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Dans cette leçon, nous allons apprendre à utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer des intégrales indéfinies. À ce stade, nous devons être à l’aise pour trouver la primitive d’une variété de fonctions, y compris les fonctions polynômes, trigonométriques et logarithmiques. Dans cette leçon, nous verrons comment appliquer ces règles pour trouver la primitive, ou l’intégrale, de fonctions plus compliquées.
En raison du théorème fondamental de l’analyse, il est important de pouvoir trouver la primitive. Mais nos formules ne nous disent pas comment évaluer les intégrales telles que l’intégrale de 𝑥 à la puissance cinq fois 𝑥 à la puissance six plus neuf à la puissance sept par rapport à 𝑥. Pour trouver cette intégrale, nous utilisons une stratégie spéciale consistant à introduire quelque chose de plus, une nouvelle variable.
Cela s’appelle l’intégration par changement de variable. Et on parle parfois d’intégration par substitution, ou de règle de la composition inverse. La première étape consiste souvent à exprimer l’intégrale sous cette forme. Notons que nous avons une fonction d’image 𝑔 de 𝑥 et sa dérivée 𝑔 prime de 𝑥. Et comme souvent, il est judicieux de jeter un œil à un exemple de comment cela fonctionne.
Déterminez l’intégrale de 𝑥 à la puissance cinq multiplié par 𝑥 à la puissance six plus neuf le tout à la puissance sept par rapport à 𝑥.
Ce polynôme n’est pas pratique à intégrer en utilisant nos règles standard pour trouver des primitives. Et nous ne voulons certainement pas développer la parenthèse et déterminer la primitive de chaque terme. Au lieu de cela, nous remarquons que l’intégrale est définie sous cette forme. Nous avons une fonction 𝑔 de 𝑥 et sa dérivée 𝑔 prime de 𝑥. Si nous regardons attentivement, nous voyons que 𝑥 à la puissance cinq est un multiple scalaire de la dérivée de 𝑥 à la puissance six plus neuf. Et cela signifie que nous pouvons utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer notre intégrale indéfinie.
La règle de changement de variable dit que si 𝑢 égale 𝑔 de 𝑥 est une fonction dérivable dont l’ensemble d’arrivée est un intervalle 𝑖 et 𝑓 est continue sur cet intervalle, alors l’intégrale de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 multiplié par 𝑔 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale de 𝑓 de 𝑢 par rapport à 𝑢. Nous allons poser 𝑢 égale la fonction que nous avons définie à l’origine 𝑔 de 𝑥. Donc 𝑢 est égal à 𝑥 à la puissance six plus neuf.
Alors cela est très bien, car lorsque nous dérivons cette fonction 𝑢 par rapport à 𝑥, nous voyons que d𝑢 sur d𝑥 est égal à six 𝑥 à la puissance cinq. Dans l’intégration par changement de variable, nous considérons d𝑢 et d𝑥 comme des différentielles. Et nous pouvons aussi écrire cela d𝑢 égale six 𝑥 à la puissance cinq d𝑥. Notons que bien que d𝑢 sur d𝑥 ne soit pas du tout une fraction, nous le traitons un peu comme en étant une dans ce processus. Nous divisons par six, et nous voyons qu’un sixième de d𝑢 est égal à 𝑥 à la puissance cinq d𝑥.
Et maintenant, revenons à notre intégrale originale. Nous voyons que nous pouvons remplacer 𝑥 à la puissance cinq d𝑥 par un sixième de d𝑢. Et nous remplaçons 𝑥 à la puissance six plus neuf par 𝑢. Et nous voyons maintenant que l’intégrale que nous évaluons est l’intégrale d’un sixième de 𝑢 à la puissance sept d𝑢. Si nous le voulons, nous pouvons sortir ce facteur un sixième en dehors du signe de l’intégrale, puis nous évaluons un sixième de l’intégrale de 𝑢 à la puissance sept par rapport à 𝑢.
