Fiche explicative de la leçon: Racines cubiques de l’unité

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment identifier les racines cubiques de l’unité à l’aide de la formule de Moivre.

Une racine cubique (ou troisième) de l’unité est une solution complexe de l’équation . Si on considère uniquement les solutions réelles de cette équation, on peut appliquer la racine cubique aux deux membres de l’équation pour obtenir , ce qui signifie qu’il n’y a qu’une seule solution réelle. Il existe cependant d’autres solutions à cette équation mais ce ne sont pas des nombres réels. Pour résoudre cette équation, on commence par reformuler cette équation par . En rappelant la formule de la différence de deux cubes on peut factoriser et écrire

Le premier facteur conduit à la racine réelle , tandis que le facteur du second degré donne des racines complexes avec la formule des racines du second degré. En appliquant la formule des racines du second degré avec , et , on a

Cela nous donne deux autres solutions complexes à l’équation . Nous avons ainsi obtenu trois racines cubiques de l’unité.

Définition : Racines cubiques de l’unité sous forme algébrique

Les racines cubiques de l’unité sont les solutions complexes à l’équation . Les trois racines cubiques de l’unité, sous forme algébrique, sont

La racine réelle 1 est appelée la racine cubique triviale de l’unité et les racines complexes et sont appelées les racines cubiques non triviales de l’unité.

D’après la forme algébrique des racines cubiques de l’unité, on peut voir que les deux racines cubiques complexes de l’unité sont conjuguées.

Bien que cette méthode puisse être utilisée pour trouver les racines cubiques de l’unité, elle ne peut être généralisée pour obtenir les racines de l’unité, pour des indices plus élevés ; c'est-à-dire pour les solutions de l’équation pour . Une autre méthode permettant de trouver les racines cubiques de l’unité utilise la formule de Moivre qui peut être facilement généralisée pour trouver les racines d’indices plus élevés. Rappelons la formule de Moivre pour les racines cubiques.

Théorème : Formule de Moivre pour les racines cubiques

Pour un nombre complexe , les racines cubiques de sont avec et 2.

Dans le premier exemple, nous allons appliquer la formule de Moivre pour déterminer la forme trigonométrique des racines cubiques de l’unité.

Exemple 1: Racines cubiques de l’unité

Déterminez toutes les valeurs de pour lesquelles .

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer toutes les solutions de l’équation . Si nous souhaitons seulement calculer les solutions réelles, nous pouvons appliquer la racine cubique aux deux membres de l’équation pour obtenir .

Pour prendre la racine cubique et trouver des solutions complexes à cette équation, nous allons utiliser la forme trigonométrique d’un nombre complexe. On rappelle que l’on peut exprimer un nombre complexe de module et d’argument sous forme trigonométrique de la manière suivante :

La formule de Moivre nous permet alors de calculer les racines de tout ordre d’un nombre complexe sous forme trigonométrique. On rappelle en particulier la formule de Moivre pour les racines cubiques : pour un nombre complexe sous forme trigonométrique , les racines cubiques de ce nombre complexe sont avec et 2.

Par conséquent, pour prendre la racine cubique du membre de droite de l’équation, qui est 1, on peut commencer par exprimer 1 sous forme trigonométrique. On sait que le module de 1 est égal à 1, et comme le point d’affixe 1 du plan complexe est située sur l’axe des réels positifs, l’argument de 1 est 0 radian. On peut donc écrire 1 sous forme trigonométrique en utilisant et :

En appliquant la formule de Moivre pour calculer les racines cubiques de 1 sous forme trigonométrique, on obtient avec et 2. Par conséquent, les trois racines sont

On rappelle que, par convention, l’argument d’un nombre complexe doit appartenir à l’intervalle . Les deux premières racines cubiques ont pour arguments 0 et , qui sont bien dans cet intervalle, mais l’argument de la dernière racine, , n’appartient pas à cet intervalle. Comme cet argument est supérieur à la borne supérieure , on peut obtenir un argument équivalent en soustrayant un tour complet, , à cette mesure :

Cet argument équivalent, , se situe bien dans l’intervalle , on peut donc l’utiliser pour écrire la troisième racine cubique de l’unité

Par conséquent, les trois racines cubiques de l’unité sont

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé les racines cubiques de l’unité sous forme trigonométrique en appliquant la formule de Moivre. On rappelle que la forme exponentielle d’un nombre complexe de module et d’argument est ; cela signifie que les formes trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe sont reliées par l’identité

On peut donc convertir les racines cubiques de l’unité sous forme exponentielle à partir des formes trigonométriques obtenues dans l’exemple précédent.

