Vidéo de la leçon : Racines cubiques de l’unité Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les racines cubiques de l’unité à l’aide de la formule de Moivre.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les racines cubiques de l’unité et explorer leurs propriétés. Nous commencerons par apprendre ce qu’on appelle racines cubiques de l’unité et comment les calculer. Nous apprendrons à calculer les produits et les puissances négatives de ces racines de l’unité, ainsi que leur somme et leur différence. Enfin, nous apprendrons à simplifier des expressions à l’aide des propriétés de ces racines. Soit l’équation 𝑧 au cube égale un.

Trouvez toutes les valeurs de 𝑧 pour lesquelles 𝑧 au cube est égal à un.

Ici, on a l’équation 𝑧 au cube égale un, où 𝑧 est un nombre complexe. Il existe plusieurs façons de résoudre cette équation. L’une consiste à utiliser la formule de Moivre pour en déduire les racines. L’autre consiste à réécrire cette équation 𝑧 au cube moins un égale zéro et à la résoudre. Il va s’agir de déterminer une racine et d’utiliser le théorème de factorisation, suivi d’une division polynomiale ou de l’identification des coefficients pour en déduire les autres racines. Voyons comment résoudre ce problème par la formule de Moivre.

Nous utiliserons la formule de Moivre pour un nombre complexe écrit sous forme polaire. C’est 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, où 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument du nombre complexe en radians. On peut calculer 𝑧 puissance un sur 𝑛 en calculant 𝑟 puissance un sur 𝑛 multiplié par cos 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 pour 𝑘 égal à zéro jusqu’à 𝑛 moins un. Commençons par écrire le nombre un sous forme polaire. Sa partie réelle est un. Et sa partie imaginaire est zéro. C’est un nombre facile à écrire sous forme polaire.

Si on représente un sur le plan complexe, il est représenté par le point de coordonnées cartésiennes un, zéro. Le module de ce nombre est la longueur du segment qui relie ce point à l’origine. C’est-à-dire un. L’argument est la mesure de l’angle que ce segment forme avec l’axe des réels positifs. Il se mesure dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On voit qu’il est égal à zéro. Sous forme polaire, un égale un multiplié par cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro. Et si on substitue cela dans l’équation, 𝑧 au cube est donc égal à une fois cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro.

Pour résoudre cette équation, il faut calculer la valeur de 𝑧. Pour ce faire, on prend la racine cubique de chaque côté de l’équation. Ensuite, on utilise la formule de Moivre pour 𝑛 égale trois. Donc 𝑧 est égal à un puissance un tiers multiplié par cos de zéro plus deux 𝜋𝑘 sur trois plus 𝑖 sin de zéro plus deux 𝜋𝑘 sur trois. Et bien sûr, on peut simplifier un peu. On sait que un puissance un tiers égale un. Et l’argument zéro plus deux 𝜋𝑘 sur trois s’écrit simplement deux 𝜋𝑘 sur trois.

Appliquons maintenant la dernière partie de la formule de Moivre. Puisque 𝑛 vaut trois, on prend 𝑘 égale zéro, un et deux dans cette équation. Pour 𝑘 égale zéro, on obtient 𝑧 égale cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro. cos de zéro égale un. Et 𝑖 sin de zéro égale zéro. Donc, la première solution de l’équation est 𝑧 égale un. Ensuite, on prend 𝑘 égale un. L’argument devient deux 𝜋 multiplié par un sur trois, soit simplement deux 𝜋 sur trois. Et la deuxième solution est cos de deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de deux 𝜋 sur trois.

La dernière solution est pour 𝑘 égale deux. On obtient 𝑧 égale cos de quatre 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de quatre 𝜋 sur trois. Mais l’argument de cette solution est en dehors de l’intervalle de l’argument principal. C’est-à-dire 𝜃 supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋. On peut ajouter et soustraire à quatre 𝜋 sur trois des multiples de deux 𝜋 afin de donner cette solution avec son argument principal.