L’intégrale de 𝑢 à la puissance sept est 𝑢 à la puissance huit divisé par huit plus la constante d’intégration, puisqu’il s’agit d’une intégrale indéfinie. Nous développons notre parenthèse. Et nous voyons que l’intégrale est égale à un sur 48 fois 𝑢 à la puissance huit plus 𝐶. Et on note que nous avons utilisé un 𝐶 majuscule parce que notre constante d’intégration initiale a été multipliée par un sixième.
Mais rappelons que nous cherchions à l’origine à évaluer notre intégrale en fonction de 𝑥. Donc nous regardons notre définition originale de 𝑢. Et nous avons dit que 𝑢 était égal à 𝑥 à la puissance six plus neuf. Nous voyons alors que notre intégrale est égale à un sur 48 fois 𝑥 à la puissance six plus neuf à la puissance huit plus 𝐶.
Dans cet exemple, nous avons vu que nous devons essayer de choisir 𝑢 comme étant un facteur de l’intégrande dont la dérivée est également présente, même si multipliée par un scalaire. Si ce n’est pas possible, nous essayons de choisir 𝑢 comme une partie plus compliquée de l’intégrande. Cela peut être la fonction interne d’une fonction composée ou similaire. Voyons un exemple de cette forme.
Déterminez l’intégrale de huit 𝑥 fois huit 𝑥 plus neuf au carré par rapport à 𝑥 en utilisant la méthode de changement de variable.
Dans cet exemple, on nous dit très explicitement d’utiliser la méthode de changement de variable pour évaluer cette intégrale. Nous cherchons normalement à choisir notre changement de variable 𝑢 comme un facteur de l’intégrande dont la dérivée est également présente, même si multipliée par un scalaire. Ici cependant, il n’est pas immédiatement évident ce que cela pourrait être. Dans ce cas, nous essayons plutôt de choisir 𝑢 comme une partie plus compliquée de la fonction, peut-être la fonction interne dans une fonction composée.
Essayons 𝑢 égale huit 𝑥 plus neuf. Cela signifie que d𝑢 sur d𝑥 est égal à huit. Et nous pouvons traiter d𝑢 et d𝑥 comme des différentielles. Rappelons que d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction, mais que nous le traitons comme en étant une lors de l’intégration par changement de variable. On peut dire que d𝑢 est égal à huit d𝑥. Ou, de manière équivalente, un huitième de d𝑢 est égal à d𝑥. Alors cela n’est pas immédiatement utile. Car lorsque nous remplaçons d𝑥 par un huitième de d𝑢 et huit 𝑥 plus neuf par 𝑢, nous avons toujours une partie de notre fonction, c’est le huit 𝑥, qui est en fonction de 𝑥.
Mais si nous revenons à notre changement de variable, nous voyons que nous pouvons réorganiser cela. Nous soustrayons neuf des deux côtés, et nous voyons que huit 𝑥 est égal à 𝑢 moins neuf. Ensuite, notre intégrale devient 𝑢 moins neuf fois 𝑢 au carré multiplié par un huitième de d𝑢. Sortons ce un huitième de l’intégrale, puis développons la parenthèse, et nous voyons que nous avons un simple polynôme que nous pouvons intégrer.
L’intégrale de 𝑢 au cube est 𝑢 à la puissance quatre divisé par quatre. L’intégrale de moins neuf 𝑢 au carré est moins neuf 𝑢 au cube divisé par trois. Et il ne faut pas oublier 𝐶, notre constante d’intégration. Nous pouvons simplifier neuf 𝑢 au cube divisé par trois en trois 𝑢 au cube. Mais il ne faut pas oublier de remplacer 𝑢 par huit 𝑥 plus neuf dans notre dernière étape.
