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Évaluez moins sept moins sept 𝜔 moins six 𝜔 au carré le tout au carré plus moins six moins cinq 𝜔 moins six 𝜔 carré le tout au carré, où 𝜔 est une racine cubique non triviale de l’unité.
Comme on nous dit que 𝜔 n’est pas une racine cubique triviale de l’unité, commençons par rappeler quelques propriétés utiles. Premièrement, nous savons que la somme de un, 𝜔 et 𝜔 au carré est égale à zéro. Deuxièmement, nous avons que 𝜔 élevé à la puissance trois 𝑛 est égal à un. Par exemple, 𝜔 au cube et 𝜔 à la puissance six sont tous deux égaux à un. De même, nous savons que 𝜔 élevé à la puissance trois 𝑛 plus un est égal à 𝜔. Par exemple, 𝜔 à la puissance quatre et 𝜔 à la puissance sept sont tous deux égaux à 𝜔. Enfin, 𝜔 à la puissance trois 𝑛 plus deux est égal à 𝜔 au carré. Par exemple, 𝜔 à la puissance cinq et 𝜔 à la puissance huit sont tous deux égaux à 𝜔 au carré.
Maintenant, si nous regardons les deux parenthèses, il pourrait être tentant d’essayer de les développer. Mais au lieu de cela, nous devrions d’abord envisager de simplifier les expressions à l’intérieur, car il semble qu’avec un peu de manipulation, nous pourrions appliquer la première propriété. Nous pouvons en fait réécrire le terme moins six 𝜔 au carré comme moins sept 𝜔 au carré plus 𝜔 au carré. Et de même, nous pouvons réécrire le terme moins cinq 𝜔 comme moins six 𝜔 plus 𝜔. L’avantage de faire cela est que nous pouvons alors réécrire chacune des expressions entre parenthèses comme moins sept moins sept 𝜔 moins sept 𝜔 au carré plus 𝜔 au carré le tout au carré plus moins six moins six 𝜔 moins six 𝜔 au carré plus 𝜔 le tout au carré.
Ceci est utile, car nous avons alors deux expressions que nous pouvons factoriser. Nous pouvons factoriser par moins sept dans une partie de l’expression de la première parenthèse et moins six dans une partie de l’expression de la deuxième parenthèse. Cela nous laisse avec moins sept multiplié par un plus 𝜔 plus 𝜔 au carré plus 𝜔 au carré le tout au carré plus moins six multiplié par un plus 𝜔 plus 𝜔 au carré plus 𝜔 le tout au carré.
Maintenant, nous pouvons appliquer la propriété un, qui nous dit que un plus 𝜔 plus 𝜔 au carré est égal à zéro. Par conséquent, moins sept multiplié par zéro vaut zéro, et de même, moins six multiplié par zéro vaut zéro. Cela signifie que notre expression peut être simplifiée en 𝜔 carré au carré plus 𝜔 carré. Cela se simplifie en 𝜔 à la puissance quatre plus 𝜔 au carré.
Maintenant, nous pouvons appliquer la troisième propriété, comme nous le savons 𝜔 à la puissance quatre est égal à 𝜔, ce qui signifie que notre expression peut être simplifiée en 𝜔 carré plus 𝜔. C’est à nouveau proche de la première propriété, nous pouvons donc utiliser la même astuce que précédemment. Nous réécrivons zéro comme plus un moins un. Notre expression est donc égale à 𝜔 au carré plus 𝜔 plus un moins un. Appliquer à nouveau la première propriété nous indique que la première partie de l’expression est égale à zéro. Alternativement, ici, nous aurions pu réorganiser la première propriété en soustrayant un de chaque côté. Cela nous indique directement que 𝜔 plus 𝜔 au carré est égal à moins un. Donc, il nous reste moins un.
Par conséquent, notre réponse finale est que moins sept moins sept 𝜔 moins six 𝜔 au carré le tout au carré plus moins six moins cinq 𝜔 moins six 𝜔 au carré le tout au carré est égal à moins un.
