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Fiche explicative de la leçon : Applications de l'intégrale indéfinie Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser l’intégration indéfinie pour exprimer une fonction à partir de son taux de variation.

À ce stade, vous devez être familier avec les fonctions et leurs dérivées. Cependant, l’expression d’une fonction 𝑓(𝑥) n’est pas toujours donnée explicitement. On dispose parfois seulement de l’expression du taux de variation de cette fonction, 𝑓(𝑥). Lorsque c’est le cas, on doit déterminer une primitive pour trouver la fonction d’origine, et on utilise l’intégration indéfinie à cette fin.

Lorsque vous avez commencé à apprendre à intégrer, vous avez vu que l’intégration indéfinie peut être utilisée pour trouver des primitives.

Par exemple, on sait que si 𝑦=𝑥, alors on peut trouver l’intégrale de cette expression en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:𝑥𝑥=𝑥3+.dC

L’expression 𝑥3+C est l’expression générale des primitives de la fonction d’origine 𝑥 parce qu’elle est une primitive pour toute valeur de C.

Pour le vérifier, on peut dériver 𝑥3+C par rapport à 𝑥:ddC𝑥𝑥3+=𝑥, on retrouve alors la fonction d’origine.

Cela ne représente cependant que la moitié du processus d’intégration. On peut faire exactement la même chose mais en commençant cette fois par dd𝑦𝑥=𝑥.

On peut alors suivre le même raisonnement pour voir que ddC𝑥𝑥3+=𝑥.

Dans ces deux équations, on dérive une fonction pour obtenir 𝑥;la fonction d’origine est donc, 𝑦=𝑥3+C. L’intégration et la dérivation sont des processus inverses l’un de l’autre en conséquence directe du théorème fondamental de l’analyse.

Donc, si on a une expression de la dérivée d’une fonction 𝑓(𝑥), on sait que 𝑓(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥). On peut donc essayer d’utiliser l’intégration pour déterminer une expression de 𝑓(𝑥). Bien sûr, lorsque l’on utilise cette méthode, on calcule l’expression générale des primitives qui contient une constante inconnue C.

On rappelle que la dérivée de toute constante est égale à 0, donc C peut être n’importe quel nombre réel. Cela signifie que pour déterminer la valeur de C, on aura besoin de plus d’informations sur la fonction. Cette information supplémentaire est généralement sous la forme d’un point situé sur la représentation graphique de la fonction. On peut alors substituer les valeurs de 𝑥 et 𝑦 correspondantes dans l’expression pour trouver la valeur de C.

Étudions quelques exemples d’utilisation de cette technique pour déterminer une fonction à partir de sa dérivée et d’un point situé sur sa représentation graphique.

Exemple 1: Déterminer l’équation d’une courbe à partir de l’expression de la pente de sa tangente et d’un point sur la courbe

Déterminez l’équation de la courbe qui passe par le point (2;1) sachant que la pente de la tangente à la courbe est 11𝑥.

Réponse

On sait que la pente de la tangente à la courbe est 11𝑥, mais on sait aussi que la pente de la droite tangente en un point d’abscisse 𝑥 doit être égal à dd𝑦𝑥 (le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑥).

Donc, dd𝑦𝑥=11𝑥.

On souhaite trouver une équation de la courbe 𝑦. Comme la dérivée de 𝑦 est 11𝑥, une primitive de 11𝑥 doit être égale à 𝑦.

On peut essayer de trouver cette primitive à l’aide de l’intégration indéfinie:𝑦=11𝑥𝑥.d

On peut évaluer cette intégrale en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:𝑦=11𝑥𝑥=113𝑥+.dC

On a donc trouvé une équation générale de la courbe qui inclut la constante d’intégration C. Pour déterminer la valeur de C, on peut utiliser le fait que la courbe passe par le point (2;1).

Donc, l’équation doit être vérifiée quand 𝑥=2 et 𝑦=1:1=113(2)+1=883+=853.CCC

On substitue enfin cette valeur de C dans l’équation de la courbe pour obtenir 𝑦=113𝑥853.

Dans cet exemple, on a trouvé la solution générale 𝑦=113𝑥+C. Elle est une primitive pour toute valeur de C. On peut même tracer cette courbe pour quelques valeurs de C et observer la pente de la tangente.

