Vidéo : Points critiques et extrema locaux d’une fonction

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à rechercher les points critiques d’une fonction et à rechercher des extrema locaux à l’aide du test de la dérivée première.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons ce que signifient les points critiques d’une fonction. Nous allons en apprendre davantage sur les types de points critiques existants et sur la façon de trouver les points critiques d’une fonction à l’aide de la dérivation. Nous verrons également comment appliquer le test de la dérivée première afin de classifier les points critiques.

Premièrement, quels sont les points critiques ? Ils sont parfois appelés stationnaires ou tournants. Et ce sont des caractéristiques très importantes de la courbe représentative d’une fonction. Ce sont des points sur lesquels la pente de la courbe — c’est-à-dire d𝑦 sur d𝑥 — est égale à zéro ou est indéfinie. Si la fonction a été spécifiée comme étant 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, alors ses points correspondent à 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro.

Nous devons être conscients de trois types de points critiques. Les premiers sont les maxima locaux, points sur lesquels la valeur de la fonction est la plus élevée dans une région voisine autour de ce point. Ceux-ci se distinguent par le fait que la pente de la courbe est positive à gauche du point maximum. C’est pour des valeurs de 𝑥 inférieures à la valeur de 𝑥 au maximum. Et négative à droite du point maximum. C’est pour les valeurs 𝑥 supérieures à la valeur de 𝑥 au maximum. Un exemple de ceci est dans la courbe d’équation 𝑦 est égal à trois moins 𝑥.

Le deuxième type de points critiques dont nous devons tenir compte sont les minima locaux, c’est-à-dire les points où la valeur de la fonction est la plus petite de la région voisine. Ceux-ci se caractérisent par une pente négatif à gauche et une pente positif à droite, tel que le point de retournement sur la courbe de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré.

Le dernier type de point critique sont les points d’inflexion. Et ceux-ci sont caractérisés par le fait que la pente a le même signe de part et d’autre du point critique. Cela pourrait donc être positif des deux côtés, comme pour la courbe de 𝑦 égal à 𝑥 au cube. Ou il pourrait être négatif des deux côtés, comme pour la courbe où 𝑦 est égal à moins 𝑥 au cube.

Rappelez-vous que, à chaque tournant, la pente d𝑦 sur d𝑥 sera égal à zéro. Pour trouver un point critique, nous devons donc d’abord trouver la fonction dérivée pour la courbe d𝑦 sur d𝑥. Une fois que nous avons trouvé cela, nous pouvons poser d𝑦 sur d𝑥 égal à zéro et résoudre l’équation résultante afin de trouver la coordonnée 𝑥 du point critique.

En général, nous voulons aussi connaître la coordonnée 𝑦 au point critique ou la valeur de la fonction, que nous pouvons trouver en substituant notre valeur 𝑥 dans l’équation de la courbe. Nous allons examiner quelques exemples de cela. Et nous allons aussi discuter d’une méthode pour déterminer le type de point critique que nous avons.

Déterminer les points critiques de la fonction 𝑦 est égal à moins huit 𝑥 au cube dans l’intervalle moins deux, un.

Tout d’abord, nous rappelons qu’aux points critiques d’une fonction, la pente d𝑦 sur d𝑥 sera égal à zéro. Nous devons donc trouver la fonction dérivée pour cette courbe. Nous pouvons appliquer la règle des puissances pour la dérivation. Et elle nous dit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins huit multiplié par trois multiplié par 𝑥 carré, ce qui se simplifie en moins 24𝑥 au carré.

Ensuite, nous définissons notre expression pour d𝑦 sur d𝑥 égale à zéro, donnant l’équation moins 24𝑥 au carré égal à zéro. Nous devons maintenant résoudre en 𝑥. Et nous pouvons voir que, comme moins 24 n’est pas égal à zéro, alors 𝑥 carré est égal à zéro. Et si 𝑥 carré est égal à zéro, alors 𝑥 lui-même doit être égal à zéro. Nous avons donc trouvé la valeur 𝑥 de notre point critique.

