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Fiche explicative de la leçon : Équations des tangentes et des normales Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer le coefficient directeur et l’équation de la tangente et de la normale à une courbe en un point donné à l’aide des dérivée.

La dérivée d’une fonction en un point nous donne le coefficient directeur, aussi appelé la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point et il existe de nombreuses techniques pour calculer les dérivées de différentes fonctions. Nous pouvons utiliser ces techniques de dérivation pour calculer des équations de tangentes de diverses fonctions dérivables.

Tout d’abord, rappelons ce que nous entendons exactement dire par tangente à une courbe en un point.

Définition : Tangente à une courbe en un point

Étant donnés une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) et un point (𝑥;𝑦) de la courbe, on dit que la droite 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est la tangente à la courbe en ce point (𝑥;𝑦) si

  • la tangente passe par le point (𝑥;𝑦);
  • la courbe et la tangente ont la même pente au point (𝑥;𝑦).

Dans la définition ci-dessus, nous affirmons que la tangente et la courbe ont la même pente au point (𝑥;𝑦). Cela signifie que, dans un voisinage du point (𝑥;𝑦), la droite ne fait que « toucher » la courbe.

L’équation d’une droite peut être déterminée en utilisant la valeur de sa pente et les coordonnées d’un point de la droite. D’après la définition ci-dessus, nous savons que la tangente et la courbe passent toutes deux par le point (𝑥;𝑦). Ainsi, la seule information manquante est la pente.

On peut alors, à ce stade, utiliser la dérivation pour déterminer la pente de la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). Pour une fonction 𝑓 dérivable en 𝑥, cette pente est donnée par 𝑓(𝑥).

Voyons un exemple d’utilisation de ce qui précède pour déterminer l’équation de la tangente à une courbe en un point.

Exemple 1: Calcul de l’équation de la tangente à la courbe d’une fonction polynomiale en une valeur donnée de 𝑥

Calculez l’équation de la tangente à la courbe d’équation 𝑦=2𝑥+8𝑥19 au point 𝑥=2.

Réponse

Pour trouver l’équation de la tangente à une courbe en un point, nous avons besoin de deux informations:les coordonnées du point et la pente de la courbe en ce point.

La question nous demande de trouver la tangente lorsque 𝑥=2 donc la coordonnée en 𝑥 du point est 2. On peut trouver la coordonnée en 𝑦 du point de coordonnée en 𝑥 égale à 2 en posant 𝑥=2 dans l’équation de la courbe, ce qui donne:𝑦=2(2)+8(2)19=16+3219=3.

Ainsi, la tangente passe par le point (2;3) de la courbe.

Ensuite, nous avons besoin de connaitre la pente de la courbe lorsque 𝑥=2;pour la trouver, nous devons calculer la dérivée:dddd𝑦𝑥=𝑥2𝑥+8𝑥19=6𝑥+16𝑥.

On évalue ensuite cette expression en 𝑥=2 pour déterminer la pente de la tangente en ce point:dd𝑦𝑥|||=6(2)+16(2)=24+32=8.

Maintenant, pour trouver l’équation de la tangente, rappelons qu’une droite de pente 𝑚 passant par le point (𝑥;𝑦) a pour équation 𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥).

Dans notre cas, nous avons 𝑦(3)=8(𝑥2)𝑦+3=8𝑥16𝑦8𝑥+19=0.

Par conséquent, l’équation de la tangente à notre courbe en 𝑥=2 est donnée par l’équation 𝑦8𝑥+19=0.

Cette méthode est très utile pour déterminer l’équation d’une droite tangente à une courbe en un point (à condition que la dérivée de la courbe existe en ce point). Si on a une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) contenant le point (𝑥;𝑦), alors la tangente à notre courbe en ce point a pour pente 𝑓(𝑥). Rappelons que l’équation de la droite passant le point (𝑥;𝑦) et de pente 𝑚 est donnée par 𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥).

Ainsi, il nous suffit de connaitre la pente de la tangente ainsi que les coordonnées d’un point par laquelle elle passe pour pouvoir déterminer son équation.

Définition : Équation d’une droite tangente

L’équation de la tangente à la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) au point (𝑥;𝑦) est donnée par 𝑦𝑦=𝑓(𝑥)(𝑥𝑥).

Pour pouvoir écrire cette équation, on a supposé que 𝑓 était dérivable en 𝑥. Si la fonction 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑥, alors nous ne pouvons pas utiliser cette formule pour trouver l’équation de la tangente en 𝑥. Au lieu de cela, nous devons considérer le problème graphiquement. Essayons de trouver la droite tangente aux deux courbes suivantes au point 𝑥=0.

