Vidéo : Tangentes et normales à la courbe d’une fonction

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver la pente et l’équation de la tangente à une courbe en un point donné à l’aide de dérivées.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous verrons comment appliquer la dérivation pour trouver une équation d’une tangente à une courbe en un point donné. Nous allons également discuter de ce que l’on entend par la normale à une courbe à un point donné et voir des exemples de la façon de trouver les équations des tangentes et des normales aux courbes.

Rappelons tout d’abord qu’une tangente à une courbe en un point particulier est une droite qui touche la courbe en ce point mais ne la traverse pas. Rappelons également que le gradient ou la pente d’une courbe en un point donné est défini comme étant la pente de la tangente à la courbe en ce point. Par conséquent, il s’ensuit que si nous pouvons utiliser la dérivation pour trouver la fonction de gradient d’une courbe d𝑦 par d𝑥, alors nous pouvons évaluer la pente de la courbe et donc la pente de la tangente à la courbe en un point donné en substituant la valeur 𝑥 en ce point dans notre fonction de gradient d𝑦 par d𝑥.

Rappelons également que l’équation générale d’une droite de pente 𝑚 passant par le point 𝑥 un, 𝑦 un est 𝑦 moins 𝑦 un est égale à 𝑚𝑥 moins 𝑥 un. Nous pouvons donc utiliser la pente que nous avons calculée et les coordonnées du point auquel nous cherchons pour trouver la tangente afin de trouver l’équation d’une tangente.

Voyons comment cela fonctionne dans un exemple.

Déterminer l’équation de la droite tangente à la courbe 𝑦 est égal à quatre 𝑥 au cube moins deux 𝑥 au carré plus quatre au point moins un, moins deux.

Nous avons donc reçu l’équation d’une courbe. Et nous devons déterminer l’équation de la droite tangente à cette courbe en un point particulier. Nous allons utiliser la formule pour l’équation générale d’une droite 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un. Nous connaissons déjà les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un. C’est le point moins un, moins deux. Mais qu’en est-il de 𝑚, la pente de cette droite ? Eh bien, nous rappelons que la pente d’une courbe est égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point. Donc, pour trouver la pente de cette tangente, nous allons d’abord trouver la fonction de gradient de la courbe d𝑦 par d𝑥.

Nous pouvons le faire en appliquant la règle de puissance pour la dérivation, en donnant d𝑦 par d𝑥 est égal à quatre multiplié par trois 𝑥 au carré moins deux multiplié par deux 𝑥. Rappelez-vous, une constante dérive en zéro. Donc, plus quatre dérive simplement en zéro dans notre dérivée, ce qui se simplifie en 12 𝑥 au carré moins quatre 𝑥. Maintenant, c’est la fonction de gradient générale de cette courbe. Mais nous voulons connaître le gradient à un point particulier. Nous devons donc évaluer d𝑦 par d𝑥 lorsque 𝑥 est égal à moins un parce que c’est notre coordonnée 𝑥 à ce stade. Cela donne 12 multiplié par moins un au carré moins quatre multiplié par moins un, ce qui se simplifie en 16.

Nous savons maintenant que la pente de cette tangente est de 16 et les coordonnées d’un point qu’elle traverse sont moins un, moins deux. Nous avons donc toutes les informations dont nous avons besoin pour utiliser la formule de l’équation générale d’une droite. La substitution des valeurs de 𝑚, 𝑥 un et 𝑦 un donne 𝑦 moins moins deux est égal à 16 𝑥 moins moins un. C’est 𝑦 plus deux est égal à 16𝑥 plus 16. Et puis, soustraire deux de chaque côté afin de collecter les constantes donne 𝑦 est égal à 16𝑥 plus 14. C’est donc l’équation de la droite tangente à la courbe donnée au point moins un, moins deux. Passe par le point moins un, moins deux et elle a le même gradient que la courbe en ce point.

Maintenant, considérons un deuxième exemple.

Trouver le point sur la courbe 𝑦 est égal à moins 40𝑥 au carré plus 40 en lequel la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des 𝑥.

Maintenant, réfléchissons à ce que signifie qu’une droite est parallèle à l’axe des 𝑥. L’axe des 𝑥 est une droite horizontale. Donc, si une autre droite est parallèle à l’axe des 𝑥, elle doit également être une droite horizontale. Et que savons-nous des pentes des droites horizontales ? Eh bien, elles sont égales à zéro. Nous savons donc que la pente de la tangente que nous cherchons à trouver doit être égale à zéro. Rappelez-vous également que la pente d’une tangente est égale à la pente de la courbe en ce point. Nous savons donc également que la pente de la courbe en ce point doit également être égale à zéro.

