝑦=8𝑥 sur l’intervalle [2;1].

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer les points critiques (𝑥;𝑦) d’une fonction polynomiale cubique définie sur un intervalle donné.

Les fonctions polynômiales étant continues et dérivables sur tout leur ensemble de définition, pour trouver les points critiques il nous suffira de déterminer les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la dérivée première de 𝑦 s’annule:dd𝑦𝑥=24𝑥=0𝑥=0.

Il y a donc un point critique en 𝑥=0, car cette valeur appartient bien à l’intervalle [2;1]. On peut trouver la valeur de 𝑦 en remplaçant 𝑥 dans la fonction;on obtient alors 𝑦=8(0)=0.

Le point critique est donc le point (0;0).

Dans le prochain exemple, nous devrons trouver les points critiques d’une fonction polynomiale définie sur l’ensemble des réels , mais aussi appliquer le test de la dérivée première pour distinguer les minima locaux des maxima locaux.

Exemple 2: Trouver les valeurs des maxima et minima locaux d’une fonction polynomiale et les valeurs de 𝑥 où ils se produisent

Déterminez, si elles existent, les valeurs des maxima et minima locaux de 𝑓(𝑥)=2𝑥9𝑥12𝑥15 ainsi que leurs abscisses.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver les points critiques (𝑥;𝑓(𝑥)) d’une fonction polynomiale cubique définie sur toute la droite réelle. En particulier, nous devons trouver ceux qui correspondent à des valeurs maximales et minimales locales. Les fonctions polynomiales étant continues et dérivables sur tout leur ensemble de définition, la dérivée est définie en tout point. Il nous suffira donc de trouver les points pour lesquels la dérivée de la fonction 𝑓(𝑥) s’annule;ainsi, on écrit:𝑓(𝑥)=6𝑥18𝑥12=0.

Donc, pour déterminer les points critiques, il nous faut résoudre l’équation du second degré suivante:6𝑥18𝑥12=06𝑥+3𝑥+2=06(𝑥+2)(𝑥+1)=0.

Les points critiques se trouvent donc en 𝑥=1 et 𝑥=2. On peut remplacer 𝑥 par ces valeurs dans notre fonction pour trouver 𝑓(1)=2(1)9(1)12(1)15=10,𝑓(2)=2(2)9(2)12(2)15=11.

Ainsi, les points critiques sont les points (1;10) et (2;11).

Pour déterminer si ces points sont des maxima ou des minima locaux, on peut utiliser le test de la dérivée première;ici, il nous faut vérifier le signe de la dérivée pour 𝑥 compris dans les intervalles ];2[, ]2;1[ et ]1;+[. Dans chacun de ces intervalles, on peut choisir les valeurs tests 𝑥=3;1,5 et 0 respectivement. On évalue alors la dérivée première en chacun de ces points et on trouve 𝑓(3)=6(3)18(3)12=12<0,𝑓(1,5)=6(1,5)18(1,5)12=1,5>0,𝑓(0)=6(0)18(0)12=12<0.

On peut regrouper ces résultats dans un tableau de variations montrant le signe de la dérivée première sur les intervalles délimités par les points critiques:

𝑥321,510
𝑓(𝑥)< 00> 00< 0

On constate que le signe de la dérivée passe du négatif (<0) au positif (>0) en 𝑥=2;donc, le test de la dérivée première nous permet de conclure que le point critique (2;11) est un minimum local. De même, le signe de la dérivée passe du positif au négatif en 𝑥=1, donc le point critique (1;10) est un maximum local.

À noter que, puisque les fonctions polynômiales sont continues et que l’on n’avait ici que deux points critiques, on aurait pu arriver au même résultat en calculant simplement les valeurs de la fonction, c’est-à-dire les coordonnées 𝑦, aux deux valeurs critiques trouvées.

En effet, dans notre cas, l’une correspond nécessairement à un maximum et l’autre à un minimum;on aurait donc pu se contenter de comparer les valeurs de la fonction en ces points, constater que 𝑓(2)<𝑓(1) et en conclure que (2;11) est un minimum et (1;10) un maximum.

Donc, le maximum local est de 10 en 𝑥=1, et le minimum local est de 11 en 𝑥=2.

L’exemple suivant est similaire, mais au lieu de devoir trouver les valeurs critiques, nous devons déterminer les coefficients d’un polynôme à partir d’une valeur critique qui nous est donnée.

Exemple 3: Trouver les coefficients manquants d’une fonction du second degré à partir de sa valeur minimale

Sachant que la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥+𝐿𝑥+𝑀 atteint un minimum égal à 2 en 𝑥=1, déterminez les valeurs de 𝐿 et 𝑀.

