Vidéo : L’intégration par changement de variable : intégrales indéfinies

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration par changement de variable pour les intégrales indéfinies.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer les intégrales indéfinies. À ce stade, vous devriez pouvoir déterminer facilement de diverses fonctions primitives, notamment les fonctions polynômes, trigonométriques et logarithmiques. Dans cette leçon, nous verrons comment appliquer ces règles pour trouver la primitive ou l’intégrale des fonctions plus complexes.

En raison du théorème fondamental de l’analyse, il est important de pouvoir trouver la primitive. Mais nos formules ne nous disent pas comment évaluer des intégrales telles que l’intégrale de 𝑥 à la puissance cinq fois 𝑥 à la puissance six plus neuf à la puissance sept par rapport à 𝑥. Pour déterminer cette intégrale, nous utilisons une stratégie spéciale consistant à introduire quelque chose de plus, une nouvelle variable.

Ceci s’appelle intégration par changement de variable. Et on parle parfois de l’intégration par substitution. La première étape consiste souvent à mettre l’intégrale sous cette forme. Notez que nous avons une fonction 𝑔 de 𝑥 et sa dérivée 𝑔 prime de 𝑥. Et comme c’est souvent le cas, il est judicieux de regarder un exemple sur comment ça marche.

Déterminez l’intégrale de 𝑥 à la puissance cinq multipliée par 𝑥 à la puissance six plus neuf le tout à la puissance sept par rapport à 𝑥.

Ce polynôme n’est pas facile à intégrer en utilisant nos règles standard pour déterminer la primitive. Et nous ne voulons certainement pas distribuer nos parenthèses et trouver la primitive pour chaque terme. Au lieu de cela, nous remarquons que l’intégrale est définie sous cette forme. Nous avons une fonction 𝑔 de 𝑥 et sa dérivée 𝑔 prime de 𝑥. Si nous regardons attentivement, nous voyons que 𝑥 à la puissance cinq est un multiple scalaire de la dérivée de 𝑥 à la puissance six plus neuf. Et cela signifie que nous pouvons utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer notre intégrale indéfinie.

La règle de changement de variable dit que si 𝑢 égale 𝑔 de 𝑥 est une fonction dérivable dont l’ensemble image est un intervalle 𝑖 et que 𝑓 est continue sur cet intervalle, alors l’intégrale de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 multipliée par 𝑔 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale de 𝑓 de 𝑢 par rapport à 𝑢. Nous allons poser 𝑢 égale la fonction que nous avons définie à l’origine 𝑔 of 𝑥. Donc, 𝑢 égale 𝑥 à puissance six plus neuf.

C’est formidable, car lorsque nous dérivons cette fonction 𝑢 par rapport à 𝑥, nous voyons que d𝑢 par d𝑥 égale six 𝑥 à la puissance cinq. Dans l’intégration par changement de variable, nous considérons les d𝑢 et d𝑥 comme des dérivées. Et nous pouvons aussi écrire ceci comme d𝑢 égale six 𝑥 à la puissance cinq d𝑥. Remarquez que bien que d𝑢 par d𝑥 ne soit certainement pas une fraction, nous la traitons un peu comme une fraction dans ce processus. Nous divisons par six et nous voyons qu’un sixième d𝑢 est égal à 𝑥 à la puissance cinq d𝑥.

Et maintenant, revenons à notre intégrale initiale. Nous voyons que nous pouvons remplacer 𝑥 à la puissance cinq d𝑥 par un sixième d𝑢. Et nous remplaçons 𝑥 à la puissance six plus neuf par 𝑢. Et nous voyons maintenant que l’intégrale que nous évaluons est l’intégrale d’un sixième de 𝑢 à la puissance sept d𝑢. Si vous voulez, vous pouvez prendre un sixième comme facteur en dehors du signe de l’intégrale, puis nous évaluons un sixième de l’intégrale de 𝑢 à la puissance sept par rapport à 𝑢.