La pente de la courbe est sa fonction de gradient d𝑦 par d𝑥. Donc, ce que nous allons faire, c’est trouver la fonction de gradient d𝑦 par d𝑥 en dérivant 𝑦 par rapport à 𝑥, puis la mettre égale à zéro. Nous serons en mesure de résoudre l’équation résultante pour trouver les coordonnées 𝑥 du point sur la courbe où le gradient est égal à zéro. La première étape consiste alors à trouver d𝑦 par d𝑥, ce que nous pouvons faire en appliquant la règle des puissances. Elle donne moins un 40 multiplié par deux 𝑥, ce qui est moins 80𝑥. Et rappelez-vous, la dérivée d’une constante est zéro. Notre fonction de gradient d𝑦 par d𝑥 est donc simplement moins 80𝑥.

Ensuite, nous mettons d𝑦 par d𝑥 égal à zéro et résolvons l’équation résultante. Nous avons moins 80𝑥 est égal à zéro. Et en divisant les deux côtés de cette équation par moins 80, nous trouvons que 𝑥 est égal à zéro. Nous savons donc que la coordonnée 𝑥 du point sur cette courbe où la tangente est parallèle à l’axe des 𝑥 est nulle. Nous devons également trouver la coordonnée 𝑦, ce que nous pouvons faire en substituant 𝑥 est égal à zéro dans l’équation de la courbe. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à moins 40 multiplié par zéro au carré plus 40 qui est égal à 40. Nous constatons donc que le point sur cette courbe où la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des 𝑥 est le point avec coordonnées zéro, 40.

Maintenant, nous aurions également pu voir cela en considérant à quoi ressemble la courbe de 𝑦 égal à moins 40𝑥 plus 40. C’est une parabole négative car le coefficient de 𝑥 au carré est moins 40 et il a une ordonnée 𝑦 à l’origine de plus 40. Nous pouvons voir sur notre croquis que cette fonction a un point critique au point avec les coordonnées zéro, 40. En fait, c’est un maximum local. Aux points critiques d’une fonction, le gradient de la courbe et de la tangente est égal à zéro. Et donc, nous voyons qu’au point zéro, 40 le point critique de cette courbe - la tangente en ce point sera parallèle à l’axe des 𝑥.

Prenons maintenant un autre exemple.

La droite 𝑥 moins 𝑦 moins trois égale zéro est tangente à la courbe 𝑦 égale 𝑎𝑥 au cube plus 𝑏𝑥 au carré en un, moins deux. Trouvez 𝑎 et 𝑏.

L’information clé donnée dans cette question est que la droite et la courbe se touchent en ce point avec les coordonnées un, moins deux. Mais la droite ne traverse pas la courbe, ce qui signifie que la droite 𝑥 moins 𝑦 moins trois égale zéro est une tangente à la courbe donnée en ce point. Nous savons que le gradient d’une courbe est égal au gradient de la tangente à la courbe en ce point. L’équation de notre droite est 𝑥 moins 𝑦 moins trois égale zéro. Et lors du réarrangement, nous voyons que cela équivaut à 𝑦 est égal à 𝑥 moins trois. En comparant avec 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐, c’est la forme générale de l’équation d’une droite sous forme d’interception de pente, nous voyons que la pente de notre tangente est un. Peut-on trouver une expression pour la pente de la courbe ? Eh bien, nous pouvons le faire par dérivation. En appliquant la règle de puissance, nous voyons que d𝑦 par d𝑥 est égal à trois 𝑎𝑥 au carré plus deux 𝑏𝑥.

Ensuite, nous évaluons cette fonction de gradient au point un, moins deux. Nous substituons donc 𝑥 est égal à un dans notre fonction de gradient, donnant trois 𝑎 plus deux 𝑏. Nous pouvons alors assimiler le gradient de la courbe en ce point avec le gradient de la tangente à la courbe en ce point. Et cela donne une équation impliquant 𝑎 et 𝑏 : trois 𝑎 plus deux 𝑏 est égal à un. Nous ne pouvons pas résoudre cette équation car nous n’avons qu’une seule équation et deux inconnues. Nous allons donc devoir trouver une deuxième équation.

Le point un, moins deux se trouve à la fois sur la courbe et la tangente. Donc, si nous substituons les valeurs de un et moins deux dans l’équation de la courbe, nous aurons une deuxième équation reliant 𝑎 et 𝑏. Nous avons 𝑎 multiplié par un cube plus 𝑏 multiplié par un carré est égal à moins deux, se simplifiant en 𝑎 et 𝑏 égal à moins deux. Nous avons maintenant deux équations linéaires en 𝑎 et 𝑏, que nous devons résoudre simultanément. Nous pouvons multiplier l’équation deux par deux, car cela rendra le coefficient de 𝑏 le même que dans l’équation un.