Maintenant dans la question, on nous a demandé de déterminer les points critiques uniquement dans un intervalle particulier, l’intervalle moins deux à un. Et notre valeur de 𝑥 réside dans cet intervalle. En fait, c’est le seul point critique de cette fonction.

Ensuite, nous devons trouver la valeur de 𝑦 de ce point critique, ce que nous pouvons faire en substituant notre valeur 𝑥 dans l’équation de la fonction. La fonction était 𝑦 est égal à moins huit 𝑥 au cube. Nous avons donc 𝑦 est égal à moins huit multiplié par zéro, ce qui n’est que zéro. Donc, le seul point critique dans cet intervalle et en fait le seul point critique pour toute la fonction a les coordonnées zéro, zéro. Nous pouvons également le voir si nous esquissons une courbe de 𝑦 égal à moins huit 𝑥 au cube .

Il s’agit maintenant de la courbe de 𝑦 égal à 𝑥 au cube, que nous devrions connaître. Et elle a un point critique. En fait, c’est un point d’inflexion à l’origine. La multiplication par huit provoque un étirement avec un facteur d’échelle huit dans la direction verticale. Mais cela n’affecte pas le point critique. Et puis multiplier par moins six provoquera une réflexion selon l’axe des 𝑥. Donc, en vert, nous avons la courbe de 𝑦 égal à moins 𝑥 huit au cube. Nous pouvons voir qu’il y a effectivement un point critique, un point d’inflexion à l’origine.

Donc, en recherchant d’abord la fonction dérivée d𝑦 sur d𝑥, puis en la posant égale à zéro et en résolvant l’équation résultante, nous avons trouvé la coordonnée 𝑥 de notre point critique. Nous avons remplacé alors ceci dans l’équation de la fonction d’ origine afin de trouver la coordonnée correspondante 𝑦, donnant un point critique de zéro, zéro. Dans notre prochain exemple, nous examinerons comment déterminer le type de point critique sans avoir à dessiner une courbe.

Déterminer, le cas échéant, les valeurs maximales et minimales locales de 𝑓 de 𝑥 est égal à moins deux 𝑥 au cube moins neuf 𝑥 carré moins 12 𝑥 moins 15 et là où elles se produisent.

Dans cette question, on nous a demandé de déterminer les valeurs maximales et minimales locales. Voilà donc les valeurs de la fonction elle-même. Et « avec où ils se produisent » signifie que nous devons aussi trouver les valeurs 𝑥 correspondantes. Tout d’ abord, nous rappelons que, aux points critiques d’une fonction, la pente — de sorte que est 𝑓 prime de 𝑥 — est égal à zéro. Nous commençons donc par la dérivation 𝑓 de 𝑥, que nous pouvons faire en utilisant la règle de puissance, de donner moins six 𝑥 carré moins 18 𝑥 moins 12. Aux points critiques, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro. Nous avons donc notre expression pour 𝑓 prime de 𝑥 égal à zéro.

Et nous allons maintenant résoudre l’équation résultante pour 𝑥. Nous pouvons factoriser moins six à partir de cette équation, ce qui donne, multipliée par moins six 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus deux est égal à zéro. Et nous voyons que, dans les parenthèses, nous avons un 𝑥 au carré qui se factorise. C’est égal à 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 plus un. Nous notons également à ce stade que le nombre moins six n’est pas égal à zéro. Nous pouvons donc l’éliminer de notre équation à ce stade.

Nous fixons maintenant chaque facteur à son tour égal à zéro, ce qui donne 𝑥 plus deux égal à zéro ou 𝑥 plus un est égal à zéro. Les deux équations peuvent être résolues de manière relativement simple pour donner aux coordonnées 𝑥 des points critiques de cette fonction. 𝑥 est égal à moins deux ou 𝑥 est égal à moins six.

