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Vidéo de la leçon : Applications de l’intégration Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser l’intégration pour exprimer une fonction à partir de sa dérivée.

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Transcription de vidéo

Applications de l’intégration

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser l’intégration pour exprimer une fonction à partir de sa dérivée. Et nous verrons plusieurs méthodes pour l’appliquer dans différentes situations. Avant cela, nous devons d’abord rappeler ce que nous entendons par intégrale indéfinie d’une fonction.

Par exemple, considérons l’équation 𝑦 égale 𝑥 carré. Nous allons intégrer 𝑥 carré par rapport à 𝑥. Et nous savons le comment faire. On ajoute un à l’exposant deux, ce qui donne un nouvel exposant de trois, puis on divise par ce nouvel exposant. Cela donne 𝑥 au cube sur trois, auquel on ajoute une constante d’intégration 𝐶. Rappelons dans quel but nous calculons cette expression. Lorsque nous avons initialement défini l’intégration, nous souhaitions l’utiliser pour trouver des primitives de différentes expressions. Nous avons donc défini l’intégration comme l’opération réciproque de la dérivation. En d’autres termes, ce que nous calculons lorsque nous intégrons 𝑥 au carré est une primitive de 𝑥 au carré. Et il s’agit en fait de l’expression générale de sa primitive car elle correspond à une primitive pour toute valeur de la constante 𝐶. Et pour voir exactement ce que cela signifie, dérivons cette expression par rapport à 𝑥.

Pour dériver 𝑥 au cube sur trois plus la constante d’intégration 𝐶 par rapport à 𝑥, on procède terme par terme. Pour dériver le premier terme, on doit le multiplier par l’exposant de 𝑥 puis réduire cet exposant de un. Bien sûr, cela nous donne 𝑥 au carré. Et 𝐶 est une constante donc son taux de variation par rapport à 𝑥 est nul. Elle ne varie pas quand la valeur de 𝑥 varie. Donc la dérivée de cette expression est exactement ce avec quoi nous avons commencé, 𝑥 au carré. Et bien sûr, cela est vrai pour toute valeur de la constante 𝐶. Cela nous amène à une propriété très utile. Et si au lieu de 𝑦 égale 𝑥 carré, nous avions plutôt commencé avec d𝑦 sur d𝑥 égale 𝑥 au carré?

On suppose donc maintenant que d𝑦 sur d𝑥 égale carré. La dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 au carré. Nous répétons exactement les mêmes calculs et nous retrouvons que la dérivée de cette expression est égale à 𝑥 carré. Nous avons donc commencé avec la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 égale à 𝑥 au carré et nous avons fini avec la dérivée de cette expression par rapport à 𝑥 égale à 𝑥 au carré. En d’autres termes, nous avons trouvé une expression de 𝑦 à une constante d’intégration 𝐶 près. Et parce que nous avons trouvé cette expression en intégrant, elle est souvent notée 𝑦 égale intégrale de la dérivée rapport à 𝑥.

Si nous connaissons la dérivée d’une fonction, nous savons donc maintenant que nous pouvons l’intégrer par rapport à 𝑥 pour essayer de déterminer la fonction d’origine. Et si nous savons l’intégrer, nous pouvons trouver une expression de 𝑦 à une constante d’intégration 𝐶 près. Mais comment pouvons-nous déterminer la valeur de 𝐶? Pour trouver la valeur de 𝐶, avons besoin d’un peu plus d’informations. En général, quand la dérivé de la fonction est indiquée, un point sur la courbe est également fourni. Par exemple, la question peut indiquer que la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 passe par le point un, un. C’est ce qu’on appelle la condition initiale. Après avoir montré que 𝑦 est égal à 𝑥 au cube sur trois plus la constante d’intégration 𝐶, nous pouvons alors substituer ce point dans l’équation.

Comme la courbe passe par le point un, un, on sait que lorsque 𝑥 égale un, 𝑦 doit être égal à un. En substituant ces valeurs dans l’équation, on obtient un égal un au cube sur trois plus la constante d’intégration 𝐶. En simplifiant et en soustrayant un sur 3 aux deux membres de l’équation, on obtient 𝐶 égale deux sur trois. Et nous pouvons ensuite simplement écrire cette valeur de 𝐶 dans l’équation de la courbe. Nous trouvons donc que l’équation de la courbe est 𝑦 égale 𝑥 au cube sur trois plus deux sur trois. Par conséquent, nous avons montré que si la dérivée de la courbe est 𝑥 carré et que la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 passe par le point un, un, alors la courbe doit avoir l’équation 𝑦 égale 𝑥 au cube sur trois plus deux sur 3. Et cette méthode est généralement réalisable à condition de pouvoir intégrer la dérivée de la fonction. Voyons maintenant un exemple d’application de cela.