Réponse

Dans cet exemple, nous connaissons la valeur et la nature d’un point critique et nous devons utiliser ces informations pour déterminer les coefficients d’une équation du second degré.

Puisque 𝐿 et 𝑀 sont des constantes, on peut appliquer les règles de dérivation usuelles pour les puissances et obtenir ainsi la dérivée première 𝑓(𝑥)=2𝑥+𝐿.

Étant donné que 𝑥=1 est une valeur critique, on sait que la dérivée première s’annule en ce point. Cela nous permet de déterminer le coefficient 𝐿:𝑓(1)=2(1)+𝐿=0𝐿=2.

On nous dit dans l’énoncé que la fonction atteint un minimum de 2 en 𝑥=1, donc 𝑓(1)=2;on utilise cela pour déterminer le coefficient 𝑀:𝑓(1)=(1)+2(1)+𝑀=2𝑀=3.

On peut éventuellement pousser notre réponse plus loin en appliquant le test de la dérivée première pour vérifier si ce point est bien un minimum local. On prend pour valeurs tests 𝑥=2 dans l’intervalle ];1[ et 𝑥=0 dans l’intervalle ]1;+[. On a alors 𝑓(2)=2(2)+2=2<0,𝑓(0)=2(0)+2=2>0.

𝑥210
𝑓(𝑥)< 00> 0

On constate que le signe de la dérivée première passe du négatif au positif en 𝑥=1;il s’agit donc bien d’un minimum local.

En fait, la courbe d’une fonction du second degré présente toujours un unique point stationnaire, dont la nature dépend du signe du coefficient dominant (le terme en 𝑥). En raison de la forme de la courbe dans chacun des cas, si le coefficient dominant est positif, le point stationnaire est un minimum;s’il est négatif, c’est un maximum.

Ici, le coefficient dominant de 𝑓(𝑥) est positif, donc on peut en déduire, sans même avoir recours au test de la dérivée première, que la fonction atteint un minimum local.

En résumé, les valeurs de 𝐿 et 𝑀 sont 𝐿=2,𝑀=3.

Dans le prochain exemple, nous verrons comment déterminer la valeur d’un maximum local en utilisant la règle de dérivation du produit sur une fonction impliquant une exponentielle.

Exemple 4: Trouver la valeur maximale locale d’une fonction en utilisant la règle du produit avec des fonctions exponentielles

Déterminez à quel endroit de son ensemble de définition la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑥𝑒 atteint un maximum local et donnez la valeur de ce maximum.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer le maximum local d’une fonction donnée par un produit entre une fonction exponentielle et une fonction du second degré.

Commençons par déterminer la dérivée première. On rappelle que pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la règle du produit est (𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣.

On pose 𝑢=3𝑥 et 𝑣=𝑒 et on trouve que 𝑢=6𝑥 et 𝑣=𝑒;donc, 𝑓(𝑥)=3𝑥(𝑒)+(6𝑥)(𝑒)=3𝑥𝑒(2𝑥).

Cette dérivée définie pour tout 𝑥;il nous suffira donc de trouver les points critiques tels que 𝑓(𝑥)=0;ainsi, on doit résoudre 3𝑥𝑒(2𝑥)=0.

Puisque 𝑒 ne peut être nul, on peut multiplier notre expression par 𝑒 pour trouver 3𝑥(2𝑥)=0.

Les solutions de 𝑓(𝑥)=0 sont 𝑥=0 et 𝑥=2, donc les points critiques se trouvent en ces valeurs. On évalue la fonction pour ces valeurs de 𝑥 et on trouve 𝑓(0)=3(0)𝑒=0,𝑓(2)=3(2)𝑒=12𝑒.()

Donc, les points critiques sont les points (0;0) et 2;12𝑒. On peut maintenant appliquer le test de la dérivée première pour déterminer leur nature;ici, on doit vérifier le signe de la dérivée première sur les intervalles ];0[, ]0;2[ et ]2;+[;on choisit les valeurs tests 𝑥=1;1 et 3 respectivement.

On évalue la dérivée première en ces points et on trouve 𝑓(1)=3(1)𝑒(2+1)=9𝑒<0,𝑓(1)=3(1)𝑒(21)=3𝑒>0,𝑓(3)=3(3)𝑒(23)=9𝑒<0.

On peut regrouper ces résultats dans un tableau de variations montrant le signe de la dérivée première sur les intervalles délimités par les points critiques:

𝑥10123
𝑓(𝑥)< 00> 00< 0

On constate que le signe de la dérivée passe du négatif au positif en 𝑥=0;donc, le test de la dérivée première nous permet de conclure que le point critique (0;0) est un minimum local. De même, le signe de la dérivée passe du positif au négatif en 𝑥=2, donc le point critique 2;12𝑒 est un maximum local.

