Transcription de la vidéo
La droite d’équation 𝑦 égale cinq 𝑥 plus quatre est tangente à la courbe représentative de la fonction 𝑓 en le point de coordonnées moins un, moins un. Que vaut 𝑓 prime de moins un ?
On nous demande de déterminer la valeur de la dérivée de la fonction 𝑓 en 𝑥 égale moins un. Mais on ne sait rien de la fonction 𝑓 , à part que la droite 𝑦 égale cinq 𝑥 plus quatre est tangente à la courbe en ce point. On ne connaît donc pas l’allure de son graphe. On pourrait supposer de manière arbitraire qu’il ressemble à celui d’une fonction cubique. Cependant, on sait que l’équation de la tangente au point moins un, moins un est 𝑦 égale cinq 𝑥 plus quatre, et cela nous renseigne sur la pente de notre courbe en ce point.
On sait qu’en un point donné, la pente de la courbe d’une fonction est égale à la pente de sa tangente en ce point. Donc, notre courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 a la même pente au point au point moins un, moins un que sa tangente en ce point. Et cette tangente est la droite 𝑦 égale cinq 𝑥 plus quatre. Cette information va nous être utile, car nous savons déterminer la pente d’une droite à partir de son équation.
Si l’équation d’une droite est de la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, alors la valeur de 𝑚, le coefficient de 𝑥, donne la pente de la droite et 𝑏, le terme constant, donne son ordonnée à l’origine. Et l’équation de notre tangente se présente sous cette forme. C’est l’équation 𝑦 égale cinq 𝑥 plus quatre. Si on compare cette équation à la forme générale, on peut voir que la pente de la droite 𝑦 égale cinq 𝑥 plus quatre est égale à cinq.
Enfin, on rappelle que la pente d’une courbe est donnée par sa dérivée première. Donc nous demander de déterminer la valeur de 𝑓 prime de moins un revient à nous demander de déterminer la valeur de la pente à la courbe au point 𝑥 égale moins un. Et nous venons de voir que la pente de la tangente à la courbe, et donc celle de la courbe elle-même, est égale à cinq en 𝑥 égale moins un.
Donc nous avons la réponse à notre problème : la pente de la tangente, et donc celle de la courbe, est égale à cinq, ce qui signifie que la dérivée première est égale à cinq en 𝑥 égale moins un.