Déterminez l’équation de la courbe qui passe par le point moins deux, un, sachant que le coefficient directeur de la tangente à la courbe est moins 11𝑥 carré.

Cette question demande de trouver l’équation d’une courbe. Nous disposons pour cela d’informations sur celle-ci. Nous savons que la courbe passe par le point moins deux, un et que le coefficient directeur de la tangente à cette courbe est égal à la fonction moins 11𝑥 carré. Utilisons donc ces informations l’une après l’autre. Tout d’abord, si nous écrivons l’équation de cette courbe sous la forme 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et si elle passe par le point moins deux, un, alors lorsque 𝑥 est égal à moins deux, 𝑦 doit être égal à un.

Nous pouvons donc remplacer ces valeurs dans l’équation de la courbe. C’est-à-dire un égale 𝑓 de moins deux. Nous savons ensuite que le coefficient directeur de la tangente à la courbe est moins 11𝑥 carré. Et on rappelle que le coefficient directeur de la tangente à la courbe est égal à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. En d’autres termes, on a d𝑦 sur d𝑥 égale moins 11𝑥 carré. Nous devons donc trouver l’équation d’une courbe à partir de sa dérivée et d’un point sur la courbe. Et la première étape pour cela est de trouver une primitive de moins 11𝑥 carré. Nous savons comment calculer des primitives en utilisant l’intégration. L’intégrale de moins 11𝑥 carré par rapport à 𝑥 nous donnera l’expression générale de sa primitive.

Et la raison pour laquelle nous la calculons est que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 doit être égale à moins 11𝑥 carré. Nous devons donc intégrer moins 11𝑥 carré par rapport à 𝑥. On peut le faire en utilisant la formule de la primitive d’une puissance. Elle stipule pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛, où 𝑛 est différent de moins un, l’intégrale de 𝑎 𝑥 puissance par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus une constante d’intégration 𝐶. On ajoute un à l’exposant puis on divise par ce nouvel exposant.

Dans notre cas, la valeur de 𝑎 est moins 11 et la valeur de 𝑛 est deux. On ajoute donc un à l’exposant deux et on obtient un exposant de trois, puis on divise par ce nouvel exposant. On obtient moins 11𝑥 au cube sur trois plus une constante d’intégration 𝐶. Et bien sûr, la dérivée de cette expression par rapport à 𝑥 est égale à moins 11𝑥 carré. La courbe 𝑦 est donc pour le moment égale à moins 11𝑥 au cube sur trois plus une constante d’intégration 𝐶, avec d𝑦 sur d𝑥 égale moins 11𝑥 au carré. Rappelez-vous cependant que cette courbe doit passer par le point moins deux, un. Nous devons donc substituer 𝑥 égale moins deux et 𝑦 égale un dans l’équation de la courbe.

On obtient alors un égale moins 11 fois moins deux au cube sur trois plus la constante d’intégration 𝐶. Il ne reste plus qu’à résoudre cette équation pour déterminer 𝐶. En réarrangeant, on trouve que 𝐶 doit être égal à moins 85 sur trois. Nous n’avons plus qu’à remplacer cette valeur de 𝐶 dans l’équation de la courbe pour obtenir la réponse finale. Par conséquent, nous avons montré que l’équation de la courbe qui passe par le point moins deux, un et dont le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 𝑥 est égal à moins 11𝑥 carré est 𝑦 égale moins 11 sur trois 𝑥 au cube moins 85 sur trois.

Étudions maintenant un exemple où la dérivée est une fonction plus complexe.

Déterminez l’équation de la courbe passant par l’origine et dont le coefficient directeur de la tangente à la courbe est cinq sinus carré de 𝑥 sur deux.

Cette question nous demande de trouver l’équation d’une courbe. Et nous disposons pour cela d’informations sur celle-ci. Tout d’abord, nous savons que le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 𝑥 est donné par cinq sin carré de 𝑥 sur deux. Nous savons de plus que la courbe passe par l’origine. Pour répondre à cette question, commençons par écrire l’équation de la courbe sous la forme 𝑦 égale une fonction 𝑓 de 𝑥. Cette équation doit alors remplir deux conditions. Tout d’abord, la courbe doit passer par l’origine. Et on rappelle que l’origine est le point dont les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont égales à zéro.

