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Vidéo de la leçon: Points critiques et extremums locaux d’une fonction Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les points critiques d'une fonction, et à rechercher les extremums locaux en utilisant le test de la dérivée première.

19:09

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre ce que signifient les points critiques d’une fonction. Nous allons en apprendre davantage sur les types de points critiques qui existent et comment trouver les points critiques d’une fonction à l’aide de la dérivation. Nous verrons également comment appliquer le test de la dérivée première afin de classifier les points critiques.

Tout d’abord, quels sont les points critiques ? On les appelle parfois points stationnaires ou tournants. Et ce sont des caractéristiques très importantes de la courbe représentative d’une fonction. Ce sont des points où la pente de la courbe — c’est-à-dire d𝑦 sur d𝑥 — est égale à zéro ou est indéfinie. Si la fonction a été définie comme 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, alors ce sont les points où 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro.

Il existe trois types de points critiques que nous devons connaitre. Les premiers sont les maxima locaux, qui sont des points où la valeur de la fonction est la plus élevée au voisinage de ce point. Ceux-ci se distinguent par une pente de la courbe positive à gauche du point maximum. C’est-à-dire pour des abscisses 𝑥 inférieurs à l’abscisse 𝑥 du maximum. Et une pente négative à droite du point maximum. C’est-à-dire pour des abscisses 𝑥 supérieurs à l’abscisse 𝑥 du maximum. Un exemple de cela est le cas de la courbe de 𝑦 égale moins trois 𝑥 au carré.

Le deuxième type de points critiques à connaître sont les minima locaux, qui sont des points où la valeur de la fonction est la plus basse au voisinage de ce point. Ceux-ci se caractérisent par une pente négative à gauche et une pente positive à droite, tels que le point stationnaire de la courbe de 𝑦 égale 𝑥 carré.

Le dernier type de points critiques sont les points d’inflexion. Et ceux-ci sont caractérisés par le fait que la pente a le même signe de part et d’autre du point critique. Donc, elle peut être positive des deux côtés, comme pour la courbe de 𝑦 égale 𝑥 au cube. Ou elle peut être négative des deux côtés, comme pour la courbe de 𝑦 égale moins 𝑥 au cube.

Rappelez-vous que, en chaque point stationnaire, la pente d𝑦 sur d𝑥 sera égale à zéro. Pour trouver un point critique, on doit donc d’abord trouver la fonction dérivée de la courbe, d𝑦 sur d𝑥. Une fois qu’on a trouvé cela, on peut poser d𝑦 sur d𝑥 égale à zéro et résoudre l’équation obtenue afin de trouver l’abscisse 𝑥 du point critique.

En général, on souhaite également connaître l’ordonnée 𝑦 du point critique ou la valeur de la fonction, que l’on peut trouver en remplaçant 𝑥 par la ou les valeurs trouvées, dans l’équation de la courbe. Nous allons examiner quelques exemples de cela. Et nous discuterons également une méthode pour déterminer le type de point critique que l’on a.

Déterminez les points critiques de la fonction 𝑦 égale moins huit 𝑥 au cube dans l’intervalle moins deux, un.

Tout d’abord, on rappelle que, aux points critiques d’une fonction, la pente d𝑦 sur d𝑥 est égale à zéro. On doit donc trouver la fonction dérivée de cette courbe. On peut appliquer la règle des puissances pour la dérivation. Et cela nous dit que d𝑦 sur d𝑥 est égale à moins huit multiplié par trois multiplié par 𝑥 au carré, ce qui se simplifie en moins 24𝑥 au carré.

Ensuite, on pose d𝑦 sur d𝑥 égale à zéro, ce qui donne l’équation moins 24𝑥 au carré égale zéro. On doit maintenant résoudre ceci pour trouver 𝑥. Et on peut voir que comme le moins 24 n’est pas égal à zéro, il faut que 𝑥 au carré soit égal à zéro. Et si 𝑥 au carré est égal à zéro, alors 𝑥 lui-même doit être égal à zéro. On a donc trouvé la valeur de 𝑥 au point critique.

Maintenant, dans la question, on nous a demandé de déterminer les points critiques uniquement dans un intervalle particulier, l’intervalle moins deux un. Et notre valeur de 𝑥 appartient bien à cet intervalle. En fait, c’est le seul point critique de cette fonction.

Ensuite, on doit trouver la valeur de 𝑦 en ce point critique, ce que l’on peut faire en remplaçant la valeur de 𝑥 dans l’équation de la fonction. La fonction était 𝑦 égale moins huit 𝑥 au cube. Donc, on a 𝑦 égal moins huit multiplié par zéro au cube, ce qui est juste zéro. Donc, le seul point critique dans cet intervalle et en fait le seul point critique de toute la fonction a pour coordonnées zéro, zéro. On peut également voir cela si l’on trace la courbe de 𝑦 égale moins huit 𝑥 au cube.

