Fiche explicative de la leçon: Intégration par changement de variable : intégrales indéfinies Mathématiques • Troisième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration par changement de variable pour les intégrales indéfinies.

L’intégration par changement de variable, également appelée « substitution par  », est une méthode pour déterminer des intégrales inconnues en remplaçant une variable par une autre et en transformant l’intégrande sous une forme connue ou qui peut facilement être intégrée en utilisant d’autres méthodes. Après avoir effectué l’intégration, on revient généralement à la variable d’origine en inversant le changement de variable pour donner le résultat final en fonction de cette variable.

La capacité à réaliser l’intégration par changement de variable est une compétence qui se développe avec la pratique et l’expérience. C’est pourquoi il est utile d’étudier beaucoup d’exemples et de pratiquer autant que possible. Parfois, un changement de variable apparemment logique ne conduit pas à une intégrale facile à évaluer et vous devez être prêt à essayer un autre changement de variable.

On doit être capable d’écrire l’intégrande d’une manière particulière car l’intégration par changement de variable est habituellement appliquée à une intégrale qui prend la forme spéciale

On peut utiliser la formule de la dérivée d’une composée et le théorème fondamental de l’analyse pour en déduire une formule du changement de variable pour une intégrale de ce type. On rappelle la première partie du théorème fondamental de l’analyse : si est une fonction continue à valeurs réelles sur un certain intervalle et (c.à.d. est une primitive de ), alors on a où est appelée constante d’intégration. De plus, on rappelle la formule de la dérivée d’une composée : si et sont des fonctions dérivables, alors la formule de la dérivée d’une composée stipule que la dérivée de leur composée est

Maintenant, on suppose que est une primitive de et que est une fonction dérivable. On peut appliquer la formule de la dérivée d’une composée pour obtenir

Par conséquent, d’après le théorème fondamental de l’analyse,

Cela nous amène à la formule du changement de variable suivante, qui est similaire à la formule de la dérivée d’une composée, mais inversée.

La clé pour trouver le bon changement de variable est de trouver une partie de l’intégrande dont la dérivée est aussi dans l’intégrande. Elle est généralement choisie dans la partie « complexe » de l’intégrande que l’on souhaite simplifier, qui peut être écrite comme une fonction composée pour une fonction continue sur un sous-ensemble de l’ensemble image de .

Lors de l’application de cette formule du changement de variable pour déterminer des primitives, on substitue , on intègre par rapport à la variable et on inverse le changement de variable dans la primitive résultante pour exprimer le résultat final en fonction de la variable .

On peut aussi manipuler des différentielles avec des dérivées en les traitant comme une fraction, ce qui est une abréviation mathématique utile mais qui peut ne pas être mathématiquement rigoureuse. On peut le faire grâce à la formule de la dérivée d’une composée ou

Cependant, dans le cadre de cette fiche explicative et par simplicité, on peut traiter la dérivée comme une fraction car cela est pertinent pour les problèmes d’intégration par changement de variable.

La meilleure façon de comprendre cette méthode est de la voir appliquée. On considère l’intégrale

Afin de l’évaluer, on pourrait développer l’intégrande et utiliser la formule de l’intégrale d’une puissance, mais on va ici utiliser la formule du changement de variable. On peut reconnaître qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée :  avec et . Comme est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de et on peut utiliser le changement de variable

En dérivant, on a ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles,

Par conséquent, l’intégrale peut être écrite comme

On peut maintenant remplacer pour effectuer le changement de variable inverse et obtenir le résultat final en fonction de . Enfin, on a

Une intégrale qui a l’air complexe peut parfois devenir très facile à évaluer avec un changement de variable approprié. On considère l’intégrale plus complexe suivante : 

Pour cette intégrale, on pourrait développer en utilisant la formule du binôme de Netwton puis multiplier le résultat par et intégrer en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance. Cependant, cela peut être fastidieux et sujet aux erreurs. Une meilleure façon de trouver l’intégrale est d’effectuer un changement de variable.

Avant d’étudier le changement de variable, remarquez ce qui se passe lorsque l’on dérive en utilisant la formule de la dérivée d’une composée (ou la formule de la dérivée d’une puissance) : 

Cela est égal à l’intégrande à un multiple constant près. En particulier, on peut diviser par 27 pour obtenir

On peut intégrer les deux membres de l’expression en utilisant le théorème fondamental de l’analyse pour obtenir

Cette technique implique de reconnaître une expression, mais l’intégration par changement de variable le fait automatiquement sans avoir à trouver la dérivée et à comparer les termes. On peut reconnaître qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée :  avec et . Comme est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de et on peut utiliser le changement de variable

En le dérivant par rapport à , on a ou, de manière équivalente après avoir manipulé les différentielles,

On peut maintenant réécrire l’intégrale en fonction de la variable en utilisant la formule du changement de variable et intégrer le résultat en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance : 

Enfin, on substitue pour obtenir le résultat final en fonction de , qui est le même résultat que l’on a obtenu en reconnaissant l’expression.

La plupart du temps lorsque l’on fait un changement de variable, il suffit de remplacer une partie de l’intégrande car l’autre partie impliquant sera annulée par l’expression de . Cependant, si cela ne se produit pas, alors on va devoir remplacer tout terme en en l’isolant lors du changement de variable. Pour voir une application de cela, on considère l’intégrale

On peut reconnaître qu’une partie de l’intégrande contient une fonction composée :  avec et . Comme est un polynôme, il est continu sur l’ensemble image de et on peut utiliser le changement de variable

En dérivant, on a ou, de manière équivalente, en manipulant les différentielles,

On peut maintenant réécrire l’intégrale en fonction de la variable en utilisant la formule du changement de variable : 

Notez qu’il y a encore apparaissant dans l’intégrande, on doit donc le remplacer par en isolant dans le changement de variable : 

Par conséquent, on peut tout exprimer en fonction de et intégrer le résultat en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance : 

Enfin, on peut effectuer le changement de variable inverse pour réécrire le résultat en fonction de  : 

Étudions maintenant quelques exemples afin de pratiquer et d’approfondir notre compréhension. Les deux premiers exemples concernent la recherche de la primitive d’une fonction impliquant des polynômes de .

L’exemple suivant implique la recherche de la primitive d’une fonction racine.

L’exemple suivant implique la recherche de la primitive de fonctions trigonométriques.

L’exemple suivant implique la recherche de la primitive d’une fonction logarithme.

L’exemple suivant implique la recherche de la primitive de fonctions trigonométriques inverses.

Le dernier exemple concerne la recherche de la primitive d’une fonction impliquant à la fois des fonctions exponentielles et trigonométriques.