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Déterminez l’équation de la tangente à la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré en son point d’intersection avec la courbe de 𝑔 de 𝑥 égale 125 sur 𝑥.
On nous demande de déterminer l’équation de la tangente à la courbe de 𝑓 de 𝑥 en son point d’intersection avec la courbe de 𝑔 de 𝑥. Nous allons donc commencer par déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces deux courbes. Au point d’intersection de leurs courbes, les deux fonctions ont la même valeur. Ainsi, nous pouvons poser que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑔 de 𝑥 et résoudre cette équation pour déterminer la coordonnée 𝑥 du point d’intersection. Cela nous donne l’équation 𝑥 au carré égale 125 sur 𝑥.
Pour la résoudre, nous commençons par multiplier les deux membres par 𝑥. À gauche, 𝑥 au carré multiplié par 𝑥 nous donne 𝑥 au cube. A droite, 125 sur 𝑥 multiplié par 𝑥 nous donne simplement 125. Si 𝑥 au cube est égal à 125, alors 𝑥 est égal à la racine cubique de 125, qui est cinq. Nous avons déterminé la coordonnée 𝑥 du point d’intersection de nos deux courbes. Nous devons maintenant déterminer sa coordonnée 𝑦, qui correspond à la valeur des fonctions elles-mêmes. Pour cela, il suffit de remplacer 𝑥 par cinq dans l’équation de l’une ou l’autre de nos deux courbes, étant donné qu’en leur point d’intersection, elles ont toutes les deux la même valeur.
Si nous remplaçons 𝑥 par cinq dans la fonction 𝑓 de 𝑥, nous obtenons que 𝑓 de cinq est égal à cinq au carré, ce qui est égal à 25. Si nous le souhaitons, nous pouvons vérifier que 𝑔 de 𝑥 a bien la même valeur : nous avons que 𝑔 de cinq est égal à 125 sur cinq, ce qui est bien égal à 25. Nous en déduisons que le point d’intersection des courbes de 𝑓 de 𝑥 et de 𝑔 de 𝑥 est le point cinq, 25. Nous rappelons que notre objectif est de déterminer l’équation de la tangente à la courbe de 𝑓 de 𝑥 en ce point. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer l’équation d’une tangente ; dans notre cas, nous allons utiliser le fait qu’une droite de pente 𝑚 passant par un point 𝑥 un, 𝑦 un a une équation de la forme 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 un.
Nous venons justement de déterminer les coordonnées d’un point qui appartient à notre tangente. Ainsi, nous posons que 𝑥 un, 𝑦 un est égal à cinq, 25. Nous ne connaissons pas encore la pente de notre tangente. Cependant, nous savons que la pente de la tangente à une courbe en un point est la même que la pente de la courbe elle-même en ce point. Nous pouvons déterminer la pente d’une courbe en utilisant la dérivation. Ainsi, en tout point, la pente de la courbe de 𝑓 de 𝑥 est donnée par sa dérivée première, notée 𝑓 prime de 𝑥, que nous obtenons en dérivant son équation. 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré. Nous rappelons que pour dériver un terme polynomial comme celui-ci, nous multiplions par la puissance de 𝑥, ici égale à deux, et nous diminuons de un la puissance de 𝑥 pour obtenir dans notre cas que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à deux fois 𝑥 puissance un, ou autrement dit à deux fois 𝑥.
Nous avons déterminé que l’expression générale de notre dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est deux 𝑥, mais nous cherchons sa valeur au point d’intersection de nos deux courbes. Ainsi, nous remplaçons la coordonnée 𝑥 de notre point d’intersection dans notre expression de 𝑓 prime de 𝑥, ce qui nous donne 𝑓 prime de cinq égale deux fois cinq, ou autrement dit 𝑓 prime de cinq égale 10. Maintenant que nous connaissons la pente de notre tangente ainsi que les coordonnées d’un point par lequel elle passe, nous pouvons déterminer son équation.
Nous remplaçons le point 𝑥 un, 𝑦 un par cinq, 25 et la pente 𝑚 par 10, ce qui nous donne 𝑦 moins 25 égale 10 multiplié par 𝑥 moins cinq. Nous développons le côté droit et nous obtenons 10𝑥 moins 50. Enfin, en soustrayant 10𝑥 et en additionnant 50 des deux côtés, nous rassemblons tous les termes sur le côté gauche pour obtenir l’équation de notre tangente.
L’équation de la tangente à la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré en son point d’intersection avec la courbe de 𝑔 de 𝑥 égale 125 sur 𝑥 est 𝑦 moins 10𝑥 plus 25 égale zéro.