L’intégrale de 𝑢 à la puissance sept est 𝑢 à la puissance huit divisé par huit plus, puisqu’il s’agit d’une intégrale indéfinie, 𝑐 qui est la constante d’intégration. Nous distribuons nos parenthèses. Et nous voyons que l’intégrale est égale à un sur 48 fois 𝑢 à la puissance huit plus 𝐶. Et remarquez que j’ai écrit cela comme un 𝐶 majuscule car notre constante initiale d’intégration a été multipliée par un sixième.

Mais rappelez-vous, nous cherchions à l’origine à évaluer notre intégrale en fonction de 𝑥. Nous observons donc notre définition originale de 𝑢. Et nous avons dit que 𝑢 était égal à 𝑥 à la puissance six plus neuf. Et nous voyons alors que notre intégrale est égale à un sur 48 fois 𝑥 à la puissance six plus neuf à la puissance huit plus 𝐶.

Dans cet exemple, nous avons vu que nous devrions essayer de choisir 𝑢 comme facteur de l’intégrande dont la dérivée se produit également, malgré un multiple scalaire de celle-ci. Si cela n’est pas possible, nous essayons de choisir 𝑢 comme partie plus compliquée de l’intégrande. Cela peut être la fonction interne d’une fonction composée ou similaire. Regardons un exemple de cette forme.

Déterminez l’intégrale de huit 𝑥 fois huit 𝑥 plus neuf au carré par rapport à 𝑥 en utilisant la méthode de changement de variable.

Dans cet exemple, on nous dit explicitement d’utiliser la méthode de changement de variable pour évaluer cette intégrale. En général, nous chercherons à choisir notre changement de variable 𝑢 comme facteur de l’intégrande dont la dérivée se produit également, bien qu’il en soit un multiple scalaire. Cependant, ici, il n’est pas immédiatement clair ce que cela pourrait être. Au lieu de cela, nous essayons de choisir 𝑢 comme une partie plus compliquée de la fonction, peut-être la fonction interne dans une fonction composée.

Essayons 𝑢 égale huit 𝑥 plus neuf. Cela signifie que d𝑢 par d𝑥 est égal à huit. Et nous pouvons traiter d𝑢 et d𝑥 comme des dérivées. N’oubliez pas que d𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction, mais certainement nous le traitons comme s’il s’agissait d’une intégration par changement de variable. On peut dire que d𝑢 est égal à huit d𝑥. Ou, de manière équivalente, un huitième d𝑢 est égal à d𝑥. Ce n’est pas instantanément utile. Comme si nous remplaçons d𝑥 par un huitième d𝑢 et huit 𝑥 plus neuf par 𝑢, nous aurons toujours une partie de notre fonction, c’est le huit 𝑥, qui est en fonction de 𝑥.

Mais si nous revenons sur notre changement de variable, nous voyons que nous pouvons réorganiser cela. On soustrait neuf des deux côtés et on voit que huit 𝑥 est égal à 𝑢 moins neuf. Ensuite, notre intégrale devient 𝑢 moins neuf fois 𝑢 au carré fois un huitième d𝑢. Prenons ce huitième en dehors de l’intégrale, puis distribuons les parenthèses, et nous voyons que nous avons un simple polynôme que nous pouvons intégrer.

L’intégrale de 𝑢 au cube est 𝑢 à la puissance quatre divisé par quatre. L’intégrale de moins neuf 𝑢 au carré est moins neuf 𝑢 au cube divisé par trois. Et nous ne devons pas oublier 𝐶, notre constante d’intégration. Nous pouvons simplifier neuf 𝑢 au cube divisé par trois en trois 𝑢 au cube. Mais nous ne devons pas oublier de remplacer 𝑢 par huit 𝑥 plus neuf dans notre dernière étape.