Nous savons maintenant les valeurs de 𝑥 de nos points critiques. Mais nous devons également connaître les valeurs de la fonction elle-même. Nous devons donc évaluer 𝑓 de 𝑥 en chaque valeur critique. Lorsque 𝑥 est égal à moins deux, 𝑓 de moins deux est moins deux multiplié par moins deux au cube moins neuf multiplié par moins deux moins 12 multiplié par moins deux moins 15, ce qui équivaut à moins 11. Évaluer 𝑓 de moins un de la même façon, on obtient moins 10.

Nous avons donc maintenant établi que cette fonction a des points critiques en moins deux, moins 11 et moins 10. Mais comment déterminer si ce sont des maxima ou des minima locaux, voire des points d’inflexion ? Eh bien, nous allons utiliser quelque chose appelé le test de la dérivée première. Nous examinerons le signe de la dérivée de chaque côté de notre point critique, ce qui nous indiquera la pente de la fonction de chaque côté du point critique. En considérant cela, nous pourrons identifier la forme de la courbe à proximité de chaque point critique.

Voici ce que nous allons faire. Nous allons évaluer la dérivée première — qui est 𝑓 prime de 𝑥 — un peu de chaque côté de nos valeurs critiques 𝑥 de moins deux et moins un. Maintenant, généralement, nous essayons simplement d’utiliser les valeurs entières les plus proches. Mais dans ce cas, moins deux et moins un sont des entiers consécutifs. Donc, au lieu de cela, nous avons choisi une valeur entre eux comme étant la valeur supérieure pour moins deux et la valeur inférieure pour moins un. Nous avons choisi une valeur de moins 1,5.

Rappelez-vous que notre fonction dérivée 𝑓 prime de 𝑥 moins six 𝑥 carré moins 18𝑥 moins 12. Ainsi, lorsque nous évaluons cela en moins trois, nous obtenons une valeur moins 12. Maintenant, nous ne sommes pas particulièrement intéressés par ce que la valeur est, mais plutôt son signe. Donc, moins 12 est une valeur négative. Nous allons également évaluer notre fonction dérivée en 1.5. Et cela donne 1.5, ce qui est une valeur positive.

Enfin, nous devons évaluer cette fonction dérivée en zéro. Et cela donne moins 12, une valeur négative. Alors, comment cela nous aide-t-il à déterminer si les points critiques sont des maxima ou des minima ? Eh bien, nous voyons que la pente de cette courbe est négative lorsque 𝑥 est égal à moins trois. Il est alors égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à moins deux et positif lorsque 𝑥 est égal à 1.5. Et en esquissant cette courbe, nous voyons que le point critique en moins deux doit être un minimum local.

De la même manière, la pente de cette fonction est positif lorsque 𝑥 est égal à 1.5. C’est zéro quand 𝑥 est égal à moins un. Et c’est négatif quand 𝑥 est égal à zéro. Nous voyons donc que le point critique en 𝑥 égal à moins un, il doit s’agir d’un maximum local. Donc, cette méthode, le test de la dérivée première, nous considérons la dérivée première — c’est la pente — de part et d’autre du point critique. Et en considérant le signe de cette pente, nous pouvons en déduire la forme de la courbe en ce point. Nous avons constaté alors que cette fonction, 𝑓 de 𝑥, a un minimum local en moins deux, moins 11 et un maximum local en moins six, moins 10.

Il y a aussi une autre méthode pour déterminer la nature des points critiques, appelé le test de la dérivée seconde. Cela implique de dériver la fonction dérivée pour donner la dérivée seconde de la fonction d’origine. Lorsque la dérivée première révèle l’évolution de la fonction elle-même, la dérivée seconde révèle l’évolution de la pente. Et donc en considérant cela, nous pouvons déterminer si un point est un minimum local, un maximum local ou un point d’inflexion. Cependant, cela sort du cadre de ce que nous allons examiner dans cette vidéo.