Si la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 passe par l’origine, alors cette équation doit être vérifiée lorsque 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à zéro. En d’autres termes, on doit avoir zéro égal 𝑓 de zéro. Ce n’est pas la seule condition à remplir. Nous connaissons également le coefficient directeur de la tangente à la courbe. On rappelle alors que le coefficient directeur de la tangente à la courbe est égal à la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. En d’autres termes, d𝑦 sur d𝑥 doit être égal à cinq sin carré de 𝑥 sur deux. Et il convient également de souligner que l’on pourrait l’écrire par 𝑓 prime de 𝑥. Le choix de la notation n’est qu’une question de préférence personnelle.

Pour trouver l’équation de cette courbe, nous devons donc remplir ces deux conditions. Nous commençons par rechercher une fonction dont la dérivée est cinq sin carré de 𝑥 sur deux. En d’autres termes, nous recherchons une primitive de cette fonction. Et nous savons comment trouver des primitives en utilisant l’intégration. Si nous l’intégrons par rapport à 𝑥, nous trouverons sa primitive. Nous avons donc 𝑦 égale intégrale de cinq sin carré de 𝑥 sur deux par rapport à 𝑥 à une constante d’intégration près. Nous nous heurtons ici à un obstacle. Il est très difficile d’intégrer la fonction sin carré. Nous devons donc simplifier cette expression. Et nous allons pour cela utiliser la formule d’angle double du cosinus.

Elle stipule que cos de deux 𝜃 égale un moins deux sin carré de 𝜃. Et elle est vraie pour toute valeur de 𝜃. Nous souhaitons l’utiliser pour déterminer une expression de sin carré de 𝑥 sur deux. On substitue donc 𝜃 égale 𝑥 sur deux. Et on obtient cos de deux fois 𝑥 sur deux égale un moins deux sin carré de 𝑥 sur deux. On peut bien sûr simplifier car deux sur deux égale un. On réarrange ensuite cette équation: on ajoute deux sin carré de 𝑥 sur deux aux deux membres et on soustrait cos aux deux membres. Cela nous donne deux sin carré de 𝑥 sur deux égale un moins cos 𝑥.

Plusieurs méthodes sont ensuite possibles. Comme on intègre cinq sin carré de 𝑥 sur deux, on peut essayer d’obtenir un coefficient de cinq. On multiplie pour cela les deux membres par cinq sur deux. En simplifiant, on obtient alors cinq sin carré de 𝑥 sur deux égale cinq sur deux moins cinq sur deux cos 𝑥. Et cette expression est beaucoup plus facile à intégrer. On la remplace dans l’intégrale. On obtient 𝑦 égale intégrale de cinq sur deux moins cinq sur deux cos 𝑥 par rapport à 𝑥 à une constante d’intégration près.

On peut maintenant simplement intégrer terme par terme. Cinq sur deux est une constante. Lorsqu’on l’intègre par rapport à 𝑥, on obtient cinq sur deux 𝑥. Pour intégrer ensuite le deuxième terme, on rappelle la formule suivante. Pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale de moins 𝑎 cos 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins 𝑎 sin 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. On peut l’utiliser avec 𝑎 égale cinq sur deux pour obtenir l’intégrale de ce terme. Nous avons donc 𝑦 égale cinq sur deux 𝑥 moins cinq sur deux sin 𝑥 plus notre constante d’intégration 𝐶. Tout ce qu’il nous reste maintenant à faire est de déterminer la valeur de 𝐶. Et pour cela, nous devons utiliser le fait que zéro égale 𝑓 de zéro.

En d’autres termes, comme la courbe passe par l’origine, nous pouvons simplement substituer 𝑥 égale zéro et 𝑦 égale zéro dans l’équation de la courbe. Et cette équation doit être vérifiée. Cela donne zéro égale cinq sur deux fois zéro moins cinq sur deux sin de zéro plus 𝐶. Bien sûr, cinq sur deux fois zéro égale zéro et sin de zéro est aussi égal à zéro. Toute cette expression se simplifie donc par 𝐶 égale zéro. Nous avons ainsi montré que 𝐶 doit être égale à zéro. Nous n’avons plus qu’à substituer cette valeur de 𝐶 dans l’expression de la courbe. Et en substituant 𝐶 égale zéro, nous obtenons la réponse finale. L’équation de cette courbe est donc 𝑦 égale cinq sur deux 𝑥 moins cinq sur deux sin 𝑥.