Sur notre premier graphique, nous pouvons voir que la courbe n’est pas définie en 𝑥=0, elle n’est donc pas non plus dérivable en 𝑥=0. Si notre courbe n’est pas définie en 𝑥=0, alors elle ne peut pas avoir de droite tangente à cette valeur de 𝑥.

Sur notre deuxième graphique, nous pouvons voir que la tangente en 𝑥=0 doit être verticale. Si nous devions dériver cette fonction, nous aurions 𝑓(𝑥)=𝑥,𝑓(𝑥)=13𝑥.

On pourrait alors essayer de calculer la pente de notre courbe en 𝑥=0:𝑓(0)=130=10.

On constate que cette fraction n’est pas définie. Quand 𝑓 n’est pas dérivable en un point, tracer sa courbe représentative peut nous aider à déterminer si la tangente à la courbe en ce point est une droite verticale.

Jusqu’à présent, nous nous sommes focalisés sur les tangentes. Cependant, il existe un autre type important de droites, appelées droites normales, que nous devons considérer. Une droite normale à une courbe en un point est très semblable à la tangente;la seule différence est que la droite normale est perpendiculaire à la tangente.

Définition : Normale à une courbe en un point

Soit une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) et (𝑥;𝑦) un point de la courbe;on dit que la droite d’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est la droite normale à la courbe en ce point (𝑥;𝑦) si:

  • le point (𝑥;𝑦) appartient à la droite;
  • cette droite est perpendiculaire à la tangente à notre courbe en ce point.

Il est utile de noter que nous pouvons définir la droite normale à partir du fait qu’elle est perpendiculaire à la courbe en ce point;cependant, il peut être plus facile de penser que la droite est perpendiculaire à la tangente.

Déterminer l’équation de la droite normale demande un peu plus de travail, puisque la dérivée de la fonction ne donne que la pente de la tangente. Pour trouver l’équation de la normale à une courbe en un point, nous avons besoin d’un point sur la droite et de sa pente pour trouver son équation.

Puisque l’on sait déjà que la normale passe par le point (𝑥;𝑦), nous avons seulement besoin de calculer sa pente pour pouvoir déterminer son équation.

Nous voulons trouver une expression pour la pente de la droite normale en fonction de la pente de la tangente. Pour ce faire, remarquons tout d’abord que, dans le cas où la tangente est horizontale, la normale étant perpendiculaire à celle-ci, elle doit donc être verticale, et vice-versa.

Nous pouvons donc supposer que la tangente est une droite qui n’est ni horizontale ni verticale. Ainsi, nous pouvons écrire l’équation de la tangente au point (𝑥;𝑦) sous la forme 𝑦=𝑚𝑥+𝑐, 𝑚 est non nul. Nous écrirons également l’équation de la normale sous la forme 𝑦=𝑛𝑥+𝑑.

Pour trouver une expression pour la pente de la droite normale, notée 𝑛, nous allons commencer par faire un croquis.

Pour trouver une expression pour la pente, notée 𝑛, on va tracer la droite d’équation 𝑥=𝑥+1.

Nous pouvons maintenant voir que nous avons un triangle rectangle en (𝑥;𝑦). On peut calculer les coordonnées des sommets. Nous connaissons déjà les coordonnées du sommet en (𝑥;𝑦);ce point servira de référence pour calculer les coordonnées des deux autres sommets.

Puisque nous avons tracé une droite verticale à droite de (𝑥;𝑦) d’une unité, les deux autres sommets seront donc également à droite d’une unité. On peut trouver les coordonnés en 𝑦 de ces deux sommets en rappelant que la pente d’une droite correspond à la variation en 𝑦 lorsque 𝑥 varie d’une unité. Puisque 𝑥 varie d’une unité pour les deux sommets, la variation en 𝑦 pour la tangente est 𝑚 et la variation en 𝑦 pour la droite normale est 𝑛.

Les coordonnées des sommets sont donc (𝑥;𝑦), (𝑥+1;𝑦+𝑚), et (𝑥+1;𝑦+𝑛).

On peut alors calculer les longueurs des côtés de ce triangle, en calculant les distance entre chacune des paires de sommets. Nous laissons les calculs au lecteur, et illustrons les résultats obtenus sur la figure ci-dessous.

Enfin, puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore, où l’hypoténuse de ce triangle est le côté opposé à l’angle droit, dans ce cas, il s’agit du segment de droite vertical. De fait, puisqu’il s’agit d’un segment de droite vertical, celui-ci est de longueur la différence entre les coordonnées en 𝑦 de ses extrémités. Dans ce cas, nous écrirons cette longueur sous la forme |𝑚𝑛|, car on ne connaît pas le signe de 𝑚𝑛:1+𝑚+1+𝑛=|𝑚𝑛|1+𝑚+1+𝑛=𝑚2𝑚𝑛+𝑛2=2𝑚𝑛𝑛=1𝑚.