Lorsque nous le faisons, nous voyons que notre intégrale est égale à huit fois huit 𝑥 plus neuf à la puissance quatre divisée par quatre moins trois fois huit 𝑥 plus neuf au cube plus 𝐶. Lorsque nous distribuons nos parenthèses, nous voyons que nous avons notre solution. C’est un sur 32 fois huit 𝑥 plus neuf à la puissance quatre moins trois huitièmes fois huit 𝑥 plus neuf au cube plus 𝐶.

Déterminez l’intégrale de 48 moins six 𝑥 sur la cinquième racine de 16 moins deux 𝑥 d𝑥.

La façon dont nous devons évaluer cette intégrale n’est pas immédiatement évidente. Cependant, si nous regardons attentivement, nous voyons que le numérateur est un multiple scalaire de la fonction interne au dénominateur tel que 48 moins six 𝑥 est trois fois 16 moins deux 𝑥. C’est un indice pour nous que nous allons devoir utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer cette intégrale indéfinie.

Nous allons considérer 𝑢 égale 16 moins deux 𝑥. Nous avons choisi cette partie pour notre changement de variable car 16 moins deux 𝑥 est la fonction interne d’une fonction composée. Nous dérivons 𝑢 par rapport à 𝑥, et nous voyons que d𝑢 par d𝑥 égale moins deux. Maintenant, rappelez-vous que d𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction, mais nous le traitons un peu comme une fraction lorsque nous effectuons une intégration par changement de variable. Et nous pouvons voir que cela revient à dire que moins un demi d𝑢 égale d𝑥.

Remplaçons ce que nous avons maintenant par notre intégrale initiale. Nous avons vu que 48 moins six 𝑥 équivaut à trois fois 16 moins deux 𝑥. Donc le numérateur devient trois 𝑢. Le dénominateur devient la cinquième racine de 𝑢. Et nous remplaçons d𝑥 par moins un demi d𝑢. Prenons moins trois sur deux comme facteur. Et nous écrirons notre dénominateur comme 𝑢 à la puissance cinq. Nous divisons 𝑢 à la puissance un par 𝑢 à la puissance d’un cinquième.

Nous soustrayons dons un cinquième de un, et il nous reste 𝑢 à quatre cinquièmes. La primitive de 𝑢 à quatre cinquièmes est 𝑢 à neuf cinquièmes divisé par neuf cinquièmes. C’est la même chose que cinq neuvièmes fois 𝑢 à neuf cinquièmes. Et, rappelez-vous, ceci est une intégrale indéfinie, nous ajoutons donc cette constante d’intégration 𝑐.

Lorsque nous distribuons les parenthèses, nous avons moins cinq sixièmes fois 𝑢 à neuf cinquièmes plus 𝐶 majuscule. Puisque notre constante initiale a été multipliée par moins trois sur deux, et puisque nous évaluons une intégrale en fonction de 𝑥, nous devons remplacer 𝑢 par 16 moins deux 𝑥. Et nous voyons que notre intégrale est moins cinq sixièmes fois 16 moins deux 𝑥 à neuf cinquièmes plus 𝐶.

Dans nos deux exemples précédents, nous avons vu que nous pouvons effectuer l’intégration par changement de variable, même s’il n’est pas immédiatement évident comment se déroulerait ce processus. Nous allons voir maintenant comment nous pouvons utiliser le processus pour intégrer une fonction trigonométrique plus compliquée.

Déterminez l’intégrale de moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥 fois moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos six 𝑥 à la puissance cinq par rapport à 𝑥.

Pour évaluer cette intégrale, nous devons remarquer que moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥 est la dérivée de la partie interne de cette fonction composée moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos six 𝑥. Cela nous indique que nous pouvons utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer cette intégrale. Nous considérerons 𝑢 la fonction interne de notre fonction composée, puis nous utiliserons le résultat général pour la dérivée de cos 𝑎𝑥.