Quatre 𝜋 sur trois moins deux 𝜋 égale moins deux 𝜋 sur trois. Ainsi, les racines cubiques de un sont 𝑧 égale un. 𝑧 égale cos de deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de deux 𝜋 sur trois. Et 𝑧 égale cos de moins deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de moins deux 𝜋 sur trois. Ce sont les racines cubiques de l’unité, c’est-à-dire toutes des valeurs possibles pour la racine cubique de un.

On peut également les exprimer sous forme algébrique. La première solution est toujours un. La deuxième solution est moins un demi plus racine de trois sur deux 𝑖. Et la troisième solution est moins un demi moins racine de trois sur deux 𝑖.

Passons à un exemple qui montrera les propriétés des produits des racines cubiques de l’unité.

Soient les racines cubiques complexes de l’unité 𝑧 un égale 𝑒 exposant 𝑖 deux 𝜋 sur trois et 𝑧 deux égale 𝑒 exposant moins 𝑖 deux 𝜋 sur trois. 1) Calculez 𝑧 un au carré. Comparez-le à 𝑧 deux. 2) Calculez 𝑧 deux au carré. Comparez-le à 𝑧 un.

Remarquez que 𝑧 un et 𝑧 deux sont les solutions complexes de 𝑧 au cube égale un, écrites sous forme exponentielle. Cela signifie qu’on peut utiliser la formule de Moivre pour calculer 𝑧 un au carré. C’est, pour un nombre complexe de la forme 𝑧 égale 𝑟𝑒 𝑖𝜃, 𝑧 puissance 𝑛 égale 𝑟 puissance 𝑛 fois 𝑒 𝑖𝑛𝜃. Pour rappel, 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument. On voit que le module de 𝑧 un est simplement un. Et l’argument de 𝑧 un est deux 𝜋 sur trois. Donc, 𝑧 un au carré égale un au carré fois 𝑒 𝑖 deux 𝜋 sur trois fois deux.

Un au carré égale un. Et deux 𝜋 sur trois multiplié par deux égale quatre 𝜋 sur trois. On voit donc que 𝑧 un au carré égale 𝑒 𝑖 quatre 𝜋 sur trois. L’argument de 𝑧 un au carré est en dehors de l’intervalle de l’argument principal. On va donc soustraire deux 𝜋. L’argument principal de 𝑧 un au carré est donc moins deux 𝜋 sur trois. On obtient que 𝑧 un au carré est égal à 𝑧 deux.

Procédons de même pour la question deux. Commençons par faire une hypothèse. On a vu que 𝑧 un au carré est égal à 𝑧 deux. 𝑧 deux au carré sera peut-être égal à 𝑧 un. Mais vérifions. Encore une fois, le module de 𝑧 deux est un. Et son argument est quant à lui moins deux 𝜋 sur trois. Moins deux 𝜋 sur trois multiplié par deux égale moins quatre 𝜋 sur trois. Encore une fois, l’argument de 𝑧 deux au carré est en dehors de l’intervalle de l’argument principal.

Cette fois, on ajoute deux 𝜋. Rappelons qu’on peut ajouter ou retrancher un multiple de deux 𝜋 pour déterminer l’argument principal. Cette fois, l’argument de 𝑧 deux au carré est deux 𝜋 sur trois. Et on constate que 𝑧 deux au carré est égal à 𝑧 un, comme on l’avait prédit. Ainsi, 𝑧 un au carré égale 𝑧 deux. Et 𝑧 deux au carré égale 𝑧 un, où 𝑧 un et 𝑧 deux sont les racines cubiques complexes de l’unité.

En fait, on peut généraliser ce principe à des puissances supérieures des racines cubiques complexes de l’unité.

Pour un entier positif 𝑛, on a 𝑧 un puissance 𝑛 égale un pour 𝑛 égale zéro modulo trois. Autrement dit, quand il reste zéro si on divise 𝑛 par trois. C’est égal à 𝑧 un lorsque 𝑛 égale un modulo trois. Il reste un si on divise 𝑛 par trois. Et c’est égal à 𝑧 deux lorsque 𝑛 égale deux modulo trois. C’est un moyen utile pour définir les racines cubiques de l’unité.