À noter que puisque notre fonction est continue et ne possède que deux points critiques, on aurait pu arriver à la même conclusion en calculant simplement la valeur de la fonction, c’est-à-dire la coordonnée 𝑦, pour nos deux valeurs critiques.

L’une correspond nécessairement à un maximum et l’autre à un minimum;on aurait donc pu se contenter de comparer les valeurs de la fonction en ces points, constater que 𝑓(0)<𝑓(2) et en conclure que (0;0) est un minimum et 2;12𝑒 un maximum.

Donc, l’abscisse du maximum local et sa valeur sont 𝑥=2,𝑓(2)=12𝑒.

Dans le dernier exemple, nous apprendrons à trouver les points critiques d’une fonction comprenant un logarithme ainsi qu’à appliquer le test de la dérivée première pour déterminer leur nature.

Exemple 5: Trouver, si elles existent, les valeurs des maxima et minima locaux d’une fonction comprenant un logarithme

Trouvez, s’ils existent, les maxima et minima locaux de 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥4𝑥ln.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons trouver les maxima et minima locaux d’une fonction donnée par la somme d’une fonction logarithmique et d’une fonction du second degré. La fonction logarithmique n’étant définie que sur les réels strictement positifs, l’ensemble de définition de notre fonction est 𝑥>0.

Commençons par déterminer la dérivée première de notre fonction en utilisant la dérivée usuelle (𝑥)=1𝑥ln:𝑓(𝑥)=6𝑥24𝑥=6𝑥2𝑥4𝑥=2(3𝑥+2)(𝑥1)𝑥.

On constate facilement que cette dérivée n’est pas définie en 𝑥=0 et s’annule en 𝑥=23 et 𝑥=1. Cependant, puisque 𝑓(𝑥) n’est définie que pour 𝑥 appartenant à l’intervalle ]0;+[ (i.e. 𝑥>0) seul le point 𝑥=1 doit être pris en compte. On évalue la fonction en ce point et on trouve 𝑓(1)=3(1)2(1)41=1.ln

Donc, le point critique est le point (1;1);on peut maintenant appliquer le test de la dérivée première pour déterminer sa nature. On doit vérifier le signe de la dérivée première sur les intervalles pour lesquels 𝑥>0:]0;1[ et ]1;+[;on choisit les valeurs tests 𝑥=0,5 et 2 respectivement. On évalue la dérivée première en ces points et on trouve 𝑓(0,5)=6(0,5)240,5=7<0,𝑓(2)=6(2)242=8>0.

𝑥0,512
𝑓(𝑥)< 00> 0

On constate que le signe de la dérivée passe du négatif au positif en 𝑥=1.

Donc, le minimum local est atteint en 𝑥=1 et est égal à 1.

Une fois les points critiques d’une fonction établis, il est aussi possible d’utiliser le test de la dérivée seconde pour distinguer entre maxima et minima locaux. En effet, si 𝑥=𝑐 est un point critique (i.e., si la dérivée n’est pas définie ou si 𝑓(𝑐)=0), alors:

  • si 𝑓(𝑐)<0, alors 𝑓(𝑥) atteint un maximum local en 𝑥=𝑐;
  • si 𝑓(𝑐)>0, alors 𝑓(𝑥) atteint un minimum local en 𝑥=𝑐;
  • si 𝑓(𝑐)=0, alors 𝑓(𝑥) présente potentiellement un point d’inflexion en 𝑥=𝑐 (cela reste à confirmer).

Un point d’inflexion est un point où la courbe d’une fonction change de convexité. Une courbe convexe est associée à une dérivée seconde positive tandis qu’une courbe concave est associée à une dérivée seconde négative. En un point d’inflexion, la courbe passe de convexe à concave (ou inversement), donc la dérivée seconde s’annule en ce point. Ainsi, pour confirmer ou infirmer la présence d’un point d’inflexion lorsque 𝑓(𝑐)=0, on examine la convexité de la courbe de chaque côté du point 𝑥=𝑐.

Cependant, ce sujet dépasse le cadre de la présente fiche explicative et sera détaillé dans une autre.

Points clés

  • Aux points critiques d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥), la dérivée première est soit nulle ( 𝑓(𝑥)=0), soit non définie. Par ailleurs, il faut vérifier que ces valeurs appartiennent bien à l’ensemble de définition de la fonction.
  • Il existe trois types de points critiques:les minima locaux, les maxima locaux et les points d’inflexion.
  • Pour trouver le type d’un point critique, on peut utiliser le test de la dérivée première.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.