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Fiche explicative de la leçon : Intégration par changement de variable : intégrales indéfinies Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration par changement de variable pour les intégrales indéfinies.

L’intégration par changement de variable, également appelée « substitution par 𝑢 », est une méthode pour déterminer des intégrales inconnues en remplaçant une variable par une autre et en transformant l’intégrande sous une forme connue ou qui peut facilement être intégrée en utilisant d’autres méthodes. Après avoir effectué l’intégration, on revient généralement à la variable d’origine en inversant le changement de variable pour donner le résultat final en fonction de cette variable.

La capacité à réaliser l’intégration par changement de variable est une compétence qui se développe avec la pratique et l’expérience. C’est pourquoi il est utile d’étudier beaucoup d’exemples et de pratiquer autant que possible. Parfois, un changement de variable apparemment logique ne conduit pas à une intégrale facile à évaluer et vous devez être prêt à essayer un autre changement de variable.

On doit être capable d’écrire l’intégrande d’une manière particulière car l’intégration par changement de variable est habituellement appliquée à une intégrale qui prend la forme spéciale 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)𝑥.d

On peut utiliser la formule de la dérivée d’une composée et le théorème fondamental de l’analyse pour en déduire une formule du changement de variable pour une intégrale de ce type. On rappelle la première partie du théorème fondamental de l’analyse:si 𝑓(𝑥) est une fonction continue à valeurs réelles sur un certain intervalle et 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥) (c.à.d. 𝐹 est une primitive de 𝑓), alors on a 𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑥)+,dCC est appelée constante d’intégration. De plus, on rappelle la formule de la dérivée d’une composée:si 𝑓 et 𝑔 sont des fonctions dérivables, alors la formule de la dérivée d’une composée stipule que la dérivée de leur composée 𝑓(𝑔(𝑥)) est dd𝑥(𝑓(𝑔(𝑥)))=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

Maintenant, on suppose que 𝐹(𝑢) est une primitive de 𝑓(𝑢) et que 𝑢=𝑔(𝑥) est une fonction dérivable. On peut appliquer la formule de la dérivée d’une composée pour obtenir dddd𝑥(𝐹(𝑢))=𝑥(𝐹(𝑔(𝑥)))=𝐹(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)=𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥).

Par conséquent, d’après le théorème fondamental de l’analyse, 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)𝑥=𝐹(𝑢)+=𝑓(𝑢)𝑢.dCd

Cela nous amène à la formule du changement de variable suivante, qui est similaire à la formule de la dérivée d’une composée, mais inversée.

Définition : Formule du changement de variable

Si 𝑢=𝑔(𝑥) est une fonction dérivable dont l’ensemble image est un intervalle 𝐼 et 𝑓(𝑥) est continue sur 𝐼, alors 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)𝑥=𝑓(𝑢)𝑢,dddd𝑢=𝑔(𝑥)𝑥.

La clé pour trouver le bon changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥) est de trouver une partie de l’intégrande dont la dérivée est aussi dans l’intégrande. Elle est généralement choisie dans la partie « complexe » de l’intégrande que l’on souhaite simplifier, qui peut être écrite comme une fonction composée 𝑓(𝑔(𝑥)) pour une fonction 𝑓(𝑥) continue sur un sous-ensemble de l’ensemble image de 𝑔(𝑥).

Lors de l’application de cette formule du changement de variable pour déterminer des primitives, on substitue 𝑢=𝑔(𝑥), on intègre par rapport à la variable 𝑢 et on inverse le changement de variable dans la primitive résultante pour exprimer le résultat final en fonction de la variable 𝑥.

On peut aussi manipuler des différentielles avec des dérivées en les traitant comme une fraction, ce qui est une abréviation mathématique utile mais qui peut ne pas être mathématiquement rigoureuse. On peut le faire grâce à la formule de la dérivée d’une composée dddd𝑢=𝑢𝑥𝑥 ou dddd𝑥=𝑥𝑢𝑢.

Cependant, dans le cadre de cette fiche explicative et par simplicité, on peut traiter la dérivée comme une fraction car cela est pertinent pour les problèmes d’intégration par changement de variable.

La meilleure façon de comprendre cette méthode est de la voir appliquée. On considère l’intégrale (𝑥+1)𝑥.d

Afin de l’évaluer, on pourrait développer l’intégrande et utiliser la formule de l’intégrale d’une puissance, mais on va ici utiliser la formule du changement de variable. On peut reconnaître qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=(𝑥+1), avec 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥+1. Comme 𝑓(𝑥) est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de 𝑔(𝑥) et on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=𝑥+1.

En dérivant, on a dd𝑢𝑥=1 ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, dd𝑥=𝑢.

