Vidéo de la leçon: Équations des tangentes et des normales Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment utiliser les dérivées pour déterminer l’équation de la tangente à une courbe en un point donné. Nous allons également expliquer ce qu’est la normale à une courbe en un point donné et voir quelques exemples où nous allons déterminer les équations des tangentes et des normales à des courbes.

Rappelons, tout d’abord, que la tangente à une courbe en un point particulier est une droite qui touche la courbe en ce point mais qui ne traverse pas la courbe. Rappelons également que la pente d’une courbe en un point donné est définie comme étant la pente de la tangente à la courbe en ce point. Par conséquent, si nous pouvons déterminer la pente d’une courbe d𝑦 sur d𝑥 en utilisant la dérivation, alors nous pouvons calculer la pente de la courbe et donc la pente de la tangente à la courbe en un point donné en remplaçant la valeur de 𝑥 en ce point dans la fonction dérivée d𝑦 sur d𝑥.

Rappelons également que l’équation générale d’une droite de pente 𝑚 passant par le point 𝑥 un, 𝑦 un s’écrit 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚𝑥 moins 𝑥 un. Nous pouvons donc utiliser la pente que nous avons calculée et les coordonnées du point qui nous intéresse pour déterminer l’équation d’une tangente.

Voyons comment cela fonctionne avec un exemple.

Déterminez l’équation de la tangente à la courbe 𝑦 égal quatre 𝑥 au cube moins deux 𝑥 au carré plus quatre au point moins un, moins deux.

On nous donne l’équation d’une courbe. Et nous devons déterminer l’équation de la tangente à cette courbe en un point particulier. Nous allons utiliser la formule de l’équation générale d’une droite 𝑦 moins 𝑦 un égal 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un. Nous connaissons déjà les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un. Cela correspond au point moins un, moins deux. Mais quelle est la valeur de 𝑚, la pente de cette droite ? Alors, rappelons que la pente d’une courbe est égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point. Donc, pour trouver la pente de cette tangente, nous allons d’abord calculer la fonction dérivée de la courbe, d𝑦 sur d𝑥.

Nous pouvons faire cela en appliquant la propriété de dérivation des puissances, ce qui donne d𝑦 sur d𝑥 égale quatre multiplié par trois 𝑥 au carré moins deux multiplié par deux 𝑥. Rappelons-le, lorsqu’on dérive une constante, on obtient zéro. Donc, la dérivée de quatre est zéro dans notre dérivée finale et cela se simplifie en 12𝑥 au carré moins quatre 𝑥. Voici la fonction dérivée de cette courbe. Mais nous cherchons la dérivée en un point particulier. Nous devons donc calculer d𝑦 sur d𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins un parce que c’est la valeur de 𝑥 en ce point. Cela donne 12 multiplié par moins un carré moins quatre multiplié par moins un, ce qui se simplifie en 16.

Nous savons maintenant que la pente de cette tangente vaut 16 et que les coordonnées d’un point de cette droite sont moins un, moins deux. Nous avons donc toutes les informations nécessaires pour utiliser la formule de l’équation générale d’une droite. En remplaçant les valeurs de 𝑚, 𝑥 un et 𝑦 un, nous obtenons 𝑦 moins moins deux égale 16 𝑥 moins moins un. C’est-à-dire 𝑦 plus deux égale 16𝑥 plus 16. Et puis, nous pouvons soustraire deux de chaque côté pour regrouper les termes constants, ce qui donne 𝑦 égal 16𝑥 plus 14. Voici donc l’équation de la tangente à la courbe donnée au point moins un, moins deux. Elle passe par le point moins un, moins deux et a la même pente que la courbe en ce point.

Regardons maintenant un deuxième exemple.

Déterminez le point de la courbe 𝑦 égal moins 40𝑥 au carré plus 40 pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des 𝑥.

Alors, réfléchissons à quoi correspond une droite parallèle à l’axe des 𝑥. L’axe des 𝑥 est une droite horizontale. Donc, si une autre droite est parallèle à l’axe des 𝑥, alors elle doit aussi être horizontale. Et que savons-nous sur la pente des droites horizontales ? Eh bien, elle vaut zéro. Nous savons donc que la pente de la tangente que nous cherchons doit être égale à zéro. Rappelons également que la pente d’une tangente est égale à la pente de la courbe en ce point. Nous savons donc aussi que la pente de la courbe en ce point doit également être égale à zéro.