Voici maintenant la courbe de 𝑦 égale 𝑥 au cube, que nous sommes censés connaître. Et elle admet un point critique. En fait, c’est un point d’inflexion à l’origine. La multiplication par huit entraînera une dilatation verticale de coefficient huit. Mais cela n’affecte pas le point critique. Et puis multiplier par moins un provoque une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. Donc, en vert, on a la courbe de 𝑦 égale moins huit 𝑥 cube. On peut voir qu’elle a bien un point critique, un point d’inflexion à l’origine.

Donc, en trouvant d’abord la fonction dérivée d𝑦 sur d𝑥 puis en la posant égale à zéro et en résolvant l’équation obtenue, on a trouvé l’abscisse 𝑥 du point critique. On a ensuite remplacé cela dans l’équation de la fonction d’origine afin de trouver l’ordonnée 𝑦 correspondante, ce qui donne un point critique zéro, zéro. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment déterminer le type de point critique sans avoir besoin de tracer une représentation graphique.

Déterminez, si elles existent, les valeurs du maximum et minimum locaux de 𝑓 de 𝑥 égale moins deux 𝑥 au cube moins neuf 𝑥 carré moins 12𝑥 moins 15, ainsi que leur emplacement.

Dans cette question, on nous demande de déterminer les valeurs du maximum et minimum locaux. Il s’agit donc des valeurs de la fonction elle-même. Et « leur emplacement » signifie que l’on doit également trouver les valeurs de leurs abscisses 𝑥 correspondants. Tout d’abord, on rappelle que, aux points critiques d’une fonction, la pente — donc 𝑓 prime de 𝑥 — est égale à zéro. Commençons donc par dériver 𝑓 de 𝑥, ce que l’on peut faire en utilisant la règle des puissances, ce qui donne moins six 𝑥 au carré moins 18𝑥 moins 12. Aux points critiques, 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro. On pose alors notre expression 𝑓 prime de 𝑥 égale à zéro.

Et nous allons maintenant résoudre l’équation obtenue pour trouver 𝑥. On peut factoriser par moins six, ce qui donne moins six multiplié par 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus deux égal zéro. Et on voit qu’à l’intérieur des parenthèses, on a un polynôme du second degré en 𝑥 qu’on peut factoriser. C’est égal à 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 plus un. Notons également à ce stade que le nombre moins six n’est pas égal à zéro. On peut donc l’enlever de notre équation à ce stade.

Mettons maintenant chaque facteur à son tour égal à zéro, ce qui donne 𝑥 plus deux égal zéro ou 𝑥 plus un égal zéro. Les deux équations peuvent être résolues d’une manière relativement simple pour donner les abscisses 𝑥 des points critiques de cette fonction. 𝑥 égal moins deux ou 𝑥 égal moins un.

Nous connaissons maintenant les valeurs de 𝑥 aux points critiques. Mais on doit également connaître les valeurs de la fonction elle-même. On doit donc évaluer 𝑓 de 𝑥 à chaque valeur critique. Lorsque 𝑥 est égal à moins deux, 𝑓 de moins deux est moins deux multiplié par moins deux au cube moins neuf multiplié par moins deux au carré moins 12 multiplié par moins deux moins 15, ce qui est égal à moins 11. Le calcul de 𝑓 de moins un de la même manière donne moins 10.

On a donc maintenant trouvé que cette fonction a des points critiques en moins deux, moins 11 et en moins un, moins 10. Mais comment déterminer si ce sont des maxima ou des minima locaux, ou même des points d’inflexion ? Eh bien, nous allons utiliser ce qu’on appelle le test de la dérivée première. On va examiner le signe de la dérivée de part et d’autre du point critique, ce qui nous indique la pente de la fonction de chaque côté du point critique. En considérant cela, on peut identifier la forme de la fonction au voisinage de chaque point critique.

Voici ce que nous allons faire. Nous allons évaluer la dérivée première — qui est 𝑓 prime de 𝑥 — un peu à droite et à gauche des valeurs critiques 𝑥 égal moins deux et moins un. Maintenant, généralement, on essaie d’utiliser simplement les entiers les plus proches. Mais dans ce cas, moins deux et moins un sont deux entiers consécutifs. Donc, au lieu de cela, on choisit une valeur comprise entre eux pour qu’elle soit la valeur supérieure à moins deux et la valeur inférieure à moins un. On choisit une valeur de moins 1,5.

Rappelez-vous que la fonction dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est moins six 𝑥 au carré moins 18𝑥 moins 12. Donc, lorsqu’on évalue cela en moins trois, on obtient une valeur de moins 12. Maintenant, nous ne sommes pas particulièrement intéressés par la valeur, mais plutôt par le signe. Donc, moins 12 est une valeur négative. On calcule également la fonction dérivée en moins 1,5. Et cela donne 1,5, qui est une valeur positive.