On peut voir que les courbes obtenues sont des translations verticales les unes des autres et qu’une translation verticale ne change pas la pente de la tangente à la courbe en une valeur spécifique de 𝑥. Par exemple, on peut voir que chacune des trois courbes illustrées a le même coefficient directeur de la tangente en 𝑥=0.

La courbe 𝑦=113𝑥853 est la seule qui passe par le point (2;1);elle est donc la solution spécifique à ce problème.

Dans le prochain exemple, nous allons voir que nous ne pouvons pas toujours utiliser directement l’intégration;il faut en effet souvent utiliser certaines techniques pour faciliter l’intégration.

Exemple 2: Déterminer l’équation d’une courbe à partir de l’expression de la pente de la tangente à l’aide des formules d’intégration et des formules trigonométriques

Déterminez l’équation d’une courbe sachant que la pente de la tangente à la courbe est 5𝑥2sin et que la courbe passe par l’origine.

Réponse

Il est d’abord indiqué que la pente de la tangente à la courbe en un point d’abscisse 𝑥 est donné par 5𝑥2sin. On rappelle que la pente d’une tangente à une courbe est aussi égale à dd𝑦𝑥 (le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑥 ).

La question indique donc que ddsin𝑦𝑥=5𝑥2, et on souhaite déterminer l’équation 𝑦=𝑓(𝑥) de la courbe.

On sait que 𝑓(𝑥)=5𝑥2sin, on cherche donc une primitive de 5𝑥2sin. On peut la trouver à l’aide de l’intégration indéfinie:𝑦=5𝑥2𝑥.sind

On ne sait pas comment intégrer directement cette fonction, on utilise donc l’identité d’angle double du cosinus:cossin(2𝜃)12𝜃.

On la réarrange pour obtenir sincos𝜃1(2𝜃)2, puis on substitue 𝜃=𝑥2 pour obtenir sincos𝑥21(𝑥)2.

Maintenant que l’on a réécrit l’intégrande sous cette forme, on peut intégrer et trouver une primitive:𝑦=5𝑥2𝑥=51(𝑥)2𝑥=51(𝑥)2𝑥=5𝑥2(𝑥)2+=5𝑥25(𝑥)2+.sindcosdcosdsinCsinC

On a maintenant trouvé une équation générale de la courbe à la constante C d’intégration près. Pour déterminer la valeur de C, on rappelle que la courbe passe par l’origine.

Donc, on peut substituer 𝑥=0 et 𝑦=0 dans l’équation de la courbe:0=5(0)25(0)2+,sinC ce qui donne C=0.

Substituer C=0 dans l’équation générale de la courbe signifie que l’on vient de montrer que l’équation de la courbe qui passe par le point (0;0) doit être 𝑦=52𝑥5(𝑥)2.sin

Exemple 3: Déterminer la valeur d’une fonction à partir de l’expression de la pente de la tangente à sa représentation graphique en utilisant l’intégration

Sachant que la pente de la tangente à la représentation graphique en (𝑥;𝑦) est 3𝑒 et que 𝑓(0)=3, déterminez 𝑓(3).

Réponse

La question donne la pente de la tangente à la représentation graphique. On connaît aussi l’image de la fonction pour une valeur de 𝑥;on doit utiliser ces informations pour déterminer 𝑓(3).

On commence par la pente de la tangente à la représentation graphique de la fonction 𝑓, on peut donc écrire 𝑓(𝑥)=3𝑒.

On souhaite trouver 𝑓(𝑥) qui est une primitive de 3𝑒. On peut déterminer son expression en utilisant l’intégration:𝑓(𝑥)=3𝑒𝑥=𝑒+.dC

On doit donc avoir 𝑓(𝑥)=𝑒+C pour une valeur C. Pour déterminer la valeur de C, on peut utiliser le fait que 𝑓(0)=3.

Cela donne 3=𝑓(0)=𝑒+=1+.CC

Donc, C=4, et on peut le substituer dans l’expression de 𝑓(𝑥), ce qui donne 𝑓(𝑥)=𝑒4.

La question demande la valeur de 𝑓(3), on substitue donc 𝑥=3 dans la fonction:𝑓(3)=𝑒4=𝑒4=4+1𝑒.()

Cela donne la réponse finale:𝑓(3)=4+1𝑒.