La pente d’une courbe correspond à la fonction dérivée d𝑦 sur d𝑥. Donc, ce que nous allons faire, c’est que nous allons déterminer la fonction d𝑦 sur d𝑥 en dérivant 𝑦 par rapport à 𝑥, puis nous allons écrire que cette fonction est égale à zéro. Nous pourrons ensuite résoudre l’équation obtenue pour déterminer l’abscisse 𝑥 du point de la courbe pour lequel la pente est égale à zéro. La première étape consiste donc à calculer d𝑦 sur d𝑥, ce que nous pouvons faire en appliquant la propriété de dérivation des puissances. Cela donne moins 40 multiplié par deux 𝑥, ce qui est égal à moins 80𝑥. Et rappelons-le, la dérivée d’une constante est égale à zéro. Donc, la fonction d𝑦 sur d𝑥 est simplement égale à moins 80𝑥.

Ensuite, nous devons écrire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à zéro et résoudre l’équation obtenue. Nous obtenons moins 80𝑥 égal zéro. Et en divisant les deux côtés de cette équation par moins 80, nous obtenons que 𝑥 est égal à zéro. Nous savons donc que l’abscisse 𝑥 du point de cette courbe pour lequel la tangente est parallèle à l’axe des 𝑥 est zéro. Nous devons également déterminer l’ordonnée 𝑦, ce que nous pouvons faire en remplaçant 𝑥 égal à zéro dans l’équation de la courbe. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à moins 40 multiplié par zéro au carré plus 40, ce qui est égal à 40. Nous obtenons donc que le point sur cette courbe pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des 𝑥 est le point de coordonnées zéro, 40.

Alors, nous aurions également pu déterminer cela en considérant la courbe représentative de 𝑦 égal à moins 40𝑥 au carré plus 40. Il s’agit d’une parabole tournée vers le bas car le coefficient de 𝑥 au carré est égal à moins 40 et l’intersection avec l’axe des 𝑦 vaut 40. Nous pouvons voir sur le graphique que les coordonnées du point critique de cette fonction sont zéro, 40. Il s’agit en fait d’un maximum local. Aux points critiques d’une fonction, la pente de la courbe et de la tangente sont égales à zéro. Et donc, nous voyons qu’au point zéro, 40 - le point critique de cette courbe - la tangente en ce point sera parallèle à l’axe des 𝑥.

Regardons maintenant un autre exemple.

La droite 𝑥 moins 𝑦 moins trois égale zéro touche la courbe 𝑦 égale 𝑎𝑥 au cube plus 𝑏𝑥 au carré au point un, moins deux. Déterminez 𝑎 et 𝑏.

L’information clé donnée dans l’énoncé est que la droite et la courbe se touchent en ce point dont les coordonnées sont un, moins deux. Mais la droite ne traverse pas la courbe, ce qui signifie que la droite 𝑥 moins 𝑦 moins trois égale zéro est la tangente à la courbe donnée en ce point. Nous savons que la pente d’une courbe est égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point. L’équation de la droite est 𝑥 moins 𝑦 moins trois égale zéro. Et modifiant cette équation, nous voyons qu’elle est équivalente à 𝑦 égal 𝑥 moins trois. En comparant avec 𝑦 égal 𝑚𝑥 plus 𝑐, qui est la forme générale de l’équation d’une droite, nous voyons que la pente de la tangente vaut un. Peut-on déterminer une expression de la pente de la courbe ? Eh bien, nous pouvons le faire en utilisant la dérivation. En appliquant la propriété de dérivation des puissances, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à trois 𝑎𝑥 au carré plus deux 𝑏𝑥.

Ensuite, nous calculons la valeur de la fonction dérivée au point un, moins deux. Nous remplaçons donc 𝑥 par un dans la fonction dérivée, ce qui donne trois 𝑎 plus deux 𝑏. Nous pouvons alors assimiler la pente de la courbe en ce point avec la pente de la tangente à la courbe en ce point. Et cela donne une équation reliant 𝑎 et 𝑏 : trois 𝑎 plus deux 𝑏 est égal à un. Nous ne pouvons pas résoudre cette équation parce que nous n’avons qu’une seule équation et deux inconnues. Nous allons donc devoir trouver une seconde équation.

Le point un, moins deux se trouve à la fois sur la courbe et la tangente. Donc, si nous remplaçons les valeurs un et moins deux dans l’équation de la courbe, nous allons obtenir une seconde équation reliant 𝑎 et 𝑏. Nous avons 𝑎 multiplié par un au cube plus 𝑏 multiplié par un au carré égal moins deux, ce qui se simplifie en 𝑎 et 𝑏 égal moins deux. Nous avons maintenant deux équations linéaires reliant 𝑎 et 𝑏, ce qui forme un système d’équations que nous pouvons résoudre. Nous pouvons multiplier l’équation deux par deux pour obtenir le même coefficient pour 𝑏 que dans l’équation un.