Enfin, on doit évaluer cette fonction dérivée en zéro. Et cela donne moins 12, une valeur négative. Alors, comment cela nous aide-t-il à déterminer si les points critiques sont des maxima ou des minima ? Eh bien, on voit que la pente de cette courbe est négative lorsque 𝑥 est égal à moins trois. Elle est ensuite nulle lorsque 𝑥 est égal à moins deux, et positive lorsque 𝑥 est égal à moins 1,5. Et en traçant cette forme, on voit que le point critique en moins deux doit être un minimum local.

De la même manière, la pente de cette fonction est positive lorsque 𝑥 est égal à moins 1,5. Elle est nulle lorsque 𝑥 est égal à moins un. Et négative lorsque 𝑥 est égal à zéro. On voit donc que le point critique en 𝑥 égal moins un doit être un maximum local. Donc, avec cette méthode, le test de la dérivée première, on considère la dérivée première – il s’agit de la pente – des deux côtés du point critique. Et en observant le signe de cette pente, on peut déduire la forme de la courbe en ce point. On a ainsi trouvé que cette fonction, 𝑓 de 𝑥, a un minimum local en moins deux, moins 11 et un maximum local en moins un, moins 10.

Il existe également une autre méthode pour déterminer la nature des points critiques, appelée test de la dérivée seconde. Cela nécessite de dériver la fonction dérivée pour obtenir la dérivée seconde de la fonction d’origine. Alors que la dérivée première décrit les variations de la fonction elle-même, la dérivée seconde, elle, décrit les variations de la pente. Et donc en considérant cela, on peut déterminer si un point est un minimum local, un maximum local ou un point d’inflexion. Cependant, cela sort du cadre de ce que nous allons étudier dans cette vidéo.

Etant donné que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus 𝐿 𝑥 plus 𝑀 a une valeur minimale de deux en 𝑥 égal moins un, déterminez les valeurs de 𝐿 et 𝑀.

Dans cette question, on nous donne la valeur minimale de la fonction. Elle vaut deux. Et on nous donne la valeur de 𝑥 à laquelle cela se produit. C’est moins un. On doit utiliser cette information pour calculer les coefficients manquants 𝐿 et 𝑀 dans la définition de 𝑓 de 𝑥.

Un minimum est un type de point critique. Et on rappelle alors que, aux points critiques, la pente de la fonction 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro. On peut utiliser la règle des puissances pour dériver 𝑓 de 𝑥. Et on a 𝑓 prime de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus 𝐿. Comme moins un est l’abscisse 𝑥 d’un point critique, on sait que si on remplace 𝑥 par moins un dans l’expression de 𝑓 prime de 𝑥, on doit obtenir un résultat égal à zéro. On peut donc former une équation. Deux multiplié par moins un plus 𝐿 est égal à zéro. Cela donne l’équation moins deux plus 𝐿 égal zéro, que l’on peut résoudre pour avoir 𝐿 égal deux.

On a donc trouvé la valeur de 𝐿. Mais qu’en est-il de la valeur de 𝑀 ? Eh bien, on sait que la fonction a une valeur minimale de deux lorsque 𝑥 est égal à moins un. Ainsi, lorsque 𝑥 égal moins un, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux. On peut donc remplacer 𝑥 par moins un, 𝐿 par deux et 𝑓 de 𝑥 par deux pour avoir une deuxième équation. Moins un au carré plus deux multiplié par moins un plus 𝑀 est égal à deux. Cela se simplifie pour donner moins deux plus 𝑀 égal deux, ce que l’on peut résoudre pour obtenir 𝑀 égal trois.

On a trouvé les valeurs de 𝐿 et 𝑀. 𝐿 est égal à deux et 𝑀 est égal à trois. Mais vérifions simplement qu’il s’agit bien d’un point minimum. On peut le faire en utilisant le test de la dérivée première. On évalue la dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, de part et d’autre de la valeur critique de 𝑥 afin de voir comment la pente de cette fonction varie autour du point critique.

Rappelez-vous, au point critique lui-même, la pente est égale à zéro. La fonction dérivée 𝑓 prime de 𝑥 était deux 𝑥 plus 𝐿. Mais on sait maintenant que 𝐿 est égal à deux. La fonction dérivée est donc deux 𝑥 plus deux. Lorsque 𝑥 est égal à moins deux, cela donne moins deux. Et lorsque 𝑥 est égal à zéro, cela donne plus deux.

