Vidéo : Racines cubiques de l’unité

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment utiliser le théorème de Moivre pour trouver les racines cubiques de l’unité et explorer leurs propriétés.

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Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver les racines cubiques de l’unité et à explorer leurs propriétés. Nous commencerons par apprendre ce que nous entendons par les racines cubiques de l’unité et comment les calculer. Nous allons apprendre à calculer les produits et les puissances négatives de ces racines de l’unité et leur somme et différence. Enfin, nous apprendrons à simplifier les expressions en utilisant les propriétés de ces racines. Considérez l’équation 𝑧 au cube est égal à un.

Trouvez toutes les valeurs de 𝑧 pour lesquelles 𝑧 au cube est égal à un.

Ici, nous avons une équation 𝑧 au cube est égale à un, où 𝑧 est un nombre complexe. Il existe plusieurs façons de résoudre cette équation. L’une consiste à rappeler le théorème de De Moivre pour les racines. L’autre consiste à réorganiser cette équation et à résoudre 𝑧 cube moins un égal à zéro. Pour ce faire, nous aurions besoin de repérer une racine et d’utiliser le théorème des facteurs, suivi soit d’une longue division polynomiale, soit de coefficients équivalents pour trouver les autres racines. Voyons comment nous pourrions résoudre ce problème en utilisant le théorème de De Moivre.

Nous utiliserons le théorème de De Moivre pour un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique. C’est 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, où 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument du nombre complexe en radians. Cela signifie que nous pouvons calculer 𝑧 à la puissance d’un sur 𝑛 en trouvant 𝑟 à la puissance d’un sur 𝑛 multiplié par cos de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 lorsque 𝑘 est égal à zéro tous les chemin à 𝑛 moins un. Nous commencerons ensuite par exprimer le nombre un sous forme trigonométrique. Sa partie réelle est un. Et sa partie imaginaire est nulle. C’est donc un nombre assez facile à représenter sous forme trigonométrique.

Si nous en représentons un sur un diagramme d’Argand, nous voyons qu’il peut être représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont un, zéro. Le module de ce nombre est la longueur du segment de droite qui relie ce point à l’origine. C’est clairement un. L’argument est la mesure de l’angle que ce segment de droite fait avec l’axe réel positif. Et cela se mesure dans le sens direct. Nous pouvons donc voir que c’est zéro. Sous forme trigonométrique alors, on est le même que celui multiplié par cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro. Et si nous replaçons cela dans notre équation, nous voyons que 𝑧 cube est donc égal à un fois cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro.

Puisque nous allons résoudre cette équation, nous devons calculer la valeur de 𝑧. Et pour ce faire, nous trouvons la racine cubique de chaque côté de l’équation. Maintenant, si nous comparons cela au théorème de De Moivre, nous pouvons voir que 𝑛, dans notre cas, est trois. Donc 𝑧 doit être égal à un à la puissance d’un tiers multipliée par cos de zéro plus deux 𝜋𝑘 sur trois plus 𝑖 sin zéro plus deux 𝜋𝑘 sur trois. Et bien sûr, nous pouvons quelque peu simplifier cela. Nous savons que un à la puissance d’un tiers est tout simplement un. Et notre argument zéro plus deux 𝜋𝑘 sur trois peut être simplement écrit comme deux 𝜋𝑘 sur trois.

Nous allons maintenant appliquer la dernière partie du théorème de De Moivre. Puisque notre valeur de 𝑛 est de trois, nous allons remplacer 𝑘 est égal à zéro, un et deux dans cette équation. Si nous substituons 𝑘 est égal à zéro dans, nous obtenons 𝑧 est égal à cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro. Maintenant, cos de zéro est un. Et 𝑖 le sin de zéro est nul. La première solution de notre équation est donc que 𝑧 est égal à un. On substitue alors 𝑘 est égal à un. Et l’argument devient deux 𝜋 multiplié par un sur trois, ce qui est simplement deux 𝜋 sur trois. Et notre deuxième solution est cos de deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de deux 𝜋 sur trois.

Notre solution finale est trouvée lorsque 𝑘 est égal à deux. On obtient 𝑧 est égal à cos de quatre 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de quatre 𝜋 sur trois. Maintenant, l’argument de cette solution est en dehors de l’intervalle de l’argument principal. Et ceci est 𝜃 est supérieur à moins 𝜋 et inférieur ou égal à 𝜋. Nous pouvons additionner et soustraire des multiples de deux 𝜋 à quatre 𝜋 sur trois afin d’exprimer cette solution avec son argument principal.