Lorsque nous faisons cela, nous voyons que notre intégrale est égale à un huitième fois huit 𝑥 plus neuf à la puissance quatre divisé par quatre moins trois fois huit 𝑥 plus neuf au cube plus 𝐶. Lorsque nous développons nos parenthèses, nous voyons que nous avons notre réponse. C’est un sur 32 fois huit 𝑥 plus neuf à la puissance quatre moins trois huitièmes fois huit 𝑥 plus neuf au cube plus 𝐶.
Déterminez l’intégrale de 48 moins six 𝑥 sur la racine cinquième de 16 moins deux 𝑥 d𝑥.
Il n’est pas immédiatement évident comment nous devons évaluer cette intégrale. Cependant, si nous regardons attentivement, nous voyons que le numérateur est un multiple scalaire de la fonction interne au dénominateur ; 48 moins six 𝑥 égale trois fois 16 moins deux 𝑥. Cela est un indice que nous allons devoir utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer cette intégrale indéfinie.
Nous allons poser 𝑢 égale 16 moins deux 𝑥. Nous avons choisi cette partie pour notre changement de variable car 16 moins deux 𝑥 est la fonction interne d’une fonction composée. Nous dérivons 𝑢 par rapport à 𝑥, et nous voyons que d𝑢 sur d𝑥 est égal à moins deux. Rappelons que d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction, mais que nous le traitons un peu comme en étant une lors de l’intégration par changement de variable. Et nous pouvons voir que cela revient à dire que moins un demi de d𝑢 est égal à d𝑥.
Remplaçons ce que nous avons maintenant dans notre intégrale initiale. Nous avons vu que 48 moins six 𝑥 est égal à trois fois 16 moins deux 𝑥. Ainsi, le numérateur devient trois 𝑢. Le dénominateur devient racine cinquième de 𝑢. Et nous remplaçons d𝑥 par moins un demi de d𝑢. Sortons le facteur moins trois sur deux. Et nous écrirons notre dénominateur comme 𝑢 à la puissance cinq. Nous divisons 𝑢 à la puissance un par 𝑢 à la puissance un cinquième.
Donc nous soustrayons un cinquième de un, et il nous reste 𝑢 puissance quatre cinquièmes. La primitive de 𝑢 puissance quatre cinquièmes est 𝑢 puissance neuf cinquièmes divisé par neuf cinquièmes. Cela est la même chose que cinq neuvièmes fois 𝑢 puissance neuf cinquièmes. Et rappelons que ceci est une intégrale indéfinie, nous ajoutons donc cette constante d’intégration 𝑐.
Lorsque nous développons la parenthèse, nous avons moins cinq sixièmes fois 𝑢 puissance neuf cinquièmes plus 𝐶 majuscule. Puisque notre constante initiale a été multipliée par moins trois sur deux, et puisque nous évaluons une intégrale en fonction de 𝑥, nous devons remplacer 𝑢 par 16 moins deux 𝑥. Et nous voyons que notre intégrale est moins cinq sixièmes fois 16 moins deux 𝑥 puissance neuf cinquièmes plus 𝐶.
Dans nos deux exemples précédents, nous avons vu que nous pouvons effectuer l’intégration par changement de variable, même s’il n’est pas immédiatement évident à quoi ce processus pourrait ressembler. Nous allons maintenant voir comment utiliser cette méthode pour intégrer une fonction trigonométrique plus compliquée.
Déterminez l’intégrale de moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥 fois moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos de six 𝑥 à la puissance cinq par rapport à 𝑥.
Pour évaluer cette intégrale, nous devons repérer que moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥 est la dérivée de la partie intérieure de cette fonction composée ; moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos six 𝑥. Cela nous indique que nous pouvons utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer cette intégrale. Nous posons 𝑢 égale la fonction interne de notre fonction composée, puis nous utilisons le résultat général pour la dérivée de cos 𝑎𝑥.