Cela nous donne une équation pour déterminer la pente de notre droite normale;il s’agit de l’opposé de l’inverse de la pente de la tangente. Nous savons aussi comment calculer la pente de la tangente en utilisant la dérivée.

Cela signifie que nous pouvons utiliser le fait que 𝑚=𝑓(𝑥) pour trouver une formule pour l’équation de la droite normale.

Définition : Équation d’une droite normale à une courbe

Si 𝑓(𝑥)0, alors l’équation de la droite normale à la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) au point (𝑥;𝑦) est donnée par 𝑦𝑦=1𝑓(𝑥)(𝑥𝑥).

Si la pente de la courbe en 𝑥 est nulle, alors la droite normale en ce point est verticale et a pour équation 𝑥=𝑥. Si la pente de la courbe n’est pas définie en un point, il y a deux possibilités.

  1. Soit la tangente à la courbe en ce point est verticale;dans ce cas, la droite normale est horizontale.
  2. Soit la tangente à la courbe en ce point n’existe pas;dans ce cas, la droite normale n’existe pas.

Voyons quelques exemples d’application de ces formules à certaines courbes.

Exemple 2: Déterminer l’équation de la normale à la courbe d’une fonction polynomiale en un point d’abscisse donnée

Déterminez l’équation de la normale à la courbe d’équation 𝑦=2𝑥7𝑥+2 au point 𝑥=2.

Réponse

Nous voulons calculer l’équation de la droite normale à une courbe en un point. Pour ce faire, nous devons trouver un point sur la droite ainsi que sa pente. On peut trouver un point sur la droite en évaluant l’équation de la courbe au point 𝑥=2, ce qui donne:𝑦=2(2)7(2)+2=10.

Ainsi, la droite normale passe par le point (2;10).

Ensuite, rappelons que nous pouvons déterminer la pente de la droite normale à partir de la pente de la tangente.

En définissant la fonction associée à la courbe par 𝑓(𝑥)=2𝑥7𝑥2, alors la tangente a une pente égale à 𝑓(2):𝑓(𝑥)=6𝑥14𝑥,𝑓(2)=6(2)14(2)=4.

Nous avons montré que la tangente a une pente égale à 4, mais la pente de la normale est l’opposée de l’inverse de cette valeur:pentedelanormale=1𝑓(2)=14.

Nous savons à présent que la normale a une pente de 14 et qu’elle passe par le point (2;10). Cela nous donne l’équation 𝑦(10)=14(𝑥(2))𝑦+10=14(𝑥+2)4𝑦40=𝑥+24𝑦+𝑥+42=0.

Par conséquent, l’équation de la droite normale à la courbe au point d’abscisse 𝑥=2 est donnée par 4𝑦+𝑥+42=0.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment trouver les points d’une courbe tels que les tangentes à la courbe en ces point sont parallèles à une droite donnée.

Exemple 3: Trouver l’abscisse du point appartenant à la courbe d’une fonction du second degré où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses

Quelle est la coordonnée en 𝑥 du point où la tangente à la courbe d’équation 𝑦=𝑥+12𝑥+11 est parallèle à l’axe des 𝑥?

Réponse

Nous voulons trouver la coordonnée en 𝑥 du point où la tangente à cette courbe est parallèle à l’axe des 𝑥. Nous savons que l’axe des 𝑥 est horizontal, de sorte que toute droite parallèle à celui-ci doit également être horizontale;en d’autres termes, la pente de cette tangente doit être nulle.

On sait aussi que, pour une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), la pente de la tangente à cette courbe au point (𝑥;𝑦) est donnée par sa dérivée en ce point, ici 𝑓(𝑥).

Par conséquent, pour répondre à cette question, nous devons trouver les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la dérivée est nulle.

Notre fonction étant polynomiale, nous pouvons la dériver en utilisant la règle de dérivation des puissances:dd𝑥𝑥+12𝑥+11=2𝑥+12.

En calculant les points annulateurs de la dérivée, on trouve les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la tangente est parallèle à l’axe des 𝑥:2𝑥+12=0𝑥=6.

Par conséquent, la tangente à cette courbe est parallèle à l’axe des 𝑥 au point d’abscisse 𝑥=6.

Dans notre prochain exemple, nous allons trouver l’équation d’une droite tangente à une courbe qui forme un angle spécifique avec le demi-axe positif des 𝑥.