Par conséquent, l’intégrale peut être écrite comme (𝑥+1)𝑥=𝑢𝑢=16𝑢+.ddC

On peut maintenant remplacer 𝑢=𝑥+1 pour effectuer le changement de variable inverse et obtenir le résultat final en fonction de 𝑥. Enfin, on a (𝑥+1)𝑥=16(𝑥+1)+.dC

Une intégrale qui a l’air complexe peut parfois devenir très facile à évaluer avec un changement de variable approprié. On considère l’intégrale plus complexe suivante:𝑥𝑥+2𝑥.d

Pour cette intégrale, on pourrait développer 𝑥+2 en utilisant la formule du binôme de Netwton puis multiplier le résultat par 𝑥 et intégrer en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance. Cependant, cela peut être fastidieux et sujet aux erreurs. Une meilleure façon de trouver l’intégrale est d’effectuer un changement de variable.

Avant d’étudier le changement de variable, remarquez ce qui se passe lorsque l’on dérive 𝑥+2 en utilisant la formule de la dérivée d’une composée (ou la formule de la dérivée d’une puissance):dd𝑥𝑥+2=93𝑥𝑥+2=27𝑥𝑥+2.

Cela est égal à l’intégrande à un multiple constant près. En particulier, on peut diviser par 27 pour obtenir dd𝑥127𝑥+2=𝑥𝑥+2.

On peut intégrer les deux membres de l’expression en utilisant le théorème fondamental de l’analyse pour obtenir 𝑥𝑥+2𝑥=127𝑥+2+.dC

Cette technique implique de reconnaître une expression, mais l’intégration par changement de variable le fait automatiquement sans avoir à trouver la dérivée et à comparer les termes. On peut reconnaître qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=𝑥+2, avec 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥+2. Comme 𝑓(𝑥) est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de 𝑔(𝑥) et on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=𝑥+2.

En le dérivant par rapport à 𝑥 , on a dd𝑢𝑥=3𝑥 ou, de manière équivalente après avoir manipulé les différentielles, dd𝑥=𝑢3𝑥.

On peut maintenant réécrire l’intégrale en fonction de la variable 𝑢 en utilisant la formule du changement de variable et intégrer le résultat en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:𝑥𝑥+2𝑥=𝑢𝑥𝑢3𝑥=13𝑢𝑢=1319𝑢+=127𝑢+.dddCC

Enfin, on substitue 𝑢=𝑥+2 pour obtenir le résultat final en fonction de 𝑥, 𝑥𝑥+2𝑥=127𝑥+2+,dC qui est le même résultat que l’on a obtenu en reconnaissant l’expression.

La plupart du temps lorsque l’on fait un changement de variable, il suffit de remplacer une partie de l’intégrande car l’autre partie impliquant 𝑥 sera annulée par l’expression de d𝑥. Cependant, si cela ne se produit pas, alors on va devoir remplacer tout terme en 𝑥 en l’isolant lors du changement de variable. Pour voir une application de cela, on considère l’intégrale 𝑥𝑥+1𝑥.d

On peut reconnaître qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=𝑥+1, avec 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥+1. Comme 𝑓(𝑥) est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de 𝑔(𝑥) et on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=𝑥+1.

En dérivant, on a dd𝑢𝑥=2𝑥 ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, dd𝑥=𝑢2𝑥.

On peut maintenant réécrire l’intégrale en fonction de la variable 𝑢 en utilisant la formule du changement de variable:𝑥𝑥+1𝑥=𝑥𝑢𝑢2𝑥=12𝑥𝑢𝑢.ddd

Notez qu’il y a encore 𝑥 apparaissant dans l’intégrande, on doit donc le remplacer par 𝑢 en isolant 𝑥 dans le changement de variable:𝑥=𝑢1.

Par conséquent, on peut tout exprimer en fonction de 𝑢 et intégrer le résultat en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:𝑥𝑥+1𝑥=12𝑥𝑢𝑢=12(𝑢1)𝑢𝑢=12𝑢𝑢𝑢=114𝑢112𝑢+.ddddC

Enfin, on peut effectuer le changement de variable inverse 𝑢=𝑥+1 pour réécrire le résultat en fonction de 𝑥:𝑥𝑥+1𝑥=114𝑥+1112𝑥+1+.dC

Étudions maintenant quelques exemples afin de pratiquer et d’approfondir notre compréhension. Les deux premiers exemples concernent la recherche de la primitive d’une fonction impliquant des polynômes de 𝑥.

Exemple 1: Déterminer la primitive d’une fonction à l’aide de l’intégration par changement de variable

Déterminez 𝑥𝑥+9𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver la primitive d’une fonction polynomiale en utilisant l’intégration par changement de variable.

On note d’abord qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=𝑥+9, avec 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥+9. Comme 𝑓(𝑥) est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de 𝑔(𝑥) et on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=𝑥+9.

Sa dérivée par rapport à 𝑥 est dd𝑢𝑥=6𝑥, ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, dd𝑥=𝑢6𝑥.