Jusqu’à présent, tous les exemples impliquaient la recherche d’une fonction à partir de sa dérivée;ce n’est cependant pas la seule chose que l’on peut faire à l’aide de l’intégration indéfinie. On rappelle que les dérivées peuvent aussi être utilisées pour déterminer les extremums de fonctions et les points où une courbe change de concavité/convexité.

Cela signifie que lorsque l’on connaît la dérivée d’une fonction, on peut utiliser l’intégration indéfinie pour trouver l’équation de sa représentation graphique. On peut ensuite utiliser la dérivée fournie avec cette équation pour déterminer les points critiques.

Étudions un exemple où nous connaissons la pente de la tangente à une courbe et souhaitons trouver les coordonnées de ses extremums locaux.

Exemple 4: Déterminer les valeurs des maximums et minimums locaux d’une courbe à partir de la pente de sa tangente et d’un point sur la courbe à l’aide de l’intégration

Déterminez les valeurs des minimums et maximums locaux de la courbe qui passe par le point (1;7) sachant que la pente de la tangente à la courbe est 6𝑥+4𝑥+3.

Réponse

On commence par noter que la pente de la tangente à la courbe est donnée par 6𝑥+4𝑥+3. Cela signifie que dd𝑦𝑥=6𝑥+4𝑥+3.

On souhaite trouver les maximums et minimums locaux de la fonction;on rappelle à cette fin que les extremums locaux se produisent toujours aux points critiques de la fonction (i.e. où la dérivée est égale à zéro ou n’est pas définie). Dans ce cas, la dérivée fournie est une fonction polynomiale qui est donc définie pour toutes les valeurs de 𝑥. Donc, il suffit de trouver les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la dérivée est égale à 0 pour trouver les points critiques:6𝑥+4𝑥+3=0,𝑥+4𝑥+3=0,(𝑥+3)(𝑥+1)=0,𝑥+3=0,𝑥+1=0.

Les points critiques de la fonction se produisent donc lorsque 𝑥=3 et 𝑥=1. On ne doit pas s’arrêter là car la question demande de trouver les valeurs 𝑦 des extremums locaux, on doit donc déterminer une équation de la courbe.

Comme la fonction est une primitive de 6𝑥+4𝑥+3, on trouve son expression en utilisant l’intégration:𝑦=6𝑥+4𝑥+3𝑥=6𝑥+4𝑥+3𝑥=6𝑥3+4𝑥2+3𝑥+=2𝑥+12𝑥+18𝑥+.ddCC

On doit donc avoir 𝑦=2𝑥+12𝑥+18𝑥+C pour une valeur de C. Pour déterminer la valeur de C, on utilise le fait que la courbe passe par le point (1;7):7=2(1)+12(1)+18(1)+7=2+1218+=15.CCC

On peut alors substituer cette valeur à C dans l’équation de la courbe, ce qui donne 𝑦=2𝑥+12𝑥+18𝑥+15.

On souhaite trouver les valeurs des extremums locaux, on évalue donc la fonction aux points critiques.

Pour 𝑥=1, 𝑦=2(1)+12(1)+18(1)+15=7.

Pour 𝑥=3, 𝑦=2(3)3+12(3)2+18(3)+15=15.

On pourrait être tenté de s’arrêter ici;il est cependant très important de vérifier que ce sont bien des extremums locaux et non des points d’inflexion, et de quel type d’extremum il s’agit. Il existe plusieurs options pour réaliser cette vérification;on pourrait par exemple utiliser le test de la dérivée seconde. Cependant, comme la fonction est cubique avec un coefficient dominant positif et a deux points critiques, on peut tracer sa représentation graphique.

Étant donnée la forme de la courbe, on peut voir que la valeur plus petite de 𝑦 se produit en 𝑥=1 et que la valeur plus grande de 𝑦 se produit en 𝑥=3. Cela donne la réponse finale:le maximum local de la fonction se produit en 𝑥=3 avec une valeur de 15 et le minimum local de la courbe se produit en 𝑥=1 avec une valeur de 7.

