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Calculez sec 𝜃, pour un angle 𝜃 lié au point de coordonnées quatre cinquièmes, trois cinquièmes sur le cercle trigonométrique.
Pour répondre à cette question, il est utile de faire un rappel sur le cercle trigonométrique. Rappelez-vous, ce cercle a un rayon de un, et nous pouvons ajouter les valeurs 𝜃 à notre graphique en nous déplaçant dans le sens antihoraire.
Nous commençons à zéro, puis 𝜋 sur deux, 𝜋 radians, trois 𝜋 sur deux radians, et enfin le tour complet nous ramène au début, ou deux 𝜋 radians. Le côté final est le côté qui détermine l’angle. Dans le cas du cercle unité, c’est le rayon.
Puisque nous savons que le côté final passe par le point quatre cinquièmes, trois cinquièmes, nous pouvons ajouter 𝜃 à notre figure. Le couple quatre cinquièmes, trois cinquièmes se situe dans le premier quadrant. Ainsi, la valeur de 𝜃 est comprise entre zéro et 𝜋 sur deux radians.
Maintenant, ce couple nous indique en fait les dimensions de notre triangle rectangle. Puisque l’abscisse 𝑥 est de quatre cinquièmes, la longueur du côté adjacent à l’angle 𝜃 est de quatre cinquièmes. L’ordonnée 𝑦 dans notre couple est de trois cinquièmes, donc la longueur du côté opposé à l’angle 𝜃 est de trois cinquièmes.
Rappelez-vous, ceci est un cercle unité. Le rayon de ce cercle est égal à un, donc la longueur de l’hypoténuse est aussi égale à un. Cela nous aide énormément puisque nous pouvons calculer les valeurs de sin, cos et tan 𝜃 en utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle. Mais comment pouvons-nous déterminer la valeur de sec 𝜃 ?
Eh bien, sec 𝜃 est égal à un sur cos 𝜃, nous allons donc d’abord chercher la valeur de cos 𝜃. Le cos 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Nous pouvons annoter notre triangle rectangle par rapport à l’angle 𝜃, de sorte que l’opposé est de trois cinquièmes, l’adjacent est de quatre cinquièmes et l’hypoténuse est de un.
La substitution de ces valeurs dans la formule de cos 𝜃 nous donne cos 𝜃 égale quatre cinquièmes divisé par un, soit quatre cinquièmes tout simplement. Puisque sec 𝜃 égale un sur cos 𝜃, pour notre valeur de 𝜃, sec 𝜃 égale un sur quatre cinquièmes, ou un divisé par quatre cinquièmes.
Pour diviser par une fraction, nous multiplions par l’inverse de cette fraction. Nous avons donc un multiplié par cinq sur quatre, soit simplement cinq sur quatre. Ainsi, sec 𝜃 est égale à cinq sur quatre.
