Transcription de la vidéo
On pose 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 au carré plus 18 si 𝑥 n’est pas égal à neuf et moins six 𝑎 si 𝑥 est égal à neuf. Déterminez la valeur de 𝑎 qui rend 𝑓 continue en 𝑥 égale à neuf.
Cette question nous interroge sur la continuité d’une fonction en un point, alors écrivons la définition de la continuité en tant que point.
Une fonction est continue en un point 𝑥 est égal à 𝑐, tout d’abord si 𝑓 de 𝑐 existe. Deuxièmement, il faut que la limite quand 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 existe. Troisièmement, ces deux éléments doivent être égaux. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 est égale à la valeur de la fonction en ce point, 𝑓 de 𝑐. Dans notre question, la valeur de 𝑐 est neuf. Nous devons donc, tout d’abord, trouver notre valeur de 𝑎 pour laquelle 𝑓 de neuf existe. Deuxièmement, il faut qu’il existe une limite lorsque 𝑥 tend vers neuf de 𝑓 de 𝑥. Troisièmement, ces deux éléments doivent être égaux.
Passons donc en revue ces étapes une par une. Notre première tâche est de montrer que 𝑓 de neuf existe. En regardant maintenant la définition de notre fonction, nous voyons que 𝑓 de 𝑥 est égal à moins six 𝑎 si 𝑥 est égal à neuf. Une autre façon d’écrire cela est de dire que 𝑓 de neuf est égal à moins six 𝑎. Cela existe bien sûr pour toute valeur de 𝑎.
Passant à notre deuxième étape, nous devons trouver les valeurs de 𝑎 pour lesquelles la limite lorsque 𝑥 tend vers neuf de 𝑓 de 𝑥 existe. Nous le faisons en trouvant simplement cette limite. La valeur de cette limite ne dépend que des valeurs de la fonction pour lesquelles 𝑥 n’est pas égale à neuf ; 𝑥 tend vers neuf mais n’est jamais égal à neuf dans la limite. Nous pouvons donc utiliser la définition de la fonction lorsque 𝑥 n’est pas égal à neuf, ce qui est 𝑎𝑥 au carré plus 18. Nous obtenons cette ligne de travail ici, la limite lorsque 𝑥 tend vers neuf de 𝑓 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers neuf de 𝑎𝑥 au carré plus 18.
Maintenant, quelle que soit la valeur de 𝑎, 𝑎𝑥 au carré plus 18 est juste un polynôme. Nous savons que comme les polynômes sont continus, la limite du polynôme est juste égale à la valeur du polynôme au point limite. Nous pouvons donc utiliser la valeur neuf pour 𝑥 et nous obtenons 𝑎 fois neuf au carré plus 18. Nous pouvons simplifier cela en 81 𝑎 plus 18. Il s’agit de notre limite en fonction de 𝑎.
Nous pouvons voir que nous avons presque terminé notre deuxième étape, car quelle que soit la valeur de 𝑎, bien sûr, cette limite existe. Alors maintenant, nous avons trouvé 𝑓 de neuf et la limite lorsque 𝑥 tend vers neuf de 𝑓 de 𝑥, les deux en fonction de 𝑎. Maintenant, nous devons trouver la valeur de 𝑎 pour laquelle ces deux éléments sont égaux. Il s’agit simplement de résoudre cette équation linéaire, nous soustrayons donc 81𝑎 des deux côtés. Nous divisons les deux côtés par le moins 87. En échangeant les deux côtés et en simplifiant notre fraction, nous obtenons que 𝑎 est égal à moins six sur 29. Il s’agit de la valeur de 𝑎 pour laquelle la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue en 𝑥 égale neuf.