Étudions maintenant un exemple impliquant la fonction exponentielle.

Sachant que la dérivée au point 𝑥, 𝑦 est trois exponentielle de trois 𝑥 et que 𝑓 de zéro égale moins trois, calculez 𝑓 de moins trois.

Dans cette question, nous devons déterminer la valeur de 𝑓 de moins trois. Et nous avons quelques informations sur cette fonction. Nous savons que sa dérivée au point 𝑥, 𝑦 est trois exponentielle de trois 𝑥. Et nous savons également que 𝑓 de zéro égale moins trois. Nous avons donc deux informations sur 𝑓 de 𝑥. Tout d’abord, sa dérivée est égal à trois exponentielle de trois 𝑥. Que l’on peut également exprimer par 𝑓 prime de 𝑥 égale trois exponentielle de trois 𝑥. Pour trouver 𝑓 de 𝑥, nous devons donc trouver une primitive de 𝑓 prime de 𝑥. Et nous savons comment le faire en utilisant l’intégration.

Nous pouvons trouver une primitive de 𝑓 prime de 𝑥 en l’intégrant par rapport à 𝑥. 𝑓 de 𝑥 sera égal à l’intégrale de trois exponentielle de trois 𝑥 par rapport à 𝑥 à une constante d’intégration près. Et pour évaluer cette intégrale, on rappelle la propriété suivante. Pour toute constante réelle 𝑎, l’intégrale d’exponentielle de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 exponentielle de 𝑎𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶. On doit diviser par le coefficient de 𝑥 dans l’exposant. Pour cette fonction, il est égal à trois. On obtient donc trois fois un sur 3 exponentielle de trois 𝑥. Et on rappelle que l’on doit ajouter une constante d’intégration 𝐶.

On peut bien sûr simplifier cela. Trois fois un sur 3 égale un. Nous trouvons donc 𝑓 de 𝑥 égale exponentielle de trois 𝑥 plus 𝐶. Nous souhaitons maintenant déterminer la valeur de 𝐶. On va pour cela utiliser le fait que 𝑓 de zéro égale moins trois. On substitue donc 𝑥 égale zéro. On sait que 𝑓 de zéro égale moins trois, qui est égal à exponentielle de trois fois zéro plus 𝐶. On essaie maintenant de déterminer 𝐶. Exponentielle de zéro égale un. On réarrange et on obtient 𝐶 égale moins quatre. On peut maintenant substituer cette valeur dans l’expression de 𝑓 de 𝑥.

Et nous avons donc 𝑓 de 𝑥 égale exponentielle de trois 𝑥 moins quatre. La question nous demande de calculer 𝑓 de moins trois. On substitue donc 𝑥 égale moins trois dans cette expression. Et on obtient exponentielle de trois fois moins trois moins quatre. Et si nous réorganisons et évaluons cette expression, nous obtenons une réponse finale de moins quatre plus un sur exponentielle de neuf.

Étudions maintenant un exemple de question impliquant les maximums et minimums d’une courbe.

Déterminez les valeurs maximales et minimales locales de la courbe qui passe par le point moins un, sept où le coefficient directeur de la tangente à la courbe est six fois 𝑥 carré plus quatre 𝑥 plus trois.

Dans cette question, nous devons déterminer les valeurs maximales et minimales locales d’une courbe mais nous ne connaissons pas l’équation de la courbe elle-même. Nous avons cependant quelques informations sur celle-ci. Nous savons que la courbe passe par le point moins un, sept. Et nous connaissons également l’expression du coefficient directeur de la tangente à la courbe au point 𝑥, 𝑦. Il est égal à six fois 𝑥 carré plus quatre 𝑥 plus trois. Bien sûr, pour trouver les valeurs maximales et minimales locales d’une fonction, nous allons devoir déterminer l’image de ces valeurs. Nous allons donc avoir besoin de l’expression de cette fonction. Et nous allons pour cela utiliser les deux informations dont nous disposons.