Donc, notre définition, il y a trois racines cubiques de l’unité. On représente la racine primitive par 𝜔 minuscule. C’est la racine de plus petit argument strictement positif, un argument de deux 𝜋 sur trois. Donc, 𝜔 égale 𝑒 puissance 𝑖 deux 𝜋 sur trois sous forme exponentielle. Sous forme polaire, c’est cos deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin deux 𝜋 sur trois. Et sous forme algébrique, c’est moins un demi plus racine de trois sur deux 𝑖. Et les trois racines sont un, 𝜔 et 𝜔 au carré. On peut représenter comme ceci la propriété cyclique pour la multiplication des racines cubiques de l’unité. Examinons maintenant les propriétés des racines cubiques de l’unité lorsqu’on les élève à un exposant négatif.

Soit 𝜔 la racine cubique primitive de l’unité. 1) Calculez 𝜔 puissance moins un. Comparez cela aux autres racines cubiques de l’unité. 2) Calculez 𝜔 puissance moins deux. Comparez cela aux autres racines cubiques de l’unité.

Commençons par écrire 𝜔 sous forme exponentielle. C’est 𝑒 𝑖 deux 𝜋 sur trois. Donc, 𝜔 puissance moins un égale 𝑒 𝑖 deux 𝜋 sur trois puissance moins un. Et si on applique les propriétés des exposants, on voit que 𝜔 puissance moins un égale 𝑒 moins 𝑖 deux 𝜋 sur trois. Et c’est bien sûr égal à 𝜔 au carré.

Procédons de même pour la deuxième question. Cette fois, 𝜔 puissance moins deux égale 𝑒 𝑖 deux 𝜋 sur trois, puissance moins deux. Encore une fois, en appliquant les propriétés des exposants, on voit que 𝜔 puissance moins deux égale 𝑒 moins 𝑖 quatre 𝜋 sur trois. L’argument de ce nombre complexe est en dehors de l’intervalle de l’argument principal. On ajoute donc deux 𝜋. Et on obtient que 𝜔 puissance moins deux égale 𝑒 𝑖 deux 𝜋 sur trois, ce qui est égal à 𝜔. Et comme 𝜔 puissance moins un est l’inverse de 𝜔, on voit que les racines cubiques de l’unité forment également un cycle pour la division.

On peut généraliser la représentation visuelle des racines cubiques de l’unité en les représentant dans le plan complexe. On voit qu’elles sont régulièrement espacées par rapport à l’origine. En fait, elles forment les sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle unité. Mais regardons de plus près.

Les représentations de 𝜔 et 𝜔 au carré sur le plan complexe sont une réflexion par rapport à l’axe réel ou horizontal. Rappelez-vous que le conjugué d’un nombre complexe correspond à une réflexion par rapport à l’axe horizontal. Donc cela signifie que 𝜔 au carré est égal au conjugué de 𝜔.

On a donc étudié les propriétés des racines cubiques de l’unité pour la multiplication et la division. Mais qu’en est-il de l’addition et de la soustraction ?

Soit 𝜔 la racine cubique primitive de l’unité. 1) Calculez 𝜔 plus 𝜔 au carré. 2) Calculez 𝜔 moins 𝜔 au carré. 3) Calculez 𝜔 plus un et comparez-le aux autres racines de l’unité. 4) Calculez 𝜔 au carré plus un et comparez-le aux autres racines de l’unité.

Pour répondre à la première question, on pourrait écrire 𝜔 et 𝜔 au carré sous forme algébrique puis calculer leur somme. Sinon, rappelons que 𝜔 au carré est égal au conjugué de 𝜔. Et donc 𝜔 plus 𝜔 au carré est égal à 𝜔 plus le conjugué de 𝜔. Ce qui rappelle une propriété. On sait que la somme d’un nombre complexe et de son conjugué vaut deux fois la partie réelle de ce nombre complexe. Donc 𝜔 plus le conjugué de 𝜔 égale deux fois la partie réelle de 𝜔.