Définition : Racines cubiques de l’unité sous forme trigonométrique et exponentielle

Les trois racines cubiques de l’unité sous forme trigonométrique sont

Les trois racines cubiques de l’unité sous forme exponentielle sont

Les racines et sont les racines cubiques complexes de l’unité.

Les expressions des racines cubiques de l’unité ci-dessus donnent les modules et les arguments des racines. On peut voir que le module de toutes les racines cubiques de l’unité est égal à 1, ce qui signifie que les points ayant pour affixes ces racines se situent toutes sur le cercle trigonométrique du plan complexe. Le point d’affixe 1, se situe sur l’axe des réels positifs et les points ayant pour affixe les deux autres racines sont symétriques par rapport à l’axe des réels car leurs arguments sont de signe opposé. Représentons donc les points ayant pour affixe les racines cubiques de l’unité sur le plan complexe.

Sur le graphique ci-dessus, on remarque que l’angle entre les deux segments reliant l’origine et les points d’affixe les racines cubiques complexes de l’unité est

On peut donc trouver les trois racines cubiques en commençant par le point dans le plan complexe et en effectuant une rotation de le long du cercle trigonométrique dans le sens direct ou indirect. Grâce à la formule de Moivre, on va pouvoir lier, dans le plan complexe, la puissance des racines à une rotation géométrique.

Théorème : Formule de Moivre pour des exposants entiers

Soit un nombre complexe non nul sous forme exponentielle. Pour tout entier ,

Ce théorème indique que si on met un nombre complexe de module 1 au carré, on double l’argument du nombre complexe. Dans le plan complexe ci-dessus, on peut voir que le carré d’une racine cubique complexe de l’unité est égal à l’autre racine complexe de l’unité.

Nous allons démontrer cette propriété dans l’exemple suivant.

Exemple 2: Carrés des racines cubiques de l’unité

Soient et , qui sont les racines cubiques complexes de l’unité.

Calculez . Comparez-le avec .
Calculez . Comparez-le avec .

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer les carrés de nombres complexes sous forme exponentielle. Commençons par rappeler la formule de Moivre pour les exposants entiers :

Nous allons utiliser cette formule pour calculer les carrés de et . Cette formule indique en particulier que si on met un nombre complexe de module 1 au carré, on double son argument.

Partie 1

En appliquant la formule de Moivre pour les exposants entiers, on peut écrire

On rappelle que l'argument d'un nombre complexe, par convention, doit se situer dans l'intervalle standard , tandis que l'argument de ci-dessus est . Comme cet argument est supérieur à la borne supérieure, , on peut obtenir un argument équivalent en soustrayant un tour complet, , à cette mesure :

Cet argument équivalent, , se situe bien dans l’intervalle , donc la forme exponentielle de est ce qui est égal à .

On peut également comprendre cette identité en observant le plan complexe. Selon la formule de Moivre, mettre un nombre complexe de module 1 au carré équivaut à doubler son argument tout en restant sur le cercle trigonométrique. Par conséquent, lorsque l’on calcule au carré, on obtient le nombre complexe de module 1 et d’argument

Nous avons déjà déterminé que cela équivaut à l’argument , donc le nombre complexe est , soit . On peut l’illustrer sur le graphique suivant.

Par conséquent, et .

Partie 2

En appliquant à nouveau la formule de Moivre, on peut écrire

L’argument de ci-dessus est et n’appartient pas à l’intervalle . Comme cet argument est inférieur à la borne inférieure, , on peut obtenir un argument équivalent en ajoutant un tour complet, , à cette mesure :

Cet argument équivalent, , se situe bien dans l’intervalle donc la forme exponentielle de est ce qui est égal à . Comme précédemment, on peut visualiser cette relation sur le plan complexe. Si on double l’argument de , on obtient qui est équivalent à l’argument de . Cette relation est illustrée ci-dessous.

Par conséquent, et .

Dans l’exemple précédent, nous avons montré que le carré d’une racine cubique complexe de l’unité est égal à l’autre racine cubique complexe, comme nous nous y attendions en observant le plan complexe. Nous savons de plus que les deux racines complexes de l’unité sont conjugués. Cela conduit à la propriété suivante.

Propriété : Carré des racines cubiques complexes de l’unité

Soit une racine cubique complexe de l’unité. Alors,

Étudions un exemple où nous pouvons appliquer cette propriété pour simplifier une expression impliquant .