Exemple 4: Calcul de l’équation de la tangente à une courbe d’une fonction cubique, étant donné l’angle formée par la tangente et l’axe des abscisses

Calculez l’équation de la tangente à la courbe d’équation 𝑦=𝑥+9𝑥+26𝑥 qui forme un angle de 135 avec le demi-axe positif des 𝑥.

Réponse

Dans cette question, nous voulons déterminer la tangente à une courbe qui forme un angle de 135 avec le demi-axe positif des 𝑥. Cela signifie que pour pouvoir répondre à cette question, nous allons devoir calculer la pente d’une droite qui forme cet angle avec le demi-axe positif des 𝑥.

D’abord, remarquons que l’angle formé par une droite et le demi-axe positif des 𝑥 est invariant par translation de la droite. Ainsi, nous pouvons commencer par tracer une droite passant par l’origine (car c’est le cas le plus simple), et formant un angle de 135 avec le demi-axe positif des 𝑥. Cette droite aura alors la même pente que la tangente recherchée.

On peut voir que 135=90+45 ce qui nous donne la figure suivante:

Il y a alors deux façons de déterminer la pente de cette droite;on peut utiliser le fait que la pente d’une droite est égale à la tangente de l’angle formé par cette droite et le demi axe positif des 𝑥;dans ce cas, tan135=1;ou on pourrait calculer la pente de cette droite en utilisant des techniques trigonométriques. Dans les deux cas, d’après l’énoncé, on cherche à trouver une tangente de pente égale à 1.

La pente de la tangente en un point est égale à la dérivée de la courbe en ce point, donc on doit déterminer les points de dérivée égale à 1 en résolvant en 𝑥 l’équation suivante:dddd𝑦𝑥=𝑥𝑥+9𝑥+26𝑥=3𝑥+18𝑥+26.

Ainsi, nous voulons résoudre l’équation 3𝑥+18𝑥+26=13𝑥+18𝑥+27=0𝑥+6𝑥+9=0(𝑥+3)=0.

La solution de cette équation est 𝑥=3.

Pour pouvoir déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 𝑥=3, on doit trouver les coordonnées d’un point de la droite. Nous pouvons trouver un point en évaluant l’équation de la courbe au point 𝑥=3:𝑦=(3)+9(3)+26(3)=24.

La tangente que nous recherchons passe donc par le point (3;24) et a une pente égale à 1.

Nous pouvons utiliser ce qui précède pour calculer l’équation de la tangente 𝑦(24)=1(𝑥(3))𝑦+24=(𝑥+3)𝑦+24=𝑥3𝑦+𝑥+27=0.

Par conséquent, la tangente à la courbe qui forme un angle de 135 avec le demi-axe positif 𝑥 a pour équation 𝑦+𝑥+27=0.

Le calcul de la pente d’une tangente ou d’une normale ne se limite pas toujours au calcul de la dérivée d’une fonction polynomiale. Nous devrons parfois appliquer d’autres règles de dérivation pour pouvoir déterminer cette valeur. Voyons un exemple illustrant cela.

Exemple 5: Calcul de l’équation de la normale à la courbe d’une fonction trigonométrique en un point d’abscisse donné

Trouvez tous les points de coordonnées en 𝑥 dans l’intervalle [0;𝜋[ où la courbe d’équation 𝑦=2𝑥sin a une tangente parallèle à la droite d’équation 𝑦=𝑥18.

Réponse

Premièrement, pour qu’une droite soit parallèle à la droite d’équation 𝑦=𝑥18, elle doit avoir la même pente. Par conséquent, la tangente recherchée doit avoir une pente égale à 1. Rappelons que la pente de la tangente à une courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) au point 𝑥 est égale à 𝑓(𝑥). Dans notre cas, 𝑓(𝑥)=2𝑥sin. On peut dériver cette fonction en utilisant le fait que, pour toute constante 𝑛𝑥 est mesuré en radians, on a ddsincos𝑥(𝑎𝑥)=𝑎𝑎𝑥.

Par conséquent, 𝑓(𝑥)=22𝑥.cos

Puisque la tangente doit avoir une pente égale à 1 on obtient l’équation 22𝑥=1.cos

Nous pouvons alors résoudre cette équation pour 𝑥 dans l’intervalle [0;𝜋[:cos2𝑥=12.

Nous esquissons la courbe correspondante comme suit.