On applique ensuite ce changement de variable de 𝑥 à 𝑢 à l’intégrale et on intègre l’expression résultante en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:𝑥𝑥+9𝑥=𝑥𝑢𝑢6𝑥=16𝑢𝑢=16𝑢8+=148𝑢+.dddCC

Enfin, on applique le changement de variable inverse 𝑢=𝑥+9 pour obtenir le résultat final en termes de 𝑥:𝑥𝑥+9𝑥=148𝑥+9+.dC

Exemple 2: Déterminer la primitive d’une fonction à l’aide de l’intégration par changement de variable

Déterminez 8𝑥(8𝑥+9)𝑥d en utilisant la méthode du changement de variable.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver la primitive d’une fonction polynomiale en utilisant l’intégration par changement de variable.

On note d’abord qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=(8𝑥+9), avec 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=8𝑥+9. Comme 𝑓(𝑥) est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de 𝑔(𝑥) et on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=8𝑥+9.

Sa dérivée par rapport à 𝑥 est dd𝑢𝑥=8 ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, dd𝑥=𝑢8.

On applique ensuite ce changement de variable de 𝑥 à 𝑢 à l’intégrale:8𝑥(8𝑥+9)𝑥=8𝑥𝑢𝑢8=𝑥𝑢𝑢.ddd

Notez qu’il y a encore un 𝑥 dans l’intégrande, on doit donc remplacer 𝑥 en fonction de 𝑢 en isolant 𝑥 dans le changement de variable:𝑥=18(𝑢9).

On peut l’utiliser pour éliminer tous les termes en 𝑥 dans l’intégrande puis on intègre l’expression résultante en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:8𝑥(8𝑥+9)𝑥=𝑥𝑢𝑢=18(𝑢9)𝑢𝑢=18𝑢9𝑢𝑢=18𝑢49𝑢3+=132𝑢38𝑢+.ddddCC

Enfin, on applique le changement de variable inverse 𝑢=8𝑥+9 pour obtenir le résultat final en fonction de 𝑥:8𝑥(8𝑥+9)𝑥=132(8𝑥+9)38(8𝑥+9)+.dC

L’exemple suivant implique la recherche de la primitive d’une fonction racine.

Exemple 3: Déterminer la primitive d’une fonction impliquant une racine à l’aide de l’intégration par changement de variable

Déterminez 486𝑥162𝑥𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver la primitive d’une fonction impliquant une racine en utilisant l’intégration par changement de variable.

On note d’abord qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=1162𝑥, avec 𝑓(𝑥)=1𝑥 et 𝑔(𝑥)=162𝑥. Comme 𝑓(𝑥) est continue sur un sous-ensemble de l’ensemble image de 𝑔(𝑥) (en excluant 𝑥=0 pour 𝑓 ), on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=162𝑥.

Sa dérivée par rapport à 𝑥 est dd𝑢𝑥=2 ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, dd𝑥=𝑢2.

On applique ensuite ce changement de variable de 𝑥 à 𝑢 à l’intégrale, en notant que 3𝑢=486𝑥 apparaît dans l’intégrande. On intègre alors l’expression résultante en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:486𝑥162𝑥𝑥=3𝑢𝑢𝑢2=32𝑢𝑢=325𝑢9+=56𝑢+.dddCC

Enfin, on applique le changement de variable inverse 𝑢=162𝑥 pour obtenir le résultat final en fonction de 𝑥:486𝑥162𝑥𝑥=56(162𝑥)+.dC

L’exemple suivant implique la recherche de la primitive de fonctions trigonométriques.

Exemple 4: Déterminer la primitive d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques à l’aide de l’intégration par changement de variable

Déterminez 24𝑥+306𝑥6𝑥56𝑥𝑥sincosd.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver la primitive d’une fonction trigonométrique en utilisant l’intégration par changement de variable.

On remarque d’abord qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=6𝑥56𝑥,cos avec 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=6𝑥56𝑥cos. Comme 𝑓(𝑥) est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de 𝑔(𝑥) et on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=6𝑥56𝑥.cos

Sa dérivée par rapport à 𝑥 est ddsin𝑢𝑥=24𝑥+306𝑥 ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, ddsin𝑥=𝑢(24𝑥+306𝑥).

On applique maintenant ce changement de variable de 𝑥 à 𝑢 à l’intégrale et on intègre l’expression résultante en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:24𝑥+306𝑥6𝑥56𝑥𝑥=24𝑥+306𝑥𝑢𝑢(24𝑥+306𝑥)=𝑢𝑢=16𝑢+.sincosdsindsindC

Enfin, on applique le changement de variable inverse 𝑢=6𝑥56𝑥cos pour obtenir le résultat final en fonction de 𝑥:24𝑥+306𝑥6𝑥56𝑥𝑥=166𝑥56𝑥+.sincosdcosC

L’exemple suivant implique la recherche de la primitive d’une fonction logarithme.