Exemple 3: Utiliser les propriétés des racines cubiques de l’unité

Calculez sachant que est une racine cubique complexe de l’unité.

Réponse

On rappelle qu’une racine cubique complexe de l’unité vérifie

L’expression entre parenthèses peut donc s’écrire

On rappelle de plus que tout nombre complexe vérifie

Par conséquent,

Les racines cubiques complexes de l’unité sont et , ce qui signifie que

En substituant cette valeur, on obtient

Par conséquent,

Comme l’exposant de est pair, son signe peut être ignoré. En distribuant l’exposant, on obtient

En utilisant les lois des puissances, on peut écrire

Ainsi, si est une racine cubique complexe de l’unité,

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé la propriété selon laquelle le carré d’une racine cubique complexe de l’unité est égal à l’autre racine cubique complexe de l’unité, qui est également le conjugué de la racine d’origine. On sait déjà par définition qu’une racine cubique complexe de l’unité au cube est égale à 1. Par conséquent, 3 est la plus petite puissance entière positive d’une racine cubique complexe de l’unité qui donne une valeur de 1. On ne peut cependant pas en dire autant de la racine cubique réelle de l’unité, 1, car et . Cela nous amène à une définition importante.

Définition : Racine cubique primitive de l’unité

Une racine cubique primitive de l’unité est une racine cubique de l’unité pour laquelle est le plus petit entier positif tel que .

Comme nous l’avons observé, les deux racines cubiques complexes de l’unité sont également des racines cubiques primitives de l’unité, mais ce n’est pas le cas pour la racine cubique réelle de l’unité. Les racines n-ièmes complexes de l’unité ne sont pas toujours des racines n-ièmes primitives de l’unité, mais c’est bien le cas pour les racines cubiques complexes de l’unité.

Étudions les autres puissances d’une racine cubique primitive de l’unité. Pour tout entier , on peut écrire avec entier et . Cette relation implique également que . En utilisant les lois des puissances, on peut écrire

Ceci conduit à la propriété suivante pour les racines cubiques primitives de l’unité.

Propriété : Racines cubiques primitives de l’unité élevées à des puissances entières

Soit une racine cubique primitive de l’unité. Pour tout entier ,

Étudions quelques exemples où nous pouvons appliquer cette propriété pour calculer différentes puissances d’une racine cubique primitive de l’unité.

Exemple 4: Calculer la puissance d’une racine cubique de l’unité

Simplifiez sachant que est une racine cubique primitive de l’unité.

Réponse

On rappelle que pour toute racine cubique primitive de l’unité , tout exposant entier vérifie la propriété

Dans cet exemple, nous devons calculer une racine cubique primitive de l’unité élevée à la puissance 11, donc . Comme , on a

Par conséquent . En substituant cette valeur dans la formule ci-dessus, on obtient

On peut également appliquer cette propriété pour des exposants entiers négatifs, comme nous allons le voir dans l’exemple suivant.

Exemple 5: Simplifier une expression impliquant une racine cubique de l’unité

Simplifiez sachant que est une racine cubique primitive de l’unité.

Réponse

On rappelle que pour toute racine cubique primitive de l’unité , tout exposant entier vérifie la propriété

Dans cet exemple, nous devons calculer une racine cubique primitive de l’unité élevée à la puissance , donc . On remarque que c’est-à-dire

On en déduit que . En substituant cette valeur dans la formule ci-dessus, on obtient

Dans les deux exemples précédents, nous avons calculé des puissances entières de racines cubiques primitives de l’unité. Établissons à présent une autre propriété des racines cubiques primitives de l’unité. Si est une racine cubique primitive de l’unité, on sait que , ce qui signifie que

En utilisant la formule de la différence de cubes mentionnée au début de cette fiche explicative, on peut reformuler cette équation par

On sait que 1 n’est pas une racine cubique primitive de l’unité, on peut donc diviser par le premier facteur pour obtenir

Cela conduit à une propriété utile qui peut être utilisée pour simplifier un polynôme en .

Propriété : Racines cubiques primitives de l’unité

Une racine cubique primitive de l’unité doit vérifier

Étudions quelques exemples où nous devons appliquer cette propriété pour simplifier des polynômes en .

Exemple 6: Simplifier une expression impliquant une racine cubique de l’unité élevée à une puissance négative

Simplifiez sachant que est une racine cubique primitive de l’unité.