Nous allons ensuite soustraire la deuxième équation de la première pour éliminer les termes en 𝑏, ce qui nous donne 𝑎 égal cinq. En remplaçant 𝑎 par cette valeur dans l’équation deux initiale, qui est 𝑎 et 𝑏 égal moins deux, nous obtenons cinq plus 𝑏 égal moins deux. Et en soustrayant cinq, nous obtenons que 𝑏 est égal à moins sept. Nous avons donc trouvé les valeurs de 𝑎 et 𝑏. 𝑎 est égal à cinq et 𝑏 est égal à moins sept.

Rappelons que le point clé que nous avons utilisé dans cette question est que la pente d’une courbe est égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Passons à un autre type d’exercice.

Déterminez l’équation de la tangente à la courbe 𝑦 égale 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 au carré plus 26𝑥 qui forme un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥.

On nous demande donc de trouver l’équation d’une tangente à une courbe particulière et nous savons que nous pouvons faire cela en utilisant la dérivation et l’équation générale d’une droite. Mais comment interpréter la partie de l’énoncé qui dit que cette tangente fait un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥 ? Faisons un schéma. Eh bien, cela ressemble à quelque chose comme ça. La tangente ici est représentée en rose. Et nous pouvons voir que lorsque cette droite coupe l’axe des 𝑥, l’angle entre l’axe des 𝑥 positifs et la tangente est de 135 degrés.

Pour pouvoir utiliser l’équation générale d’une droite 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un, il faut connaître la pente 𝑚 de la droite ou les coordonnées d’un point 𝑥 un, 𝑦 un qui se trouve sur la droite. Alors, comment le fait que la tangente fasse un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥 positif peut nous aider à déterminer l’une ou l’autre de ces valeurs ? Eh bien, l’angle de l’autre côté de cette droite est de 45 degrés car nous savons que les angles sur une droite font 180 degrés. Nous pouvons représenter un triangle rectangle au-dessous de cette droite et rappeler que la pente d’une droite est égale à la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. C’est le côté vertical de ce triangle divisé par le côté horizontal. Mais dans ce triangle rectangle, ces côtés sont les côtés opposés et adjacents par rapport à l’angle de 45 degrés. Nous divisons donc la longueur du côté opposé par la longueur du côté adjacent.

Comme la droite est croissante, la variation verticale est en fait égale à moins la valeur du côté opposé. Nous avons donc que la pente est égale à moins le côté opposé sur le côté adjacent. Le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent est par définition la tangente. Donc, en fait, c’est égal à moins tan 45 degrés. Et tan 45 degrés est simplement égale à un. Donc, en considérant ce triangle rectangle, nous avons obtenu que la pente de cette droite vaut moins un. Nous avons donc déterminé la pente de la tangente. Mais nous ne connaissons pas encore les coordonnées du point de la courbe dont la tangente est représentée. Pour cela, nous devons déterminer le point de la courbe où la pente est égale à moins un.

Nous commençons par dériver l’équation de la courbe par rapport à 𝑥 et en appliquant la propriété de dérivation des puissances, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égal trois 𝑥 au carré plus 18𝑥 plus 26. Nous écrivons ensuite que cette expression doit être égale à moins un pour déterminer l’abscisse 𝑥 du point de la courbe où le gradient est égal à moins un. L’expression se simplifie en trois 𝑥 carré plus 18𝑥 plus 27 égal à zéro. Et puis en divisant par trois, cela donne 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus neuf égal à zéro. Il faut remarquer qu’il s’agit en fait d’un carré parfait. Nous pouvons écrire l’expression comme 𝑥 plus trois, le tout au carré. En résolvant cette équation nous obtenons que 𝑥 plus trois est égal à zéro. Et donc, 𝑥 est égal à moins trois.

Ensuite, nous devons déterminer la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à moins trois, ce que nous faisons en remplaçant 𝑥 par moins trois dans l’équation de la courbe. Et cela nous donne moins 24. Nous savons maintenant que cette tangente a une pente de moins un au point moins trois, moins 24. Il ne reste plus qu’à utiliser l’équation générale d’une droite. 𝑦 moins moins 24 est égal à moins un multiplié par 𝑥 moins moins trois. Qui se simplifie en 𝑦 plus 𝑥 plus 27 est égal à zéro.

Les étapes clés de cet exercice étaient donc d’abord d’utiliser la trigonométrie pour interpréter le fait qu’une droite fasse un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥. Puis de déterminer que la pente de la droite est égale à moins tan 45 degrés, ce qui est égal à moins un. Et nous avons ensuite utilisé la fonction dérivée de la courbe pour identifier la valeur de 𝑥 pour laquelle la dérivée est égal à moins un. Nous avons déterminé la valeur de 𝑦 correspondante en remplaçant la valeur de 𝑥 dans l’équation de la courbe, puis nous avons finalement utilisé l’équation générale d’une droite 𝑦 moins 𝑦 un égal 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un pour trouver l’équation de la tangente.