Étant donné que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 carré plus 𝐿 𝑥 plus 𝑀 a une valeur minimum de deux en 𝑥 est égal à moins six, de déterminer les valeurs de 𝐿 et 𝑀.

Dans cette question, on nous a dit la valeur minimale de la fonction. C’est deux. Et on nous a dit la valeur de 𝑥 en laquelle cela se produit. C’est moins six. Nous devons utiliser ces informations pour calculer les coefficients manquants 𝐿 et 𝑀 dans la définition de 𝑓 de 𝑥.

Un minimum est un type de point critique. Et nous rappelons ensuite que, aux points critiques, la pente de la fonction 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro. Nous pouvons utiliser la règle de puissance pour dériver 𝑓 de 𝑥. Et nous avons que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à deux 𝑥 plus 𝐿. Comme moins un est la valeur de 𝑥 en ce point critique, nous savons que si nous substituons 𝑥 est égal à moins un dans notre expression pour 𝑓 prime de 𝑥, il faut obtenir un résultat de zéro. Nous pouvons donc former une équation. Deux multiplié par moins six plus 𝐿 égal à zéro. Cela donne l’équation moins deux plus 𝐿 égal à zéro, ce que nous pouvons résoudre pour donner 𝐿 égal à deux.

Nous avons donc trouvé la valeur de 𝐿. Mais qu’en est-il de la valeur de 𝑀 ? Eh bien, nous savons que la fonction a une valeur minimale de deux lorsque 𝑥 est égal à moins six. Donc, lorsque 𝑥 est égal à moins six, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux. Nous pouvons donc substituer moins six à 𝑥, deux à 𝐿 et deux à 𝑓 de 𝑥 pour donner une seconde équation. Moins un au carré plus deux multiplié par moins six plus 𝑀 est égal à deux. Ce qui se simplifie en un moins deux plus 𝑀 est égal à deux, ce que nous pouvons encore résoudre pour donner 𝑀 est égal à trois.

Nous avons trouvé les valeurs de 𝐿 et 𝑀. 𝐿 est égal à deux et 𝑀 est égal à trois. Mais confirmons simplement que ce point est effectivement un point minimum. Nous pouvons le faire en utilisant le test de la dérivée première. Nous évaluons la dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, de chaque côté de notre valeur critique de 𝑥 afin que nous puissions voir comment la pente de cette fonction évolue autour du point critique.

Rappelez-vous qu’au point critique, la pente est égal à zéro. Notre fonction dérivée 𝑓 prime de 𝑥 était deux 𝑥 plus 𝐿. Mais nous savons maintenant que 𝐿 est égal à deux. Donc, notre fonction dérivée est deux 𝑥 plus deux. Lorsque 𝑥 est égal à moins deux, cela donnera moins deux. Et lorsque 𝑥 est égal à zéro, cela donnera plus deux.

C’est en fait le signe de la valeur plutôt que la valeur elle-même qui nous intéresse. Nous voyons que la pente est négative à gauche de moins un. Elle est alors nulle en moins un lui-même, puis positif à droite de moins un. Donc, en esquissant ce schéma, nous voyons que le point critique en moins un est bien un minimum local.

Nous avons alors terminé le problème. 𝐿 est égal à deux et 𝑀 est égal à trois.

Parfois, les fonctions que nous dérivons seront plus complexes que les polynômes, tels que les fonctions exponentielles ou trigonométriques. Il se peut également que nous devions utiliser l’une de nos règles de dérivation, telles que l’équation du produit ou la règle de la chaîne. Nous verrons cela dans notre prochain exemple.

Déterminer où 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 carré 𝑒 à la puissance moins 𝑥 a un maximum local et de donner la valeur là.