Enfin, nous devons parfois utiliser l’intégration indéfinie plusieurs fois pour trouver la fonction d’origine. Un exemple de cela est lorsque nous connaissons la dérivée seconde d’une fonction et que nous devons déterminer la fonction d’origine:nous pouvons l’intégrer une fois pour trouver la fonction de la pente à la tangente puis l’intégrer à nouveau pour trouver la fonction d’origine. Voyons un exemple de cela.

Exemple 5: Déterminer l’expression d’une fonction à partir de sa dérivée seconde et de l’équation de la tangente à sa courbe représentative en un point en utilisant l’intégration

La dérivée seconde d’une fonction est 6𝑥 et l’équation de la tangente à sa courbe représentative en (2;4) est 6𝑥𝑦+8=0. Déterminez l’équation de la courbe.

Réponse

On connaît la dérivée seconde d’une fonction et on doit trouver l’équation de la courbe représentative de cette fonction. Pour ce faire, on rappelle la définition de la dérivée seconde d’une fonction:dddddd𝑦𝑥=𝑥𝑦𝑥.

La dérivée seconde d’une fonction peut être trouvée en dérivant la dérivée première.

Une autre façon de le formuler est que dd𝑦𝑥 est une primitive de dd𝑦𝑥, on peut donc essayer de trouver dd𝑦𝑥 en utilisant l’intégration:ddddddC𝑦𝑥=𝑦𝑥𝑥=6𝑥𝑥=3𝑥+.

À ce stade, on a deux options. La première option consisterait à intégrer immédiatement la fonction générale de la pente de la tangente que l’on vient de déterminer. Cela introduirait une autre inconnue dans l’équation. La deuxième option est de déterminer la valeur de C en utilisant l’équation de la tangente à la courbe. Dans ce cas, il est plus facile de travailler avec la tangente car on a déjà son expression.

Pour ce faire, on rappelle que l’on a ddC𝑦𝑥=3𝑥+;cela indique la pente de la tangente à la courbe en 𝑥. La question indique également que la tangente à la courbe en (2;4) a l’équation 6𝑥𝑦+8=0. On peut déterminer la pente de cette droite en écrivant l’équation sous forme réduite:𝑦=6𝑥+8, qui indique alors que dd𝑦𝑥|||=6.

Ainsi, la tangente a une pente de 6 lorsque 𝑥=2. On peut alors substituer 𝑥=2 dans l’équation générale que l’on a trouvée pour dd𝑦𝑥.

Comme on sait également que dd𝑦𝑥|||=6, on peut l’utiliser pour trouver la valeur de l’inconnue:6=3(2)+,=6.CC

On a donc montré que dd𝑦𝑥=3𝑥6.

On peut maintenant essayer de trouver une équation de la courbe. On rappelle que 𝑦 est une primitive de dd𝑦𝑥:𝑦=𝑦𝑥𝑥=3𝑥6𝑥=𝑥6𝑥+𝐷.dddd

On vient donc de montrer que l‘équation générale de la courbe est 𝑦=𝑥6𝑥+𝐷 pour une valeur de 𝐷.

On peut trouver la valeur de 𝐷 en utilisant le fait que la courbe passe par le point (2;4). En substituant ces valeurs dans l’équation de la courbe, on obtient 4=(2)6(2)+𝐷4=8+12+𝐷𝐷=8.

On substitue enfin cette valeur de 𝐷 dans l’équation de la courbe pour obtenir la réponse finale:𝑦=𝑥6𝑥8.

Terminons par récapituler certains des points couverts dans cette fiche explicative.

Points clés

  • L’intégration indéfinie peut être utilisée pour déterminer l’expression générale des primitives d’une fonction.
  • S’il est indiqué que dd𝑦𝑥=𝑓(𝑥), alors on sait que 𝑦=𝑓(𝑥)𝑥=𝑔(𝑥)+.dC
  • On peut déterminer la valeur de la constante d’intégration, et donc la primitive spécifique, si on connaît un point de la représentation graphique.
  • Quand on connaît les coordonnées d’un point situé sur la représentation graphique, on parle de condition initiale ou de condition aux bords.
  • Lorsque l’on travaille avec des dérivées d’ordre supérieur, plusieurs intégrations (et informations sur des points de la fonction) peuvent être nécessaires pour trouver la primitive correcte.

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