Quatre 𝜋 sur trois moins deux 𝜋 est moins deux 𝜋 sur trois. Et nous pouvons voir que les racines cubiques de un sont 𝑧 est égal à un. 𝑧 est égal à cos de deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de deux 𝜋 sur trois. Et 𝑧 est égal à cos de moins deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de moins deux 𝜋 sur trois. Ce sont les racines cubiques de l’unité, soi-disant parce que ce sont toutes des valeurs possibles pour la racine cubique d’un.

Nous pouvons également les exprimer sous forme algébrique. La première solution n’en est encore qu’une. La deuxième solution est moins un demi plus la racine trois sur deux 𝑖. Et la troisième solution est moins un demi racine moins trois sur deux 𝑖.

Nous allons maintenant regarder un exemple qui démontrera les propriétés des produits des racines cubiques de l’unité.

Soit 𝑧 une égale 𝑒 de 𝑖 deux 𝜋 sur trois et 𝑧 deux égaux 𝑒 de la borne moins 𝑖 deux 𝜋 sur trois soient les racines complexes cubiques de l’unité. 1) Évaluez 𝑧 un carré. Comment cela se compare-t-il à 𝑧 deux ? 2) Évaluez 𝑧 deux au carré. Comment cela se compare-t-il avec 𝑧 un ?

Remarquez comment 𝑧 un et 𝑧 deux sont les solutions complexes à 𝑧 au cube égal à un, écrites sous forme exponentielle. Cela signifie que nous pouvons utiliser le théorème de De Moivre pour évaluer 𝑧 un carré. Cela signifie que, pour un nombre complexe de la forme 𝑧 est égal à 𝑟𝑒 au 𝑖𝜃, 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑟 à la puissance 𝑛 fois 𝑒 de 𝑖𝑛𝜃. Rappelez-vous, 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument. Nous pouvons voir que le module de 𝑧 un est simplement un. Et l’argument de 𝑧 un est deux 𝜋 sur trois. Donc 𝑧 un carré équivaut à un fois au carré 𝑒 de 𝑖 deux 𝜋 sur trois fois deux.

Un carré est un. Et deux 𝜋 sur trois multipliés sur deux font quatre 𝜋 sur trois. Nous pouvons donc voir que 𝑧 un carré est égal à 𝑒 de 𝑖 quatre 𝜋 sur trois. L’argument de 𝑧 un carré est en dehors de l’intervalle de l’argument principal. Nous allons donc soustraire deux 𝜋. Et nous constatons que l’argument principal de 𝑧 un carré est moins deux 𝜋 sur trois. Et nous pouvons maintenant voir que 𝑧 un carré est égal à 𝑧 deux.

Répétons ce processus pour la question deux. Commençons par faire une prédiction. Nous avons vu que 𝑧 un carré est égal à 𝑧 deux. Il peut donc sembler que 𝑧 deux au carré sera égal à 𝑧 un. Mais vérifions. Encore une fois, le module de 𝑧 deux est un. Mais cette fois-ci, son argument est moins deux 𝜋 sur trois. Moins deux 𝜋 sur trois multiplié sur deux est moins quatre 𝜋 sur trois. Encore une fois, l’argument de 𝑧 deux au carré est en dehors de l’intervalle de l’argument principal.

Cette fois, nous allons ajouter deux 𝜋. N’oubliez pas que nous sommes autorisés à ajouter ou à soustraire n’importe quel multiple de deux 𝜋 pour obtenir un argument qui se situe dans l’intervalle de l’argument principal. Cette fois, l’argument de 𝑧 deux au carré est deux 𝜋 sur trois. Et nous voyons maintenant que 𝑧 deux au carré est égal à 𝑧 un comme nous l’avions prévu. Donc 𝑧 un carré est égal à 𝑧 deux. Et 𝑧 deux au carré est égal à 𝑧 un, où 𝑧 un et 𝑧 deux sont les racines cubiques complexes de l’unité.

Et en fait, nous pouvons étendre cette idée pour des puissances supérieures des racines cubiques complexes de l’unité.

On peut dire que, pour un entier positif 𝑛, 𝑧 un à la puissance 𝑛 est égal à un lorsque il vaut zéro modulo trois. En d’autres termes, il y a un reste de zéro lorsque 𝑛 est divisé par trois. Il est égal à 𝑧 un lorsque 𝑛 est un module trois. Il y a un reste quand 𝑛 est divisé par trois. Et c’est égal à 𝑧 deux quand 𝑛 est deux modules trois. Et cela nous fournit un moyen utile de former une définition des racines cubiques de l’unité.