C’est en fait le signe de la valeur plutôt que la valeur elle-même qui nous intéresse. On voit que la pente est négative à gauche de moins un. Elle est ensuite nulle en moins un, puis positive à droite de moins un. Donc, en traçant cette forme, on voit que le point critique en moins un est bien un minimum local.

On a alors terminé le problème. 𝐿 est égal à deux et 𝑀 est égal à trois.

Parfois, les fonctions que l’on dérive seront plus compliquées que des polynômes, tels que des fonctions exponentielles ou trigonométriques. On peut également avoir besoin d’utiliser l’une des règles de dérivation, telles que la règle du produit, du quotient ou de la composition. Nous allons voir cela dans notre prochain exemple.

Déterminez là où 𝑓 de 𝑥 égal trois 𝑥 carré 𝑒 puissance moins 𝑥 admet un maximum local et donner la valeur de la fonction en ce point.

Rappelons tout d’abord qu’un maximum local est un type de point critique. Et aux points critiques, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro. On doit donc commencer par trouver la dérivée de 𝑓 de 𝑥. Maintenant, en examinant 𝑓 de 𝑥, on peut voir qu’il s’agit d’un produit. Elle est égale à une fonction, trois 𝑥 au carré, multipliée par une autre fonction, 𝑒 puissance moins 𝑥. Donc, afin de dériver 𝑓 de 𝑥, nous devons appliquer la règle du produit.

La règle du produit nous dit que la dérivée du produit 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 𝑣 prime plus 𝑢 prime 𝑣. On peut définir 𝑢 comme étant la fonction trois 𝑥 au carré. Et on peut définir 𝑣 comme étant la fonction 𝑒 puissance moins 𝑥. On doit maintenant dériver chacune de ces fonctions. On peut appliquer la règle des puissances pour dériver 𝑢. Et cela donne six 𝑥.

Et afin de dériver 𝑣, on doit rappeler la règle de dérivation de l’exponentielle. La dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑒 puissance 𝑘𝑥 est 𝑘 𝑒 puissance 𝑘𝑥. Ainsi, la dérivée de 𝑒 puissance moins 𝑥 est moins 𝑒 puissance moins 𝑥. La valeur de 𝑘 ici est moins un. En appliquant la règle du produit, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 𝑢 𝑣 prime — soit trois 𝑥 au carré multiplié par moins 𝑒 puissance moins 𝑥 — plus 𝑢 prime 𝑣 — soit six 𝑥 multiplié par 𝑒 puissance moins 𝑥.

On peut factoriser par trois 𝑥 𝑒 puissance moins 𝑥, ce qui donne trois 𝑥 𝑒 puissance moins 𝑥 multiplié par moins 𝑥 plus deux. Maintenant, mettons 𝑓 prime de 𝑥 égale à zéro, ce qui donne trois 𝑥 𝑒 puissance moins 𝑥 fois moins 𝑥 plus deux égal zéro. Trois n’est pas égal à zéro, on peut donc l’éliminer de l’équation. On peut voir cela comme une division des deux membres par trois.

On se retrouve alors avec 𝑥 égal zéro ou 𝑒 puissance moins 𝑥 égal zéro ou moins 𝑥 plus deux égal zéro. Les première et dernière équations donnent immédiatement des solutions pour 𝑥. Mais qu’en est-il de l’équation du milieu ? Eh bien, en fait, il n’y a pas de solution à cette équation. Si vous pensez à la représentation graphique de 𝑒 puissance moins 𝑥, alors l’axe des 𝑥 est une asymptote. Il n’y a pas de valeur de 𝑥 pour laquelle 𝑒 puissance moins 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, les seules valeurs de 𝑥 solutions sont zéro et deux. Évaluons ensuite 𝑓 de 𝑥 en chacun de ces points, ce qui donne zéro et 12 sur 𝑒 au carré.

Finalement, on doit confirmer lequel de ces points est un maximum local. Et on peut faire ceci en appliquant le test de la dérivée première. Évaluons 𝑓 prime de 𝑥 en des valeurs entières de chaque côté des deux valeurs critiques de 𝑥, soient zéro et deux. Et la chose importante à noter est le signe de ces valeurs. On voit que, pour le point critique 𝑥 égal deux, la pente passe de positif à négatif, ce qui signifie qu’il s’agit d’un maximum local. On conclue donc qu’on a un maximum local de 12 sur 𝑒 au carré lorsque 𝑥 est égal à deux.

Résumons ainsi ce que l’on a trouvé. Aux points critiques d’une fonction, d𝑦 sur d𝑥 ou 𝑓 prime de 𝑥 est égal à zéro ou est indéfinie. Les trois types de points critiques à connaître sont les maxima locaux, les minima locaux et les points d’inflexion. On peut utiliser le test de la dérivée première pour vérifier la pente de chaque côté d’un point critique et donc pour le classer comme maximum local, minimum local ou point d’inflexion.

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