Nous allons ensuite soustraire la deuxième équation de la première pour éliminer les termes 𝑏, donnant 𝑎 est égal à cinq. En substituant cette valeur à 𝑎 dans notre équation d’origine deux qui est 𝑎 et 𝑏 est égal à moins deux donne cinq plus 𝑏 est égal à moins deux. Et en soustrayant cinq, nous voyons que 𝑏 est égal à moins sept. Nous avons donc trouvé les valeurs de 𝑎 et 𝑏. 𝑎 est égal à cinq et 𝑏 est égal à moins sept.

Un rappel est que le point clé que nous avons utilisé dans cette question est que la pente d’une courbe est égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Prenons un autre type d’exemple.

Trouvez l’équation de la tangente à la courbe 𝑦 égale 𝑥 au cube plus neuf 𝑥 au carré plus 26𝑥 qui fait un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥.

On nous a donc demandé de trouver l’équation d’une tangente à une courbe particulière, ce que nous savons que nous pouvons faire en utilisant la dérivation et l’équation générale d’une droite. Mais qu’est-ce que cela signifie quand il dit que cette tangente fait un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥 ? Prenons un croquis. Eh bien, cela ressemblera à quelque chose comme ça. La tangente ici est représentée en rose. Et nous pouvons voir que lorsqu’elle coupe l’axe des 𝑥, l’angle entre l’axe des 𝑥 et la tangente est de 135 degrés.

Afin d’appliquer l’équation générale d’une droite 𝑦 moins 𝑦 une égale à 𝑚 𝑥 moins 𝑥 un, nous devons soit connaître la pente 𝑚 de notre droite, soit les coordonnées d’un point 𝑥 un, 𝑦 un qui se trouve sur la droite. Alors, comment savoir que notre tangente fait un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥 aide-t-il à déterminer l’un ou l’autre ? Eh bien, l’angle de l’autre côté de cette droite sera de 45 degrés car nous savons que les angles sur une droite totalisent 180 degrés. Nous pouvons esquisser dans un triangle rectangle en dessous de cette droite et rappeler que la pente d’une droite est un changement de 𝑦 par rapport à un changement de 𝑥. C’est la hauteur verticale de ce triangle divisée par la distance horizontale. Mais dans ce triangle rectangle, ces côtés sont opposés et adjacents par rapport à l’angle de 45 degrés. Nous divisons donc la longueur de l’opposé par la longueur de l’aire adjacente.

Comme la droite est en pente descendante, ce changement vertical est en fait la valeur de l’opposé. Nous avons donc que la pente est égale à moins opposé sur adjacent. L’opposé divisé par l’adjacent définit le rapport tangente. Donc en fait, cela équivaut à moins tan de 45 degrés. Et tan de 45 degrés n’est qu’un. Donc, en considérant ce triangle rectangle, nous avons constaté que la pente de cette droite est négative. Nous avons donc trouvé la pente de notre tangente. Mais nous ne connaissons pas encore les coordonnées du point sur la courbe où cette tangente est dessinée. Pour trouver cela, nous devons trouver le point sur la courbe où le gradient ou la pente est égal à moins un.

Nous commençons par dériver l’équation de la courbe par rapport à 𝑥 et en appliquant la règle des puissances, donnant d𝑦 par d𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus 18𝑥 plus 26. Nous définissons ensuite cette expression égale à moins un pour trouver la coordonnée 𝑥 du point sur la courbe, où le gradient est négatif. Cela se simplifie en trois 𝑥 au carré plus 18𝑥 plus 27 est égal à zéro. Et puis la division par trois donne 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus neuf est égal à zéro. Nous devons noter que c’est, en fait, un carré parfait. Nous pouvons l’écrire comme 𝑥 plus trois le tout au carré. Résoudre cette équation alors, cela signifie que 𝑥 plus trois doit être égal à zéro. Et donc, 𝑥 est égal à moins trois.

Ensuite, nous devons trouver la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à moins trois, ce que nous faisons en substituant moins trois dans l’équation de la courbe. Et cela donne moins un 24. Nous savons maintenant que cette tangente a une pente négative au point moins trois, moins 24. Il ne reste plus qu’à substituer à l’équation générale de la droite. 𝑦 moins négatif 24 est égal à moins un multiplié par 𝑥 moins moins trois. Tout cela se simplifie en 𝑦 plus 𝑥 plus 27 est égal à zéro.

Les étapes clés de cette question étaient alors d’utiliser un raisonnement trigonométrique pour identifier que si une droite fait un angle de 135 degrés avec l’axe des 𝑥. Ensuite, son gradient ou sa pente est égal à moins tan de 45 degrés, ce qui est égal à moins un. Nous utilisons ensuite la fonction de gradient de la courbe pour identifier la valeur 𝑥 en laquelle le gradient était égal à moins un. Nous avons trouvé la valeur 𝑦 correspondante en substituant dans l’équation de la courbe, puis finalement utilisé l’équation générale d’une droite 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚𝑥 moins 𝑥 un pour trouver l’équation de cette tangente.

