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Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par moins deux 𝑥 sur 𝑥 plus huit au carré.
Pour résoudre ce problème d’intégration, on peut faire une substitution. Pour cela, la première étape est de poser que 𝑢 est égal à 𝑥 plus huit. Donc notre dénominateur devient 𝑢 au carré. Si 𝑢 est égal à 𝑥 plus huit, alors d𝑢 sur d𝑥, la différentielle, est égale à un. Même si techniquement on ne peut pas séparer d𝑢 et d𝑥, pour les besoins de l’intégration par substitution, on peut maintenant écrire que d𝑢 est égal à d𝑥. Cela nous permet d’éliminer le d𝑥 dans notre intégrale d’origine. La dernière modification nécessaire est d’éliminer le 𝑥 qui se trouve au numérateur. Comme 𝑢 est égal à 𝑥 plus huit, alors 𝑥 est égal à 𝑢 moins huit.
On va maintenant substituer ces différentes valeurs dans notre intégrale pour l’exprimer en fonction de 𝑢. Le numérateur devient moins deux multiplié par 𝑢 moins huit. Le dénominateur devient 𝑢 au carré. Et étant donné que d𝑢 est égal à d𝑥, on peut maintenant intégrer tout cela par rapport à 𝑢. On développe le numérateur et on obtient moins deux 𝑢 plus 16. À présent, on va séparer le numérateur en deux pour former deux termes qu’on pourra intégrer séparément. Notre premier terme est moins deux 𝑢 sur 𝑢 au carré. On peut simplifier au numérateur et au dénominateur par le facteur commun 𝑢, ce qui nous donne moins deux sur 𝑢. Notre second terme est 16 sur 𝑢 au carré.
Nous allons maintenant pouvoir intégrer, séparément, moins deux sur 𝑢 et 16 sur 𝑢 au carré, par rapport à 𝑢. Il convient à présent de rappeler quelques-unes de nos formules d’intégration clés. La primitive de la constante 𝑎 divisée 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois le logarithme népérien de 𝑥 plus 𝑐. On en déduit que la primitive de moins deux sur 𝑢 est égale à moins deux fois le logarithme népérien de 𝑢. Nous allons réécrire notre second terme, 16 sur 𝑢 au carré, sous la forme 16 fois 𝑢 puissance moins deux.
Nous pouvons alors utiliser la règle suivante : la primitive de 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un, sur 𝑛 plus un, plus 𝑐. Donc la primitive de 16 fois 𝑢 puissance moins deux est égale à 16 fois 𝑢 puissance moins un, sur moins un. On sait que diviser un nombre positif par un nombre négatif donne un nombre négatif. Donc ce terme est égal à moins 16 fois 𝑢 puissance moins un. Et on peut également l’écrire sous la forme moins 16 sur 𝑢. On revient à présent à notre substitution initiale, 𝑢 égale 𝑥 plus huit, et on fait la substitution inverse. Cela nous donne moins deux fois le logarithme népérien de 𝑥 plus huit, moins 16 sur 𝑥 plus huit. Il ne nous reste plus qu’à additionner notre constante d’intégration 𝑐. On doit toujours ajouter cette constante d’intégration lorsqu’on a affaire à une intégrale indéfinie.
La primitive de moins deux 𝑥 sur 𝑥 plus huit, le tout au carré, par rapport à 𝑥, est égale à moins deux fois le logarithme népérien de 𝑥 plus huit, moins 16 sur 𝑥 plus huit, plus 𝑐. Notons qu’on doit utiliser la valeur absolue lorsque notre résultat comprend des logarithmes.