Et nous voyons que d𝑢 sur d𝑥, la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥, vaut moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥. Rappelons que d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction, mais que nous le traitons un peu comme en étant une lors de l’intégration par changement de variable. Et nous voyons que cela revient à dire que d𝑢 est égal à moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥 d𝑥. Nous remplaçons donc moins 24𝑥 au cube plus 30 sin six 𝑥 d𝑥 par d𝑢. Et nous remplaçons moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos six 𝑥 par 𝑢.
Et nous voyons que notre intégrale devient vraiment simple. Il s’agit de l’intégrale de 𝑢 à la puissance cinq d𝑢. Eh bien, la primitive de 𝑢 à la puissance cinq est 𝑢 à la puissance six sur six. Ainsi, l’intégrale de 𝑢 à la puissance cinq d𝑢 est 𝑢 à la puissance six sur six plus la constante d’intégration 𝑐. Rappelons cependant que notre intégrale est en fonction de 𝑥, donc nous remplaçons 𝑢 par moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos de six 𝑥.
Et nous avons évalué notre intégrale. Elle vaut un sixième de moins six 𝑥 à la puissance quatre moins cinq cos de six 𝑥 à la puissance six plus 𝑐.
Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser l’intégration par changement de variable pour intégrer une fonction logarithmique.
Déterminez l’intégrale de moins 11 sur six 𝑥 fois la racine cubique du logarithme népérien de 𝑥 d𝑥.
Afin d’évaluer cette intégrale, nous devons remarquer que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est un sur 𝑥 et qu’une partie de notre fonction est un multiple scalaire d’un sur 𝑥. Cela nous indique que nous pouvons utiliser l’intégration par changement de variable pour évaluer notre intégrale. On pose 𝑢 égale logarithme népérien de 𝑥. Et nous avons vu que d𝑢 sur d𝑥 est donc un sur 𝑥.
Rappelons que d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction, mais que nous le traitons un peu comme en étant une lors de l’intégration par changement de variable. Et nous voyons que cela revient à dire que d𝑢 est égal à un sur 𝑥d𝑥. Remplaçons ce que nous avons maintenant dans notre intégrale. Si nous sortons le facteur moins onze sixièmes, nous voyons que nous pouvons remplacer un sur 𝑥 d𝑥 par d𝑢. Et nous pouvons remplacer le logarithme népérien de 𝑥 par 𝑢.
Pour faciliter cette intégration, nous rappelons que la racine cubique de 𝑢 est la même chose que 𝑢 à la puissance un tiers. Et nous savons que la primitive de 𝑢 à la puissance un tiers est 𝑢 à la puissance quatre tiers divisé par quatre tiers, ou trois quarts de 𝑢 à la puissance quatre tiers. Nous développons notre parenthèse, et nous voyons que notre intégrale est égale à moins onze huitièmes fois 𝑢 à la puissance quatre tiers plus 𝐶 majuscule.
Et nous avons changé 𝑐 minuscule en 𝐶 majuscule, car nous avons multiplié notre constante d’intégration initiale par moins onze-sixièmes, changeant ainsi cette constante. Il est bien sûr important de nous rappeler que notre intégrale initiale était en fonction de 𝑥. Donc nous remplaçons 𝑢 par le logarithme népérien de 𝑥. Et nous voyons que notre réponse est moins onze huitièmes fois le logarithme népérien de 𝑥 à la puissance quatre tiers plus 𝐶.
Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons introduire un changement de variable pour trouver l’intégrale de fonctions plus compliquées. Nous avons appris que nous essayons généralement de choisir 𝑢 comme facteur de l’intégrande dont la dérivée est également présente, même si multipliée par un scalaire. Si ce n’est pas possible, nous essayons de choisir 𝑢 comme une partie plus compliquée de l’intégrande. Cela peut être la fonction interne d’une fonction composée ou similaire. Nous avons également vu que cette méthode peut être utilisée pour intégrer des fonctions impliquant des racines, des fonctions trigonométriques et des fonctions logarithmiques.