Enfin, dans cette vidéo, nous allons discuter de ce que l’on entend par une normale à une courbe. Et nous le ferons dans le contexte d’un exemple.

Énumérez les équations des normales à 𝑦 égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 aux points où la courbe rencontre la droite 𝑦 moins quatre 𝑥 est égal à zéro.

Que signifie le terme normal dans ce contexte ? Eh bien, nous rappelons tout d’abord que la tangente à une courbe a le même gradient que la courbe en ce point. La normale, cependant, passe par ce même point, mais elle est perpendiculaire à la tangente en ce point. Nous pouvons utiliser les propriétés des droites perpendiculaires pour déduire la relation qui existe entre le gradient de la tangente et le gradient de la normale à une courbe en un point donné. Le produit des deux gradients sera égal à moins un et ils seront inverses opposés l’un de l’autre.

Nous devons nous assurer que nous savons clairement si on nous a demandé de trouver l’équation d’une tangente ou d’une normale lorsque nous répondons à des questions comme celle-ci. Alors maintenant que nous savons ce que sont les normales, voyons comment nous pouvons répondre à cette question. On nous a demandé de lister les équations des normales à une courbe donnée au point où cette courbe rencontre une autre droite. Donc, notre première étape va être de trouver ces points d’intersection.

Nous pouvons réorganiser l’équation de la droite pour donner 𝑦 égal à quatre 𝑥 puis définir les deux expressions pour 𝑦 égales l’une à l’autre pour donner une équation en 𝑥 uniquement. Nous pouvons soustraire quatre 𝑥 de chaque côté et ensuite factoriser le quadratique résultant pour donner 𝑥 multiplié par 𝑥 moins deux est égal à zéro. Les deux racines de cette équation sont 𝑥 égal à zéro ou 𝑥 égal à deux. Nous connaissons donc les coordonnées 𝑥 de nos points d’intersection. Pour trouver les coordonnées 𝑦 correspondantes, nous substituons chaque valeur 𝑥 dans l’équation de la courbe pour donner 𝑦 égal à zéro lorsque 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 égal à huit lorsque 𝑥 est égal à deux.

Nous connaissons donc maintenant les deux points d’intersection. Et nous connaissons donc les coordonnées d’un point qui se trouve sur chaque normale. Mais nous devons déterminer le gradient ou la pente de chaque normale. Premièrement, nous pouvons trouver la pente de chaque tangente en dérivant 𝑦 par rapport à 𝑥, en donnant d𝑦 par d𝑥 est égal à deux 𝑥 plus deux. Lorsque 𝑥 est égal à zéro, la pente sera de deux. Et lorsque 𝑥 est égal à deux, la pente sera de six. Mais rappelez-vous, c’est la pente de la tangente, pas la pente de la normale. Pour trouver la pente de chaque normale, nous devons prendre l’inverse de la pente de chaque tangente. Ainsi, la pente de notre première normale est moins un demi et la pente de notre seconde est moins un sixième.

Enfin, nous pouvons appliquer la formule de l’équation générale d’une droite. Pour la première normale avec une pente de moins un demi passant par le point zéro, zéro, nous obtenons l’équation deux 𝑦 plus 𝑥 égale zéro. Et pour le second avec une pente de moins un sixième passant par le point deux, huit, nous obtenons l’équation six 𝑦 plus 𝑥 moins 50 égale zéro. Nous avons donc trouvé les équations des deux normales. Nous devons être très prudents sur des questions comme celle-ci. N’oubliez pas que la pente de la normale n’est pas la même que la pente de la tangente. Elle est égale à l’opposé de l’inverse de la pente de la tangente car les deux droites sont perpendiculaires l’une à l’autre.

Résumons ce que nous avons vu dans cette vidéo. Tout d’abord, nous nous sommes rappelé que le gradient d’une courbe est égal au gradient de la tangente à la courbe en ce point. Ainsi, en dérivant puis en substituant la valeur 𝑥 en ce point, nous pouvons trouver la pente de la tangente à une courbe en tout point donné. On peut alors substituer la pente et les coordonnées du point dans l’équation générale d’une droite 𝑦 moins 𝑦 une égale à 𝑚𝑥 moins 𝑥 une afin de trouver l’équation de la tangente à la courbe en ce point.

Nous avons également vu que la normale à une courbe est perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point. Et donc, le produit de leurs pentes est égal à moins un. Nous pouvons appliquer tous ces résultats clés afin de trouver les équations des tangentes et des normales à une variété de courbes différentes.

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