Pour finir, dans cette vidéo, nous allons expliquer ce qu’est une droite normale à une courbe. Et nous allons faire cela avec un exercice.

Donnez toutes les équations des normales à la courbe 𝑦 égal 𝑥 au carré plus deux 𝑥 aux points où la courbe coupe la droite 𝑦 moins quatre 𝑥 égal zéro.

Que signifie le terme normal dans ce contexte ? Eh bien, rappelons tout d’abord que la tangente à une courbe a la même pente que la courbe en ce point. La normale passe aussi par le même point, mais elle est perpendiculaire à la tangente en ce point. Nous pouvons utiliser les propriétés des droites perpendiculaires pour déterminer la relation entre la pente de la tangente et la pente de la normale à une courbe en un point donné. Le produit des deux pentes sera égal à moins un et les deux pentes seront de l’opposé de l’inverse l’une de l’autre.

Lorsqu’on fait un exercice de ce type, il faut être sûr de savoir si on nous demande de déterminer l’équation d’une tangente ou d’une normale. Alors, maintenant que nous savons ce que sont les normales, voyons comment nous pouvons répondre à cette question. On nous demande de donner les équations des normales à une courbe donnée au point où cette courbe coupe une autre droite. Donc, la première étape va être de déterminer les points d’intersection.

Nous pouvons modifier l’équation de la droite, ce qui nous donne 𝑦 égal quatre 𝑥, puis écrire que les deux expressions de 𝑦 sont égales, ce qui nous donne une équation en 𝑥 seulement. Nous pouvons soustraire quatre 𝑥 de chaque côté, puis factoriser le polynôme du second degré résultant, ce qui nous donne 𝑥 multiplié par 𝑥 moins deux égal zéro. Les deux racines de cette équation sont 𝑥 égal à zéro ou 𝑥 égal à deux. Nous connaissons donc les abscisses 𝑥 des points d’intersection. Pour déterminer les ordonnées 𝑦 correspondantes, il faut remplacer chaque valeur de 𝑥 dans l’équation de la courbe, ce qui nous donne 𝑦 égal zéro pour 𝑥 égal zéro et 𝑦 égal huit pour 𝑥 égal deux.

Nous connaissons donc maintenant les coordonnées des deux points d’intersection. Et nous connaissons donc les coordonnées d’un point se trouvant sur les normales. Mais nous devons déterminer la pente de chaque normale. Premièrement, nous pouvons déterminer la pente des tangentes en dérivant 𝑦 par rapport à 𝑥, ce qui nous donne d𝑦 sur d𝑥 égal à deux 𝑥 plus deux. Lorsque 𝑥 égal zéro, la pente vaut deux. Et lorsque 𝑥 égal deux, la pente vaut six. Mais rappelons-le, c’est la pente de la tangente, pas la pente de la normale. Pour déterminer la pente des normales, nous devons prendre l’opposé de l’inverse de la pente de chacune des tangentes. Donc, la pente de la première normale est égale à moins un demi et la pente de la seconde normale est égale à moins un sixième.

Enfin, nous pouvons appliquer la formule de l’équation générale d’une droite. Pour la première normale dont la pente est de moins un demi et qui passe par le point zéro, zéro, nous obtenons l’équation deux 𝑦 plus 𝑥 est égal à zéro. Et pour la seconde normale dont la pente vaut moins un sixième et qui passe par le point deux, huit, nous obtenons l’équation six 𝑦 plus 𝑥 moins 50 est égal à zéro. Nous avons donc déterminé les équations des deux normales. Il faut faire attention avec les questions de ce type. Rappelons-le, la pente de la normale est différente de la pente de la tangente. Elle est égale à l’opposé de l’inverse de la pente de la tangente car les deux droites sont perpendiculaires entre elles.

Résumons ce que nous avons vu dans cette vidéo. Tout d’abord, nous avons rappelé que la pente d’une courbe est égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point. Donc, en dérivant puis en remplaçant la valeur de 𝑥 pour ce point, il est possible de déterminer la pente de la tangente à une courbe en un point donné. Nous pouvons ensuite remplacer les valeurs de la pente et des coordonnées du point dans l’équation générale d’une droite 𝑦 moins 𝑦 un égal 𝑚𝑥 moins 𝑥 un pour déterminer l’équation de la tangente à la courbe en ce point.

Nous avons également vu que la normale à une courbe est perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point. Et par conséquent, le produit de leurs pentes est égal à moins un. Nous pouvons utiliser ces résultats importants pour déterminer les équations des tangentes et des normales à tout type de courbes.