Donc, notre définition, il y a trois racines cubiques de l’unité. 𝜔 minuscule est utilisé pour représenter la racine primitive. C’est la racine avec le plus petit argument strictement positif, un argument de deux 𝜋 sur trois. 𝜔 est donc 𝑒 de 𝑖 deux 𝜋 sur trois sous forme exponentielle. Sous forme trigonométrique, c’est cos deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin deux 𝜋 sur trois. Et sous forme algébrique, c’est moins un demi plus racine trois sur deux 𝑖. Et les trois racines peuvent être définies comme une, 𝜔 et 𝜔 au carré. Nous pouvons représenter la propriété cyclique en ce qui concerne la multiplication des racines cubiques de l’unité comme indiqué. Examinons maintenant les propriétés des racines cubiques de l’unité lorsqu’elles sont élevées à un exposant négatif.

Soit 𝜔 les racines cubiques primitives de l’unité. 1) Trouvez 𝜔 puissance moins un. Comment est-ce lié aux autres racines cubiques de l’unité ? 2) Trouvez 𝜔 à la puissance moins deux. Comment est-ce lié aux autres racines cubiques de l’unité ?

Commençons par écrire 𝜔 dans sa forme exponentielle. C’est 𝑒 de 𝑖 deux 𝜋 sur trois. Cela signifie que 𝜔 puissance moins un est 𝑒 de 𝑖 deux 𝜋 sur trois puissance moins un. Et si nous appliquons les lois des exposants, nous voyons que 𝜔 puissance moins un est égal à 𝑒 de moins 𝑖 deux 𝜋 sur trois. Et c’est bien sûr la même chose que 𝜔 au carré.

Répétons ce processus pour la deuxième partie. Cette fois, 𝜔 à la puissance moins deux est 𝑒 de 𝑖 deux 𝜋 sur trois, tous à la puissance moins deux. Et encore une fois, en appliquant les lois des exposants, nous voyons que 𝜔 à la puissance moins deux est égal à 𝑒 de moins 𝑖 quatre 𝜋 sur trois. L’argument pour ce nombre complexe est en dehors de l’intervalle de l’argument principal. Nous ajoutons donc deux 𝜋. Et nous voyons que 𝜔 à la puissance moins deux est égal à 𝑒 de 𝑖 deux 𝜋 sur trois, ce qui est égal à 𝜔. Et puisque 𝜔 puissance moins un est l’inverse de 𝜔, nous pouvons voir que les racines cubiques de l’unité forment également un cycle de division.

On peut même étendre la représentation visuelle des racines cubiques de l’unité en les représentant sur un diagramme d’Argand. Nous pouvons voir qu’ils sont régulièrement espacés sur l’origine. En fait, ils forment les sommets d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle unité. Mais regardons cela attentivement.

La représentation visuelle de 𝜔 et 𝜔 au carré sur notre diagramme d’Argand est comme une réflexion dans l’axe réel ou l’axe horizontal. Et si nous nous souvenons, nous savons que le conjugué complexe d’un nombre est représenté par une réflexion dans l’axe horizontal. Cela signifie donc que 𝜔 au carré doit être égal au conjugué de 𝜔.

Nous avons donc vu les propriétés des racines cubiques de l’unité sous multiplication et division. Mais qu’en est-il de l’addition et de la soustraction ?

Soit 𝜔 la racine cubique primitive de l’unité. 1) Trouvez 𝜔 plus 𝜔 au carré. 2) Trouvez 𝜔 moins 𝜔 au carré. 3) Qu’est-ce que 𝜔 plus un et comment est-il lié aux autres racines de l’unité ? 4) Qu’est-ce que 𝜔 au carré plus un et comment est-il lié aux autres racines de l’unité ?

Pour répondre à la première partie, nous pourrions essayer d’écrire 𝜔 et 𝜔 au carré sous forme algébrique et trouver leur somme de cette façon. Alternativement, nous rappelons que 𝜔 au carré est le même que le conjugué de 𝜔. Et cela signifie que 𝜔 plus 𝜔 au carré est égal à 𝜔 plus le conjugué de 𝜔. Cela a sa propre propriété. Nous savons que la somme d’un nombre complexe et de son conjugué est deux fois la partie réelle de ce nombre complexe. Donc 𝜔 plus le conjugué de 𝜔 est deux fois la partie réelle de 𝜔.