Or, la partie réelle de la racine cubique primitive de l’unité est moins un demi. Et deux fois moins un demi égale moins un. Donc on obtient que 𝜔 plus 𝜔 au carré est égal à moins un. Ce qui implique que 𝜔 au carré plus 𝜔 plus un est égal à zéro. Notez qu’il s’agit des trois racines cubiques de l’unité. On vient de montrer que leur somme est égale à zéro.

Procédons de même pour la deuxième question. Encore une fois, on écrit que 𝜔 au carré est égal au conjugué de 𝜔. Or, la différence entre un nombre complexe et son conjugué est deux 𝑖 fois la partie imaginaire de ce nombre complexe. La partie imaginaire de 𝜔 est racine de trois sur deux. Ainsi, la différence de 𝜔 et 𝜔 au carré est 𝑖 racine de trois ou racine de trois 𝑖. On peut utiliser ce qu’on vient de trouver pour calculer 𝜔 plus un pour la troisième question et 𝜔 au carré plus un pour la quatrième question. On a vu que 𝜔 au carré plus 𝜔 plus un est égal à zéro. Donc, retranchons 𝜔 au carré des deux côtés de cette équation. On constate que 𝜔 plus un est égal à moins 𝜔 au carré. De même, on trouve que 𝜔 au carré plus un est égal à moins 𝜔.

Les racines cubiques de l’unité possèdent donc trois propriétés très importantes. On sait que 𝜔 au carré est égal au conjugué de 𝜔. On sait que la somme des trois racines cubiques est égale à zéro. Et on sait que 𝜔 moins 𝜔 au carré est égal à 𝑖 racine de trois.

Faisons un exercice qui montrera comment appliquer ces propriétés.

Calculez neuf moins 𝜔 au carré plus neuf 𝜔 puissance quatre le tout au carré plus six plus six 𝜔 au carré plus six 𝜔 puissance quatre le tout au carré.

Commençons par utiliser le cycle de multiplication des racines cubiques de l’unité pour réécrire 𝜔 puissance quatre. 𝜔 puissance quatre égale 𝜔 au carré multiplié par 𝜔 et de nouveau multiplié par 𝜔. On en déduit que 𝜔 puissance quatre égale 𝜔. On peut donc réécrire l’expression comme ceci. Nous allons ensuite factoriser chaque expression. Dans les premières parenthèses, on cherche à factoriser par neuf et dans les secondes parenthèses, par six. Pour quoi faire ? C’est parce qu’on sait que la somme de 𝜔 au carré, 𝜔 et un est zéro. Et on peut utiliser cela pour écrire que un plus 𝜔 est égal à moins 𝜔 au carré.

Ainsi, notre expression se simplifie à neuf multiplié par moins 𝜔 au carré moins 𝜔 au carré le tout au carré plus six fois zéro au carré. Bien sûr, six fois zéro au carré égale zéro. Donc, ça se simplifie à moins 10𝜔 au carré au carré. Moins 10 au carré égale 100. Et 𝜔 au carré au carré égale 𝜔 puissance quatre. Or, on a vu que 𝜔 puissance quatre est égal à 𝜔. Donc, notre expression se simplifie à 100𝜔.

Dans cette vidéo, on a appris qu’il existe trois racines cubiques de l’unité, notées un, 𝜔 et 𝜔 au carré. On appelle 𝜔 la racine cubique primitive de l’unité. C’est 𝑒 𝑖 deux 𝜋 sur trois ou, sous forme polaire, cos deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin deux 𝜋 sur trois ou, sous forme algébrique, moins un demi plus racine de trois sur deux 𝑖. Les puissances positives et négatives de 𝜔 forment un cycle. Pour toute valeur entière de 𝑛, 𝜔 puissance trois 𝑛 égale un. 𝜔 puissance trois 𝑛 plus un égale 𝜔. Et 𝜔 puissance trois 𝑛 plus deux égale 𝜔 au carré.

On a également vu qu’elles possèdent trois propriétés importantes. La somme des trois racines cubiques de l’unité est zéro. 𝜔 au carré est égal au conjugué de 𝜔. Et 𝜔 moins 𝜔 au carré est égal à 𝑖 racine de trois. On peut utiliser ces propriétés pour simplifier des expressions compliquées.

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