Réponse

On rappelle qu’une racine cubique primitive de l’unité vérifie

Le membre de gauche de cette équation ressemble à l’expression entre parenthèses. On peut réarranger cette équation pour obtenir

En substituant cette expression, on obtient

Comme est un exposant impair, on peut sortir le signe négatif des parenthèses et écrire

Nous devons à présent calculer la puissance . On rappelle que pour toute racine cubique primitive de l’unité , tout exposant entier vérifie la propriété

Nous devons calculer une racine cubique primitive de l’unité élevée à la puissance , donc . On remarque que ce qui donne

On en déduit que . En substituant cette valeur dans la formule ci-dessus, on obtient

En substituant cette expression, on obtient

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé l’identité vérifiée pour toute racine cubique primitive (complexe) de l’unité. L’astuce permettant de simplifier des expressions en fonction de consiste à identifier des termes de l’expression ressemblant au membre de gauche de cette équation. La ressemblance n’est pas toujours évidente et il faut parfois manipuler l’expression avant de pouvoir voir comment appliquer cette identité.

Dans l’exemple suivant, nous allons manipuler une expression en fonction de avant d’appliquer cette identité pour pouvoir la simplifier.

Exemple 7: Simplifier une expression impliquant une racine cubique de l’unité

Simplifiez où est une racine cubique complexe de l’unité.

Réponse

On commence par rappeler qu’une racine cubique complexe de l’unité vérifie l’identité

Nous allons appliquer cette identité pour simplifier l’expression donnée.

On remarque tout d’abord que le dénominateur de la fraction du premier terme est . On peut réarranger l’identité ci-dessous pour obtenir

Cela signifie que le premier terme de l’expression peut être reformulé ainsi

Considérons maintenant le deuxième ensemble de parenthèses de l’expression initiale. Ses deux premiers termes sont , que l’on peut écrire . En utilisant la même identité, on peut remplacer par et obtenir . Donc,

On peut additionner ces deux nombres en les mettant au même dénominateur, . Cela donne

Comme est une racine cubique de l’unité, on sait que . Cela simplifie l’expression du deuxième ensemble de parenthèses par

En multipliant ces expressions, on obtient

Enfin, puisque , l’expression initiale est égale à .

Dans le dernier exemple, nous allons simplifier un polynôme en en utilisant cette identité.

Exemple 8: Simplifier une expression impliquant une racine cubique de l’unité

Simplifiez , sachant que est une racine cubique non triviale de l’unité.

Réponse

On rappelle qu’il y a trois racines cubiques de l’unité. Parmi les trois racines cubiques de l’unité, 1 est appelée la racine triviale de l’unité et les deux autres racines sont appelées racines non triviales, ou complexes, de l’unité. Pour les racines cubiques de l’unité, on sait de plus qu’une racine cubique complexe de l’unité est également une racine cubique primitive de l’unité. Rappelons les propriétés des racines cubiques primitives de l’unité que nous allons utiliser pour simplifier cette expression. Toute racine cubique primitive de l’unité vérifie

On commence par remplacer les exposants les plus élevés de par leur exposant équivalent en utilisant la première propriété. Dans l’expression, on a , ce qui signifie que . Comme , on a ce qui donne . Par conséquent

L’expression initiale devient donc

On peut réarranger les termes entre les premières parenthèses et écrire

D’après la deuxième propriété des racines cubiques primitives de l’unité, . On peut donc simplifier ainsi

Par conséquent, où nous avons utilisé l’identité pour la dernière égalité. Cela simplifie le premier terme de l’expression.

Considérons maintenant le deuxième terme, qui est . Sachant que 6 est un diviseur commun des termes entre parenthèses, on peut réécrire

Or, d’après la propriété des racines cubiques primitives de l’unité, . Cela signifie que

Par conséquent,

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

Les racines cubiques de l’unité sont les solutions complexes de l’équation . Les trois racines cubiques de l’unité sont
- sous forme algébrique, ;
- sous forme trigonométrique, ;
- sous forme exponentielle, .
La racine réelle 1 est appelée la racine cubique triviale de l’unité et les autres racines sont appelées les racines cubiques non triviales, ou complexes, de l’unité.
Une racine cubique complexe de l’unité vérifie .
Une racine cubique primitive de l’unité est une racine cubique de l’unité pour laquelle est le plus petit entier positif tel que . En particulier, toutes les racines cubiques complexes de l’unité sont également des racines cubiques primitives de l’unité.
Soit une racine cubique primitive de l’unité. Pour tout entier ,
Toute racine cubique primitive de l’unité vérifie