Rappelons tout d’abord qu’un maximum local est un type de point critique. Et aux points critiques, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro. Nous devons donc commencer par trouver la dérivée de 𝑓 de 𝑥. Vous voyez maintenant 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que c’est en fait un produit. Il est égal à une fonction, trois 𝑥 au carré, multiplié par une autre fonction, 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Ainsi, afin de dériver 𝑓 de 𝑥, nous allons avoir besoin d’appliquer la règle du produit.

La règle du produit nous dit que la dérivée du produit 𝑢𝑣 est égal à 𝑢𝑣 prime plus 𝑢 prime 𝑣. Nous pouvons définir 𝑢 comme étant la fonction trois 𝑥 au carré. Et nous pouvons définir 𝑣 comme la fonction 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Nous devons maintenant dériver chacune de ces fonctions. Nous pouvons appliquer la règle des puissances pour dériver 𝑢. Et cela donne six 𝑥.

Et afin de dériver 𝑣, nous devons rappeler nos règles pour dériver exponentielle. La dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑒 à la puissance 𝑘𝑥 est 𝑘𝑒 à la puissance 𝑘𝑥. Ainsi, la dérivée de 𝑒 à la puissance moins 𝑥 est moins 𝑒 à la puissance moins 𝑥. La valeur de 𝑘 est négative. En appliquant la règle du produit alors, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 𝑢𝑣 prime — qui est trois 𝑥 au carré multiplié par moins 𝑒 de moins 𝑥 — plus 𝑢 prime 𝑣 — c’est six 𝑥 multiplié par 𝑒 à la puissance moins 𝑥 .

Nous pouvons tenir compte de trois 𝑥𝑒 à la puissance moins 𝑥, donnant trois 𝑥𝑒 à la puissance moins 𝑥 multiplié par moins 𝑥 plus deux. Maintenant , nous avons mis 𝑓 prime de 𝑥 égal à zéro, ce qui donne trois 𝑥𝑒 de moins 𝑥 fois moins 𝑥 plus deux est égal à zéro. Trois n’est pas égal à zéro, nous pouvons donc l’éliminer de notre équation. Vous pouvez penser à cela en divisant les deux côtés par trois.

Nous sommes alors partis avec 𝑥 est égal à zéro ou 𝑒 à la puissance moins 𝑥 est égale à zéro ou moins 𝑥 plus deux est égal à zéro. Les première et dernière équations donnent immédiatement des solutions pour 𝑥. Mais qu’en est-il de l’équation du milieu ? Eh bien, en réalité, il n’y a pas de solution à cette équation. Si vous pensez à la courbe de 𝑒 à la puissance moins 𝑥, l’axe des 𝑥 est une asymptote. Il n’y a pas de valeur de 𝑥 pour laquelle 𝑒 à la puissance moins 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, les seules valeurs de 𝑥 sont zéro et deux. Nous évaluons ensuite 𝑓 de 𝑥 en chacun de ces points, ce qui donne zéro et 12 sur 𝑒 au carré.

Enfin, nous devons confirmer lequel de ces points correspond au maximum local. Et nous pouvons le faire en appliquant le test de la dérivée première. Nous évaluons 𝑓 prime de 𝑥 en des valeurs entières de part et d’autre de nos deux valeurs 𝑥 critiques de zéro et deux. Et la chose importante à noter est le signe de ces valeurs. Nous voyons que, pour notre point critique lorsque 𝑥 est égal à deux, la pente passe de positive à négative, ce qui signifie qu’il s’agit du point maximum local. Nous concluons donc qu’il existe un maximum local de 12 sur 𝑒 carré lorsque 𝑥 est égal à deux.

Nous allons résumer ensuite ce que nous avons appris. Aux points critiques d’une fonction, d𝑦 sur d𝑥 ou 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro ou elle est indéfinie. Les trois types de points critiques que nous devons connaître sont les maxima locaux, les minima locaux et les points d’inflexion. Nous pouvons utiliser le test de la dérivée première pour considérer la pente d’un côté ou de l’autre d’un point critique et le classer comme un maximum local, un minimum local ou un point d’inflexion.

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