Cette équation a pour solutions 𝑥=𝜋3 et 𝑥=2𝜋3. Enfin, nous devons trouver les coordonnées de ces points en substituant ces valeurs à 𝑥 dans la fonction sin2𝑥:sinetsin2𝜋3=3222𝜋3=32, ce qui nous donne les coordonnées des points 𝜋3;32 et 2𝜋3;32.

Ainsi, les points de coordonnées en 𝑥 dans l’intervalle [0;𝜋[, où la courbe d’équation 𝑦=2𝑥sin a une tangente parallèle à la droite d’équation 𝑦=𝑥18, sont ceux de coordonnées 𝜋3;32 et 2𝜋3;32.

Dans notre dernier exemple, nous allons déterminer le point d’intersection entre deux courbes qui se coupent de façon orthogonale.

Exemple 6: Determiner le point d’intersection de deux courbes de deux fonctions du second degré qui se coupent orthogonalement

Les courbes d’équation 𝑦=2𝑥3𝑥2 et 𝑦=3𝑥+5𝑥5 se coupent orthogonalement en un point. Quel est ce point d’intersection?

Réponse

On dit que deux courbes se coupent de façon orthogonale si elles se coupent à angle droit. De manière équivalente, les tangentes aux deux courbes au point d’intersection sont orthogonales (forment un angle droit).

On rappelle que la pente d’une courbe en un point est égale à la valeur de sa dérivée en ce point. Nous commençons par trouver tous les points d’intersection entre ces deux courbes en déterminant les valeurs de 𝑥 qui s’envoient sur la même image par les deux fonctions:2𝑥3𝑥2=3𝑥+5𝑥52𝑥3𝑥2+3𝑥5𝑥+5=05𝑥8𝑥+3=0(5𝑥3)(𝑥1)=0.

Ainsi, les courbes s’intersectent en des points d’abscisses 𝑥=35 et 𝑥=1. Nous devons calculer les pentes des deux courbes à chacune de ces coordonnés en 𝑥 pour déterminer si elles sont bien orthogonales. Nous faisons cela en calculant les dérivées de chacune de ces fonctions à l’aide de la règle de dérivation des puissances. Pour la première courbe:dd𝑥2𝑥3𝑥2=4𝑥3.

On peut utiliser cette dérivée pour calculer la pente aux deux coordonnées en 𝑥.

Au point 𝑥=35, dd𝑥2𝑥3𝑥2||=4353=35.

Au point 𝑥=1, dd𝑥2𝑥3𝑥2||=4(1)3=1.

On peut faire la même chose pour la seconde courbe:dd𝑥3𝑥+5𝑥5=6𝑥+5.

Au point 𝑥=35, dd𝑥3𝑥+5𝑥5||=635+5=725.

Au point 𝑥=1, dd𝑥3𝑥+5𝑥5||=6(1)+5=1.

Aucune des pentes de ces droites n’étant nulle, pour que les droites soient orthogonales entre elles, leurs pentes respectives doivent être l’opposé de l’inverse l’une de l’autre. L’opposé de l’inverse de 35 est égal à 35=53=53, qui n’est pas égale à la pente de la seconde courbe en ce point, de sorte que les tangentes ne sont pas orthogonales.

En prenant l’opposé de l’inverse de 1, on obtient (1)=1, qui est égal à la pente de la seconde courbe en ce point. Par conséquent, les tangentes sont orthogonales.

On peut trouver les coordonnées de ce point en évaluant l’équation de l’une de ces courbes en 𝑥=1:𝑦=2(1)3(1)2=232=3.

Par conséquent, les courbes se coupent orthogonalement au point (1;3).

Concluons en recapitulant certains concepts abordés lors du calcul des équations de droites tangentes et normales à une courbe.

Points clés

  • L’équation de la tangente à la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) au point (𝑥;𝑦) est donnée par 𝑦𝑦=𝑓(𝑥)(𝑥𝑥).
  • Si 𝑓(𝑥)0, alors l’équation de la droite normale à la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) au point (𝑥;𝑦) est donnée par 𝑦𝑦=1𝑓(𝑥)(𝑥𝑥).
  • Si 𝑓(𝑥)=0, alors la tangente à la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) au point (𝑥;𝑦) est horizontale et a pour équation 𝑦=𝑦.
  • Si 𝑓(𝑥)=0, la droite normale à la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) au point (𝑥;𝑦) est verticale et a pour équation 𝑥=𝑥.
  • Deux courbes se coupent de façon orthogonale au point (𝑥;𝑦) si les deux courbes se coupent en ce point et que leurs tangentes en ce point sont orthogonales.
  • Si 𝑓(𝑥) est indéfini, nous pouvons parfois tout de même trouver les droites tangentes et normales en 𝑥. Cependant, ce n’est pas toujours possible.

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