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Déterminez l’expression de la dérivée définie par 𝑑 sur 𝑑𝑥 de un sur 𝑥 plus un.
Par définition, la dérivée de 𝑓 de 𝑥, notée 𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑓 de 𝑥, est la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. On peut aussi utiliser la notation 𝑓 prime de 𝑥 pour souligner le fait que notre dérivée est une fonction de 𝑥. Appliquons cette définition à notre problème.
Notre dénominateur reste le même que dans la définition, ℎ. Et il semble clair que dans notre cas, 𝑓 de 𝑥 correspond à un sur 𝑥 plus un. Cela apparaît également dans le membre de gauche de l’équation. Déterminer 𝑓 de 𝑥 plus ℎ peut sembler un peu moins évident. Mais il suffit en fait de remarquer que si 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 plus un, alors 𝑓 de 𝑥 plus ℎ est égal à un sur 𝑥 plus ℎ plus un.
Et nous sommes maintenant prêts à calculer cette limite. Notons qu’il s’agit de la limite quand ℎ tend vers zéro. Ce n’est pas la limite quand 𝑥 tend vers une certaine valeur. Et notre réponse finale ne dépendra que de 𝑥. Si on essayait de remplacer directement ℎ par zéro dans notre limite, on obtiendrait la forme indéterminée zéro sur zéro. Vous pouvez le vérifier par vous-mêmes si vous en doutez.
On va donc devoir simplifier notre fraction en espérant faire apparaître un facteur ℎ au numérateur, ce qui nous permettrait d’éliminer le facteur commun ℎ au numérateur et au dénominateur avant d’utiliser la substitution directe pour calculer la limite. Pour l’heure, on a des fractions dans notre fraction. Il y a deux fractions dans le numérateur. Pour en éliminer une, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par 𝑥 plus ℎ plus un.
Nous avons multiplié chacune des deux fractions du numérateur par 𝑥 plus ℎ plus un. Donc on peut remplacer la première de ces fractions par un. Pour éliminer la seconde fraction de notre numérateur, on multiplie l’expression totale par 𝑥 plus un sur 𝑥 plus un. Puis on simplifie à nouveau. Notre dénominateur est devenu plus compliqué, mais notre numérateur est maintenant beaucoup plus simple. Et on peut le simplifier davantage.
Tout d’abord, on peut éliminer les parenthèses inutiles autour de 𝑥 plus ℎ. Ensuite, on peut voir qu’on a deux 𝑥 de signes opposés. Donc on peut les éliminer. On a aussi deux un de signes opposés, qu’on élimine également. Donc il ne nous reste plus que moins ℎ au numérateur. Et notre dénominateur comprend aussi un facteur ℎ. Donc on peut simplifier par ce facteur commun ℎ au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donne moins un au numérateur et 𝑥 plus ℎ plus un multiplié par 𝑥 plus un au dénominateur.
Et maintenant qu’on a éliminé ce facteur ℎ au numérateur et au dénominateur, on peut déterminer notre limite par substitution directe. Donc on remplace ℎ par zéro et on obtient moins un sur 𝑥 plus zéro plus un multiplié par 𝑥 plus un. Et bien sûr, il n’est pas nécessaire d’écrire explicitement plus zéro. Donc notre limite est égale à moins un sur 𝑥 plus un multiplié par 𝑥 plus un, qu’on peut aussi écrire moins un sur 𝑥 plus un au carré. Et il s’agit de notre réponse finale.
Donc, en utilisant la définition de la dérivée, on a montré que 𝑑 sur 𝑑𝑥 de un sur 𝑥 plus un est égal à moins un sur 𝑥 plus un au carré. Et comme promis, cette dérivée est bien une fonction de 𝑥.