Et nous voyons que d𝑢 par d𝑥, la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥, est moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥. N’oubliez pas que d𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction, mais nous le traitons un peu comme une fraction en effectuant une intégration par changement de variable. Et nous voyons que cela équivaut à dire que d𝑢 est égal à moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥 d𝑥. Nous remplaçons donc le moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥 d𝑥 par d𝑢. Et nous remplaçons moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos six 𝑥 avec 𝑢.

Et on voit que notre intégrale devient vraiment facile. C’est l’intégrale de 𝑢 à la puissance cinq d𝑢. Eh bien, la primitive de 𝑢 à la puissance cinq est 𝑢 à la puissance six sur six. Ainsi, l’intégrale de 𝑢 à la puissance cinq d𝑢 est 𝑢 à la puissance six sur six plus la constante d’intégration 𝑐. Rappelez-vous cependant, notre intégrale en fonction de 𝑥, nous remplaçons donc 𝑢 par moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos de six 𝑥.

Et nous avons évalué notre intégrale. C’est un sixième de moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos de six 𝑥 à la puissance six plus 𝑐.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser l’intégration par changement de variable pour intégrer une fonction logarithmique.

Déterminez l’intégrale de moins 11 sur six 𝑥 fois la racine cube du log naturel de 𝑥 d𝑥.

Afin d’évaluer cette intégrale, nous devons remarquer que la dérivée du logarithme naturel de 𝑥 est un sur 𝑥, et qu’une partie de notre fonction est un multiple scalaire de un sur 𝑥. Cela nous indique que nous pouvons utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer notre intégrale. On considère 𝑢 égale au log naturel de 𝑥. Et nous avons vu que d𝑢 par d𝑥 est donc un sur 𝑥.

Rappelez-vous que d𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction, mais nous le traitons un peu comme une fraction lors de l’intégration par changement de variable. Et nous voyons que cela équivaut à dire que d𝑢 est égal à un sur 𝑥 d𝑥. Remplaçons ce que nous avons maintenant dans notre intégrale. Si nous prenons moins onze sixièmes comme facteur, nous voyons que nous pouvons remplacer un sur 𝑥 d𝑥 par d𝑢. Et nous pouvons remplacer le logarithme naturel de log de 𝑥 par 𝑢.

Pour rendre cela facile à intégrer, nous rappelons que la racine cubique de 𝑢 est la même chose que 𝑢 à la puissance un tiers. Et nous savons que la primitive de 𝑢 à la puissance un tiers est 𝑢 à la puissance quatre tiers divisé par quatre tiers, ou trois quarts 𝑢 à la puissance quatre tiers. Nous distribuons nos parenthèses et nous voyons que notre intégrale est égale à moins onze huitièmes fois 𝑢 à la puissance quatre tiers plus 𝐶 majuscule.

Et je l’ai changé de 𝑐 minuscule en 𝐶 majuscule, car nous avons multiplié notre constante d’intégration initiale par moins onze sixièmes, modifiant ainsi le nombre. Il est bien sûr important de rappeler que notre intégrale initiale était en fonction de 𝑥. Nous remplaçons donc 𝑢 par le logarithme naturel de 𝑥. Et nous voyons que notre réponse est moins onze huitièmes fois le logarithme naturel de 𝑥 à la puissance quatre tiers plus 𝐶.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons introduire un changement de variable pour déterminer l’intégrale de fonctions plus compliquées. Nous avons appris que nous essayons généralement de choisir 𝑢 comme facteur de l’intégrande dont la dérivée se produit également, bien qu’il en soit un multiple scalaire. Cependant, si cela n’est pas possible, nous essayons de choisir 𝑢 comme une partie compliquée de l’intégrande. Cela peut être la fonction interne d’une fonction composée ou similaire. Nous avons également vu que cette méthode peut être utilisée pour intégrer des fonctions impliquant des racines, des fonctions trigonométriques et des fonctions logarithmiques.

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