Nous avons tout d’abord une expression du coefficient directeur de la tangente à la courbe pour toute valeur de 𝑥. Et on rappelle que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est donc égale à cette expression. En d’autres termes, nous avons d𝑦 sur d𝑥 égale six fois 𝑥 carré plus quatre 𝑥 plus trois. Mais ce n’est pas la seule information dont nous disposons. Il est indiqué que la courbe passe par le point moins un, sept. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑦 doit être égal à sept. Nous avons une expression de la dérivée de la fonction.

Qui est par définition obtenue en dérivant l’expression de la courbe par rapport à 𝑥. Cela signifie que nous recherchons une primitive de cette expression. Et nous savons comment le faire en utilisant l’intégration. Nous devons avoir 𝑦 égale intégrale de six fois 𝑥 carré plus quatre plus trois par rapport à 𝑥 à une constante d’intégration près, ce qui donnera l’expression générale de sa primitive. On peut résoudre ce problème de plusieurs façons. On commence par distribuer le six devant les parenthèses. On obtient ainsi intégrale de six 𝑥 carré plus 24𝑥 plus 18 par rapport à 𝑥. On a maintenant simplement l’intégrale d’une fonction du second degré. On peut l’intégrer terme par terme en utilisant la formule de la primitive d’une puissance.

On rappelle que pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛, où 𝑛 est différent de moins un, l’intégrale de 𝑎𝑥 puissance par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus une constante d’intégration 𝐶. On ajoute un à l’exposant de 𝑥 puis on divise par ce nouvel exposant. En appliquant cela à six 𝑥 carré, on ajoute un à l’exposant deux, ce qui donne un nouvel exposant de trois, puis on divise par trois. En simplifiant, on obtient deux 𝑥 au cube. On fait de même pour 24𝑥, que l’on peut écrire comme 24𝑥 puissance un. On ajoute un à l’exposant un puis on divise par ce nouvel exposant. Cela donne 12𝑥 carré. On pourrait enfin faire la même chose pour 18 en l’écrivant 18 fois 𝑥 puissance zéro. On peut cependant simplement écrire que sa primitive est 18𝑥. Et n’oubliez pas que l‘on doit ajouter la constante d’intégration 𝐶.

Nous avons donc trouvé une expression de la courbe à une constante d’intégration près. Et nous souhaitons maintenant trouver sa valeur. Pour cela, nous allons utiliser le fait que la courbe passe par le point moins un, sept. Comme elle passe par ce point, nous pouvons substituer ces coordonnées dans l’équation de la courbe. Et l’équation devra être vraie avec ces valeurs. En substituant 𝑥 égale moins un et 𝑦 égale sept dans l’équation de la courbe, on obtient sept égale deux fois moins un au cube plus 12 fois moins un au carré plus 18 fois moins un plus 𝐶.

En simplifiant cette expression et en isolant 𝐶, nous obtenons 𝐶 égale 15. Et nous pouvons substituer cette valeur dans l’expression de la courbe. Donc, en faisant un peu de place et en utilisant 𝐶 égale 15, nous obtenons l’expression finale de la courbe. Mais rappelez-vous que nous devons déterminer ses valeurs maximales et minimales locales. Pour cela, on rappelle la propriété suivante. Les extremums locaux d’une fonction polynomiale se produisent aux points critiques, c’est-à-dire quand la dérivée est égale à zéro. Et nous connaissons l’expression de la dérivée.

Donc pour trouver les extremums locaux, nous devons résoudre six fois 𝑥 carré plus quatre 𝑥 plus trois égale zéro. Il suffit pour cela de factoriser cette expression du second degré. Et elle se factorise par 𝑥 plus un fois 𝑥 plus trois. En résolvant cette expression égale à zéro, on obtient 𝑥 égale moins un ou 𝑥 égale moins trois. Pour trouver les images de ces valeurs, nous devons les substituer dans l’expression de la courbe. Pour x égal moins un, on obtient 𝑦 égale sept. De même, lorsque 𝑥 égale moins trois, on trouve 𝑦 égale 15. Nous devons maintenant déterminer laquelle est un maximum et laquelle est un minimum. Nous remarquons que la courbe est polynomiale du troisième degré avec un coefficient dominant positif. Elle ressemble donc à peu près à cela. Et nous savons qu’elle a deux extremums dont nous connaissons les coordonnées. Nous avons donc montré que la valeur maximale locale est égale à 15 et que la valeur minimale locale est égale à sept.

Le point clé de cette vidéo est que si nous connaissons la dérivée d’une fonction, d𝑦 sur d𝑥, nous pouvons trouver une expression de 𝑦 en utilisant l’intégration.

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