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Le coefficient directeur en le point 𝑥, 𝑦 sur la courbe d’une fonction est d𝑦 sur d𝑥 égale moins quatre pi fois sinus pi 𝑥 plus cinq pi fois cosinus pi 𝑥. Déterminez l’équation de la courbe si elle contient le point de coordonnées un, deux.
Dans cette question, on nous donne des informations sur la dérivée de la fonction. La question nous demande à présent de trouver l’équation de la courbe, grâce aux informations sur un point par lequel elle passe. En d’autres termes, nous devons établir une équation de 𝑦 en fonction de 𝑥. Nous commençons donc par rappeler que le théorème fondamental de l’analyse nous dit que l’intégration et la dérivation sont essentiellement des opérations inverses. Et donc nous trouverons une équation pour 𝑦 en intégrant notre expression pour d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans ce cas, 𝑦 est alors l’intégrale indéfinie de moins quatre pi fois sinus de pi 𝑥 plus cinq pi fois cosinus de pi 𝑥, par rapport à 𝑥. Et en fait, nous allons utiliser le résultat général pour l’intégrale des fonctions sinus et cosinus. L’intégrale du sinus de 𝑎𝑥, où 𝑎 est une constante réelle, est moins un sur 𝑎 fois cosinus de 𝑎𝑥, plus une constante d’intégration 𝑐. De même, intégrer cosinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 donne un sur 𝑎 fois le sinus de 𝑎𝑥, plus 𝑐. Rappelez-vous également que nous pouvons intégrer terme par terme. Nous commençons donc par intégrer moins quatre pi fois sinus pi 𝑥 par rapport à 𝑥. Cela donne moins quatre pi fois moins un sur pi fois cosinus de pi 𝑥, soit quatre cosinus de pi 𝑥.
Ensuite, lorsque nous intégrons cinq pi cosinus de pi 𝑥, nous obtenons cinq pi fois un sur pi fois sinus de pi 𝑥, soit cinq sinus de pi 𝑥. Et puisque nous effectuons une intégrale indéfinie, il est vraiment important que nous ayons cette constante d’intégration 𝑐. Nous avons donc trouvé que 𝑦 est égal à quatre cosinus de pi 𝑥 plus cinq sinus de pi 𝑥, plus 𝑐. Ensuite, nous devons déterminer la valeur de 𝑐. Nous revenons donc à la question et à l’information selon laquelle la courbe passe par le point un, deux. En d’autres termes, lorsque 𝑥 est égal à un, alors 𝑦 est égal à deux. Et nous substituons ces valeurs dans notre équation. Nous obtenons que deux est égal à quatre cosinus de pi fois un, plus cinq sinus de pi fois un, plus 𝑐.
Alors, nous savons que cinq sinus de pi vaut zéro. De même, cosinus de pi vaut moins un. Donc, quatre cosinus de pi fait moins quatre. Et notre équation devient deux égale moins quatre plus 𝑐, que nous pouvons résoudre pour 𝑐 en ajoutant quatre des deux côtés. Donc 𝑐 est égal à six. Et nous pouvons donc remplacer 𝑐 par six dans notre équation pour 𝑦. On a 𝑦 égale quatre cosinus de pi 𝑥 plus cinq sinus de pi 𝑥 plus six. Ou si nous choisissons par convention d’écrire le sinus en premier, nous obtenons 𝑦 égale cinq sinus de pi 𝑥 plus quatre cosinus de pi 𝑥 plus six.