Eh bien, la partie réelle de la racine cubique primitive de l’unité est moins un demi. Et deux fois moins un demi est égal à moins un. Nous pouvons donc voir que 𝜔 plus 𝜔 au carré est égal à moins un. Cela signifie également que 𝜔 au carré plus 𝜔 plus un est égal à zéro. Notez que ce sont les trois racines cubiques de l’unité. Et nous avons montré que leur somme est égale à zéro.

Répétons ce processus pour la deuxième partie. Encore une fois, nous exprimons 𝜔 au carré comme conjugué de 𝜔. Mais cette fois-ci, la différence entre un nombre complexe et son conjugué est deux 𝑖 fois la partie imaginaire de ce nombre complexe. La partie imaginaire de 𝜔 est racine trois sur deux. Ainsi, la différence entre 𝜔 et 𝜔 au carré est 𝑖 racine trois ou racine trois 𝑖. Et nous pouvons utiliser ce que nous avons calculé ici pour calculer 𝜔 plus un pour la troisième partie et 𝜔 au carré plus un pour la quatrième partie. Nous avons vu que 𝜔 au carré plus 𝜔 plus un est égal à zéro. Donc, soustrayons 𝜔 au carré des deux côtés de cette équation. Lorsque nous le faisons, nous voyons que 𝜔 plus un est égal à moins 𝜔 au carré. De même, nous pouvons également déduire que 𝜔 au carré plus un est égal à moins 𝜔.

Les racines cubiques de l’unité ont donc trois propriétés vraiment importantes. Nous savons que 𝜔 au carré est égal au conjugué de 𝜔. Nous savons que la somme des trois racines cubiques est égale à zéro. Et nous savons que 𝜔 moins 𝜔 au carré est égal à 𝑖 racine trois.

Jetons un coup d’œil à une question qui montrera comment appliquer ces propriétés.

Évaluez neuf moins 𝜔 au carré plus neuf 𝜔 à la puissance quatre tous au carré plus six plus six 𝜔 au carré plus six 𝜔 à la puissance quatre tous au carré.

Commençons par utiliser le cycle de multiplication des racines cubiques de l’unité pour remplacer 𝜔 à la puissance quatre. 𝜔 à la puissance quatre équivaut à 𝜔 au carré multiplié par 𝜔 puis à nouveau multiplié par 𝜔. On peut donc dire que 𝜔 à la puissance quatre doit être identique à 𝜔. Et nous pouvons réécrire notre expression comme indiqué. Nous allons ensuite factoriser chaque expression. Dans les premières parenthèses, nous allons chercher à supprimer un facteur de neuf et dans les deuxièmes parenthèses, un facteur de six. Et pourquoi voulons-nous faire cela ? Eh bien, nous savons que la somme de 𝜔 au carré et de 𝜔 et un est zéro. Et nous pouvons réorganiser cela pour montrer que un plus 𝜔 est égal à moins 𝜔 au carré.

Ainsi, notre expression peut être simplifiée à neuf multiplié par moins 𝜔 au carré moins 𝜔 au carré tout au carré plus six fois zéro au carré. Et bien sûr, six fois zéro tout carré est tout simplement zéro. Donc, ce qui simplifie encore à moins 10𝜔 au carré au carré. Moins 10 au carré est 100. Et 𝜔 au carré est 𝜔 à la puissance quatre. Mais nous avons déjà vu que 𝜔 à la puissance quatre est simplement 𝜔. Donc, notre expression est tout simplement 100𝜔.

Dans cette leçon, nous avons appris qu’il existe trois racines cubiques d’unité, notées une, 𝜔 et 𝜔 au carré. Et nous appelons 𝜔 la racine cubique primitive de l’unité. C’est 𝑒 de 𝑖 deux 𝜋 sur trois ou, sous forme trigonométrique, cos deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de deux 𝜋 sur trois ou, sous forme algébrique, moins un demi plus racine trois sur deux 𝑖. Les puissances positives et négatives de 𝜔 forment un cycle fermé. Pour toute valeur entière de 𝑛, 𝜔 à la puissance trois 𝑛 est un. 𝜔 à la puissance trois 𝑛 plus un est 𝜔. Et 𝜔 à la puissance trois 𝑛 plus deux est 𝜔 au carré.

Nous avons également vu qu’ils ont trois propriétés importantes. Et c’est la somme des trois racines cubiques de l’unité est zéro. 𝜔 au carré est égal au conjugué de 𝜔. Et 𝜔 moins 𝜔 au carré est égal à 𝑖 racine trois. Et nous pouvons utiliser ces propriétés pour simplifier des expressions plus compliquées.

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