Exemple 5: Déterminer la primitive d’une fonction impliquant des logarithmes à l’aide de l’intégration par changement de variable

Déterminez 116𝑥𝑥𝑥lnd.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver la primitive d’une fonction impliquant des logarithmes en utilisant l’intégration par changement de variable.

On remarque d’abord qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=𝑥,ln avec 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥ln. Comme 𝑓(𝑥) est continue sur l’ensemble image de 𝑔(𝑥), on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=𝑥.ln

Sa dérivée par rapport à 𝑥 est dd𝑢𝑥=1𝑥 ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, dd𝑥=𝑥𝑢.

On applique maintenant le changement de variable de 𝑥 à 𝑢 à l’intégrale et on intègre l’expression résultante en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:116𝑥𝑥𝑥=116𝑥𝑢(𝑥𝑢)=116𝑢𝑢=1163𝑢4+=118𝑢+.lndddCC

Enfin, on applique le changement de variable inverse 𝑢=𝑥ln pour obtenir le résultat final en fonction de 𝑥:116𝑥𝑥𝑥=118(𝑥)+.lndlnC

L’exemple suivant implique la recherche de la primitive de fonctions trigonométriques inverses.

Exemple 6: Intégrer des fonctions trigonométriques inverses

Déterminez 477𝑥5+1𝑥secd.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver la primitive d’une fonction trigonométrique inverse en utilisant l’intégration par changement de variable.

On note d’abord qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=7𝑥5+1,sec avec 𝑓(𝑥)=𝑥sec et 𝑔(𝑥)=7𝑥5+1. Comme 𝑓(𝑥) est continue sur un sous-ensemble de l’ensemble image 𝑔(𝑥), on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=7𝑥5+1.

Sa dérivée par rapport à 𝑥 est dd𝑢𝑥=75 ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, dd𝑥=57𝑢.

On applique maintenant ce changement de variable de 𝑥 à 𝑢 à l’intégrale et on intègre l’expression résultante;477𝑥5+1𝑥=47𝑢57𝑢=2049𝑢𝑢=2049𝑢+.secdsecdsecdtanC

Enfin, on applique le changement de variable inverse 𝑢=7𝑥5+1 pour obtenir le résultat final en fonction de 𝑥:477𝑥5+1𝑥=20497𝑥5+1+.secdtanC

Le dernier exemple concerne la recherche de la primitive d’une fonction impliquant à la fois des fonctions exponentielles et trigonométriques.

Exemple 7: Déterminer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions trigonométriques et exponentielles à l’aide de l’intégration par changement de variable

Déterminez (799𝑥)𝑒𝑥sind()cos.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver la primitive d’une intégrale impliquant des fonctions exponentielles et trigonométriques en utilisant l’intégration par changement de variable.

On remarque d’abord qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée:𝑓(𝑔(𝑥))=𝑒,()cos avec 𝑓(𝑥)=𝑒 et 𝑔(𝑥)=7𝑥+9𝑥cos. Comme 𝑓(𝑥) est la fonction exponentielle, elle est continue sur l’ensemble image de 𝑔(𝑥) et on peut utiliser le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥)=7𝑥+9𝑥.cos

Sa dérivée par rapport à 𝑥 est ddsin𝑢𝑥=799𝑥 ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles, ddsin𝑥=𝑢(799𝑥).

On applique maintenant le changement de variable de 𝑥 à 𝑢 à l’intégrale et on intègre l’expression résultante:(799𝑥)𝑒𝑥=(799𝑥)𝑒𝑢(799𝑥)=𝑒𝑢=𝑒+.sindsindsindC()cos

Enfin, on applique le changement de variable inverse 𝑢=7𝑥+9𝑥cos pour obtenir le résultat final en fonction de 𝑥:(799𝑥)𝑒𝑥=𝑒+.sindC()()coscos

Points clés

  • L’intégration par changement de variable peut être utilisée pour déterminer la primitive de fonctions complexes impliquant des racines, des fonctions trigonométriques, des fonctions logarithmes, et bien d’autres encore.
  • La formule du changement de variable que l’on utilise est similaire à la formule de la dérivée d’une fonction composée, mais inversée:𝑓(𝑔(𝑥))𝑔(𝑥)𝑥=𝑓(𝑢)𝑢.dd
  • Pour choisir le changement de variable 𝑢 on cherche un terme de l’intégrande dont la dérivée apparaît aussi dans l’intégrande, ou la fonction interne de la partie « complexe » de l’intégrande.
    En particulier, si une partie de l’intégrande contient une dérivée 𝑔(𝑥) et/ou une fonction composée de la forme 𝑓(𝑔(𝑥)), on utilise le changement de variable 𝑢=𝑔(𝑥).

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